Theorem shftfn 15109

Description: Functionality and domain of a sequence shifted by 𝐴. (Contributed by NM, 20-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	⊢ 𝐹 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
shftfn	⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴) Fn {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐵

Proof of Theorem shftfn

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relopabv 5834	. . . . 5 ⊢ Rel {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)}
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Rel {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)})
3		fnfun 6669	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn 𝐵 → Fun 𝐹)
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Fun 𝐹)
5		funmo 6583	. . . . . . 7 ⊢ (Fun 𝐹 → ∃*𝑤(𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤)
6		vex 3482	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑧 ∈ V
7		vex 3482	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑤 ∈ V
8		eleq1w 2822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ ℂ ↔ 𝑧 ∈ ℂ))
9		oveq1 7438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 − 𝐴) = (𝑧 − 𝐴))
10	9	breq1d 5158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦 ↔ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑦))
11	8, 10	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑦)))
12		breq2 5152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → ((𝑧 − 𝐴)𝐹𝑦 ↔ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤))
13	12	anbi2d 630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤)))
14		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)}
15	6, 7, 11, 13, 14	brab 5553	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)}𝑤 ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤))
16	15	simprbi 496	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)}𝑤 → (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤)
17	16	moimi 2543	. . . . . . 7 ⊢ (∃*𝑤(𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤 → ∃*𝑤 𝑧{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)}𝑤)
18	5, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 → ∃*𝑤 𝑧{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)}𝑤)
19	18	alrimiv 1925	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝐹 → ∀𝑧∃*𝑤 𝑧{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)}𝑤)
20	4, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ∀𝑧∃*𝑤 𝑧{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)}𝑤)
21		dffun6 6576	. . . 4 ⊢ (Fun {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)} ↔ (Rel {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)} ∧ ∀𝑧∃*𝑤 𝑧{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)}𝑤))
22	2, 20, 21	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Fun {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)})
23		shftfval.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 ∈ V
24	23	shftfval 15106	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐹 shift 𝐴) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)})
25	24	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)})
26	25	funeqd 6590	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (Fun (𝐹 shift 𝐴) ↔ Fun {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)}))
27	22, 26	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Fun (𝐹 shift 𝐴))
28	23	shftdm 15107	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom (𝐹 shift 𝐴) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ dom 𝐹})
29		fndm 6672	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝐵 → dom 𝐹 = 𝐵)
30	29	eleq2d 2825	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐵 → ((𝑥 − 𝐴) ∈ dom 𝐹 ↔ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵))
31	30	rabbidv 3441	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐵 → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ dom 𝐹} = {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵})
32	28, 31	sylan9eqr 2797	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → dom (𝐹 shift 𝐴) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵})
33		df-fn 6566	. 2 ⊢ ((𝐹 shift 𝐴) Fn {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵} ↔ (Fun (𝐹 shift 𝐴) ∧ dom (𝐹 shift 𝐴) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵}))
34	27, 32, 33	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴) Fn {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∀wal 1535   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∃*wmo 2536  {crab 3433  Vcvv 3478   class class class wbr 5148  {copab 5210  dom cdm 5689  Rel wrel 5694  Fun wfun 6557   Fn wfn 6558  (class class class)co 7431  ℂcc 11151   − cmin 11490   shift cshi 15102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-sub 11492  df-shft 15103

This theorem is referenced by:  shftf  15115  seqshft  15121  uzmptshftfval  44342