Theorem shftfn 15026

Description: Functionality and domain of a sequence shifted by 𝐴. (Contributed by NM, 20-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	⊢ 𝐹 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
shftfn	⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴) Fn {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐵

Proof of Theorem shftfn

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relopabv 5770	. . . . 5 ⊢ Rel {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)}
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Rel {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)})
3		fnfun 6592	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn 𝐵 → Fun 𝐹)
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Fun 𝐹)
5		funmo 6508	. . . . . . 7 ⊢ (Fun 𝐹 → ∃*𝑤(𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤)
6		vex 3434	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑧 ∈ V
7		vex 3434	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑤 ∈ V
8		eleq1w 2820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ ℂ ↔ 𝑧 ∈ ℂ))
9		oveq1 7367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 − 𝐴) = (𝑧 − 𝐴))
10	9	breq1d 5096	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦 ↔ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑦))
11	8, 10	anbi12d 633	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑦)))
12		breq2 5090	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → ((𝑧 − 𝐴)𝐹𝑦 ↔ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤))
13	12	anbi2d 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤)))
14		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)}
15	6, 7, 11, 13, 14	brab 5491	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)}𝑤 ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤))
16	15	simprbi 497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)}𝑤 → (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤)
17	16	moimi 2546	. . . . . . 7 ⊢ (∃*𝑤(𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤 → ∃*𝑤 𝑧{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)}𝑤)
18	5, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 → ∃*𝑤 𝑧{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)}𝑤)
19	18	alrimiv 1929	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝐹 → ∀𝑧∃*𝑤 𝑧{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)}𝑤)
20	4, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ∀𝑧∃*𝑤 𝑧{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)}𝑤)
21		dffun6 6503	. . . 4 ⊢ (Fun {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)} ↔ (Rel {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)} ∧ ∀𝑧∃*𝑤 𝑧{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)}𝑤))
22	2, 20, 21	sylanbrc 584	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Fun {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)})
23		shftfval.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 ∈ V
24	23	shftfval 15023	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐹 shift 𝐴) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)})
25	24	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)})
26	25	funeqd 6514	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (Fun (𝐹 shift 𝐴) ↔ Fun {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)}))
27	22, 26	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Fun (𝐹 shift 𝐴))
28	23	shftdm 15024	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom (𝐹 shift 𝐴) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ dom 𝐹})
29		fndm 6595	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝐵 → dom 𝐹 = 𝐵)
30	29	eleq2d 2823	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐵 → ((𝑥 − 𝐴) ∈ dom 𝐹 ↔ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵))
31	30	rabbidv 3397	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐵 → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ dom 𝐹} = {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵})
32	28, 31	sylan9eqr 2794	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → dom (𝐹 shift 𝐴) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵})
33		df-fn 6495	. 2 ⊢ ((𝐹 shift 𝐴) Fn {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵} ↔ (Fun (𝐹 shift 𝐴) ∧ dom (𝐹 shift 𝐴) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵}))
34	27, 32, 33	sylanbrc 584	1 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴) Fn {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∀wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃*wmo 2538  {crab 3390  Vcvv 3430   class class class wbr 5086  {copab 5148  dom cdm 5624  Rel wrel 5629  Fun wfun 6486   Fn wfn 6487  (class class class)co 7360  ℂcc 11027   − cmin 11368   shift cshi 15019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-sub 11370  df-shft 15020

This theorem is referenced by:  shftf  15032  seqshft  15038  uzmptshftfval  44791