Theorem shftfn 14996

Description: Functionality and domain of a sequence shifted by 𝐴. (Contributed by NM, 20-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	⊢ 𝐹 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
shftfn	⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴) Fn {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐵

Proof of Theorem shftfn

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relopabv 5770	. . . . 5 ⊢ Rel {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)}
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Rel {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)})
3		fnfun 6592	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn 𝐵 → Fun 𝐹)
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Fun 𝐹)
5		funmo 6508	. . . . . . 7 ⊢ (Fun 𝐹 → ∃*𝑤(𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤)
6		vex 3444	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑧 ∈ V
7		vex 3444	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑤 ∈ V
8		eleq1w 2819	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ ℂ ↔ 𝑧 ∈ ℂ))
9		oveq1 7365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 − 𝐴) = (𝑧 − 𝐴))
10	9	breq1d 5108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦 ↔ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑦))
11	8, 10	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑦)))
12		breq2 5102	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → ((𝑧 − 𝐴)𝐹𝑦 ↔ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤))
13	12	anbi2d 630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤)))
14		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)}
15	6, 7, 11, 13, 14	brab 5491	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)}𝑤 ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤))
16	15	simprbi 496	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)}𝑤 → (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤)
17	16	moimi 2545	. . . . . . 7 ⊢ (∃*𝑤(𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤 → ∃*𝑤 𝑧{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)}𝑤)
18	5, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 → ∃*𝑤 𝑧{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)}𝑤)
19	18	alrimiv 1928	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝐹 → ∀𝑧∃*𝑤 𝑧{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)}𝑤)
20	4, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ∀𝑧∃*𝑤 𝑧{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)}𝑤)
21		dffun6 6503	. . . 4 ⊢ (Fun {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)} ↔ (Rel {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)} ∧ ∀𝑧∃*𝑤 𝑧{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)}𝑤))
22	2, 20, 21	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Fun {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)})
23		shftfval.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 ∈ V
24	23	shftfval 14993	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐹 shift 𝐴) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)})
25	24	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)})
26	25	funeqd 6514	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (Fun (𝐹 shift 𝐴) ↔ Fun {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)}))
27	22, 26	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Fun (𝐹 shift 𝐴))
28	23	shftdm 14994	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom (𝐹 shift 𝐴) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ dom 𝐹})
29		fndm 6595	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝐵 → dom 𝐹 = 𝐵)
30	29	eleq2d 2822	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐵 → ((𝑥 − 𝐴) ∈ dom 𝐹 ↔ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵))
31	30	rabbidv 3406	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐵 → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ dom 𝐹} = {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵})
32	28, 31	sylan9eqr 2793	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → dom (𝐹 shift 𝐴) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵})
33		df-fn 6495	. 2 ⊢ ((𝐹 shift 𝐴) Fn {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵} ↔ (Fun (𝐹 shift 𝐴) ∧ dom (𝐹 shift 𝐴) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵}))
34	27, 32, 33	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴) Fn {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∀wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃*wmo 2537  {crab 3399  Vcvv 3440   class class class wbr 5098  {copab 5160  dom cdm 5624  Rel wrel 5629  Fun wfun 6486   Fn wfn 6487  (class class class)co 7358  ℂcc 11024   − cmin 11364   shift cshi 14989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171  df-sub 11366  df-shft 14990

This theorem is referenced by:  shftf  15002  seqshft  15008  uzmptshftfval  44587