Theorem shftfn 15017

Description: Functionality and domain of a sequence shifted by 𝐴. (Contributed by NM, 20-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	⊢ 𝐹 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
shftfn	⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴) Fn {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐵

Proof of Theorem shftfn

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relopabv 5820	. . . . 5 ⊢ Rel {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)}
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Rel {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)})
3		fnfun 6647	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn 𝐵 → Fun 𝐹)
4	3	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Fun 𝐹)
5		funmo 6561	. . . . . . 7 ⊢ (Fun 𝐹 → ∃*𝑤(𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤)
6		vex 3479	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑧 ∈ V
7		vex 3479	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑤 ∈ V
8		eleq1w 2817	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ ℂ ↔ 𝑧 ∈ ℂ))
9		oveq1 7413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 − 𝐴) = (𝑧 − 𝐴))
10	9	breq1d 5158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦 ↔ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑦))
11	8, 10	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑦)))
12		breq2 5152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → ((𝑧 − 𝐴)𝐹𝑦 ↔ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤))
13	12	anbi2d 630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤)))
14		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)}
15	6, 7, 11, 13, 14	brab 5543	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)}𝑤 ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤))
16	15	simprbi 498	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)}𝑤 → (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤)
17	16	moimi 2540	. . . . . . 7 ⊢ (∃*𝑤(𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤 → ∃*𝑤 𝑧{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)}𝑤)
18	5, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 → ∃*𝑤 𝑧{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)}𝑤)
19	18	alrimiv 1931	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝐹 → ∀𝑧∃*𝑤 𝑧{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)}𝑤)
20	4, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ∀𝑧∃*𝑤 𝑧{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)}𝑤)
21		dffun6 6554	. . . 4 ⊢ (Fun {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)} ↔ (Rel {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)} ∧ ∀𝑧∃*𝑤 𝑧{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)}𝑤))
22	2, 20, 21	sylanbrc 584	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Fun {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)})
23		shftfval.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 ∈ V
24	23	shftfval 15014	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐹 shift 𝐴) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)})
25	24	adantl 483	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)})
26	25	funeqd 6568	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (Fun (𝐹 shift 𝐴) ↔ Fun {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)}))
27	22, 26	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Fun (𝐹 shift 𝐴))
28	23	shftdm 15015	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom (𝐹 shift 𝐴) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ dom 𝐹})
29		fndm 6650	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝐵 → dom 𝐹 = 𝐵)
30	29	eleq2d 2820	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐵 → ((𝑥 − 𝐴) ∈ dom 𝐹 ↔ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵))
31	30	rabbidv 3441	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐵 → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ dom 𝐹} = {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵})
32	28, 31	sylan9eqr 2795	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → dom (𝐹 shift 𝐴) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵})
33		df-fn 6544	. 2 ⊢ ((𝐹 shift 𝐴) Fn {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵} ↔ (Fun (𝐹 shift 𝐴) ∧ dom (𝐹 shift 𝐴) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵}))
34	27, 32, 33	sylanbrc 584	1 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴) Fn {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397  ∀wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∃*wmo 2533  {crab 3433  Vcvv 3475   class class class wbr 5148  {copab 5210  dom cdm 5676  Rel wrel 5681  Fun wfun 6535   Fn wfn 6536  (class class class)co 7406  ℂcc 11105   − cmin 11441   shift cshi 15010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-ltxr 11250  df-sub 11443  df-shft 15011

This theorem is referenced by:  shftf  15023  seqshft  15029  uzmptshftfval  43091