MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sleadd2im Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sleadd2im 27384
Description: Surreal less-than or equal cancels under addition. (Contributed by Scott Fenton, 21-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
sleadd2im ((𝐴 No 𝐵 No 𝐶 No ) → ((𝐶 +s 𝐴) ≤s (𝐶 +s 𝐵) → 𝐴 ≤s 𝐵))

Proof of Theorem sleadd2im
StepHypRef Expression
1 addscom 27363 . . . 4 ((𝐴 No 𝐶 No ) → (𝐴 +s 𝐶) = (𝐶 +s 𝐴))
213adant2 1131 . . 3 ((𝐴 No 𝐵 No 𝐶 No ) → (𝐴 +s 𝐶) = (𝐶 +s 𝐴))
3 addscom 27363 . . . 4 ((𝐵 No 𝐶 No ) → (𝐵 +s 𝐶) = (𝐶 +s 𝐵))
433adant1 1130 . . 3 ((𝐴 No 𝐵 No 𝐶 No ) → (𝐵 +s 𝐶) = (𝐶 +s 𝐵))
52, 4breq12d 5153 . 2 ((𝐴 No 𝐵 No 𝐶 No ) → ((𝐴 +s 𝐶) ≤s (𝐵 +s 𝐶) ↔ (𝐶 +s 𝐴) ≤s (𝐶 +s 𝐵)))
6 sleadd1im 27383 . 2 ((𝐴 No 𝐵 No 𝐶 No ) → ((𝐴 +s 𝐶) ≤s (𝐵 +s 𝐶) → 𝐴 ≤s 𝐵))
75, 6sylbird 259 1 ((𝐴 No 𝐵 No 𝐶 No ) → ((𝐶 +s 𝐴) ≤s (𝐶 +s 𝐵) → 𝐴 ≤s 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5140  (class class class)co 7392   No csur 27067   ≤s csle 27171   +s cadds 27356
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5277  ax-sep 5291  ax-nul 5298  ax-pow 5355  ax-pr 5419  ax-un 7707
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3474  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4943  df-iun 4991  df-br 5141  df-opab 5203  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5566  df-eprel 5572  df-po 5580  df-so 5581  df-fr 5623  df-se 5624  df-we 5625  df-xp 5674  df-rel 5675  df-cnv 5676  df-co 5677  df-dm 5678  df-rn 5679  df-res 5680  df-ima 5681  df-pred 6288  df-ord 6355  df-on 6356  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7348  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-1st 7956  df-2nd 7957  df-frecs 8247  df-wrecs 8278  df-recs 8352  df-1o 8447  df-2o 8448  df-nadd 8647  df-no 27070  df-slt 27071  df-bday 27072  df-sle 27172  df-sslt 27206  df-scut 27208  df-0s 27248  df-made 27262  df-old 27263  df-left 27265  df-right 27266  df-norec2 27346  df-adds 27357
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator