Theorem sn-mul02 42822

Description: mul02 11323 without ax-mulcom 11102. See https://github.com/icecream17/Stuff/blob/main/math/0A%3D0.md 11102 for an outline. (Contributed by SN, 30-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sn-mul02	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)

Proof of Theorem sn-mul02

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 11141	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
2		0cnd 11137	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℂ)
3		recn 11128	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
5		ax-icn 11097	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → i ∈ ℂ)
7		recn 11128	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
8	7	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
9	6, 8	mulcld 11164	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
10	2, 4, 9	adddid 11168	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = ((0 · 𝑥) + (0 · (i · 𝑦))))
11		remul02 42775	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 · 𝑥) = 0)
12	11	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 · 𝑥) = 0)
13		sn-0tie0 42821	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 · i) = 0
14	13	oveq1i 7378	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 · i) · 𝑦) = (0 · 𝑦)
15	2, 6, 8	mulassd 11167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((0 · i) · 𝑦) = (0 · (i · 𝑦)))
16		remul02 42775	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (0 · 𝑦) = 0)
17	16	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 · 𝑦) = 0)
18	14, 15, 17	3eqtr3a 2796	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 · (i · 𝑦)) = 0)
19	12, 18	oveq12d 7386	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((0 · 𝑥) + (0 · (i · 𝑦))) = (0 + 0))
20		sn-00id 42771	. . . . . 6 ⊢ (0 + 0) = 0
21	19, 20	eqtrdi 2788	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((0 · 𝑥) + (0 · (i · 𝑦))) = 0)
22	10, 21	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0)
23		oveq2 7376	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (0 · 𝐴) = (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))))
24	23	eqeq1d 2739	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ((0 · 𝐴) = 0 ↔ (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0))
25	22, 24	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (0 · 𝐴) = 0))
26	25	rexlimivv 3180	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (0 · 𝐴) = 0)
27	1, 26	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  ici 11040   + caddc 11041   · cmul 11043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183  df-2 12220  df-3 12221  df-resub 42736

This theorem is referenced by: (None)