Theorem sn-mul02 42707

Description: mul02 11311 without ax-mulcom 11090. See https://github.com/icecream17/Stuff/blob/main/math/0A%3D0.md 11090 for an outline. (Contributed by SN, 30-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sn-mul02	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)

Proof of Theorem sn-mul02

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 11129	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
2		0cnd 11125	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℂ)
3		recn 11116	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
5		ax-icn 11085	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → i ∈ ℂ)
7		recn 11116	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
8	7	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
9	6, 8	mulcld 11152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
10	2, 4, 9	adddid 11156	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = ((0 · 𝑥) + (0 · (i · 𝑦))))
11		remul02 42660	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 · 𝑥) = 0)
12	11	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 · 𝑥) = 0)
13		sn-0tie0 42706	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 · i) = 0
14	13	oveq1i 7368	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 · i) · 𝑦) = (0 · 𝑦)
15	2, 6, 8	mulassd 11155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((0 · i) · 𝑦) = (0 · (i · 𝑦)))
16		remul02 42660	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (0 · 𝑦) = 0)
17	16	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 · 𝑦) = 0)
18	14, 15, 17	3eqtr3a 2795	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 · (i · 𝑦)) = 0)
19	12, 18	oveq12d 7376	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((0 · 𝑥) + (0 · (i · 𝑦))) = (0 + 0))
20		sn-00id 42656	. . . . . 6 ⊢ (0 + 0) = 0
21	19, 20	eqtrdi 2787	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((0 · 𝑥) + (0 · (i · 𝑦))) = 0)
22	10, 21	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0)
23		oveq2 7366	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (0 · 𝐴) = (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))))
24	23	eqeq1d 2738	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ((0 · 𝐴) = 0 ↔ (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0))
25	22, 24	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (0 · 𝐴) = 0))
26	25	rexlimivv 3178	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (0 · 𝐴) = 0)
27	1, 26	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3060  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  ℝcr 11025  0cc0 11026  ici 11028   + caddc 11029   · cmul 11031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171  df-2 12208  df-3 12209  df-resub 42621

This theorem is referenced by: (None)