Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sn-mulid2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sn-mulid2 39502
Description: mulid2 10639 without ax-mulcom 10600. (Contributed by SN, 27-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
sn-mulid2 (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem sn-mulid2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 10637 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
2 1cnd 10635 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
3 recn 10626 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
43adantr 484 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
5 ax-icn 10595 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
65a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → i ∈ ℂ)
7 recn 10626 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
87adantl 485 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
96, 8mulcld 10660 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
102, 4, 9adddid 10664 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = ((1 · 𝑥) + (1 · (i · 𝑦))))
11 remulid2 39500 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (1 · 𝑥) = 𝑥)
1211adantr 484 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 · 𝑥) = 𝑥)
132, 6, 8mulassd 10663 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((1 · i) · 𝑦) = (1 · (i · 𝑦)))
14 sn-1ticom 39501 . . . . . . . . . 10 (1 · i) = (i · 1)
1514oveq1i 7160 . . . . . . . . 9 ((1 · i) · 𝑦) = ((i · 1) · 𝑦)
1615a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((1 · i) · 𝑦) = ((i · 1) · 𝑦))
176, 2, 8mulassd 10663 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((i · 1) · 𝑦) = (i · (1 · 𝑦)))
18 remulid2 39500 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ → (1 · 𝑦) = 𝑦)
1918adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 · 𝑦) = 𝑦)
2019oveq2d 7166 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (i · (1 · 𝑦)) = (i · 𝑦))
2116, 17, 203eqtrd 2863 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((1 · i) · 𝑦) = (i · 𝑦))
2213, 21eqtr3d 2861 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 · (i · 𝑦)) = (i · 𝑦))
2312, 22oveq12d 7168 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((1 · 𝑥) + (1 · (i · 𝑦))) = (𝑥 + (i · 𝑦)))
2410, 23eqtrd 2859 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = (𝑥 + (i · 𝑦)))
25 oveq2 7158 . . . . 5 (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (1 · 𝐴) = (1 · (𝑥 + (i · 𝑦))))
26 id 22 . . . . 5 (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
2725, 26eqeq12d 2840 . . . 4 (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ((1 · 𝐴) = 𝐴 ↔ (1 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = (𝑥 + (i · 𝑦))))
2824, 27syl5ibrcom 250 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (1 · 𝐴) = 𝐴))
2928rexlimivv 3285 . 2 (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
301, 29syl 17 1 (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wrex 3134  (class class class)co 7150  cc 10534  cr 10535  1c1 10537  ici 10538   + caddc 10539   · cmul 10541
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-op 4558  df-uni 4826  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-po 5462  df-so 5463  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8286  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-ltxr 10679  df-2 11700  df-3 11701  df-resub 39435
This theorem is referenced by:  imulid1  39503
  Copyright terms: Public domain W3C validator