Theorem remulid2 39325

Description: Commuted version of ax-1rid 10600 and real number version of mulid2 10633 without ax-mulcom 10594. (Contributed by SN, 5-Feb-2024.)

Assertion

Ref	Expression
remulid2	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem remulid2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 3016	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐴 = 0)
2		ax-rrecex 10602	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
3		simpll 765	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	recnd 10662	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5		simprl 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
6	5	recnd 10662	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
7	4, 6, 4	mulassd 10657	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → ((𝐴 · 𝑥) · 𝐴) = (𝐴 · (𝑥 · 𝐴)))
8		simprr 771	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · 𝑥) = 1)
9	8	oveq1d 7164	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → ((𝐴 · 𝑥) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
10	3, 5, 8	remulinvcom 39324	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → (𝑥 · 𝐴) = 1)
11	10	oveq2d 7165	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · (𝑥 · 𝐴)) = (𝐴 · 1))
12		ax-1rid 10600	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
13	3, 12	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
14	11, 13	eqtrd 2855	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · (𝑥 · 𝐴)) = 𝐴)
15	7, 9, 14	3eqtr3d 2863	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
16	2, 15	rexlimddv 3290	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
17	16	ex 415	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≠ 0 → (1 · 𝐴) = 𝐴))
18	1, 17	syl5bir 245	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 𝐴 = 0 → (1 · 𝐴) = 𝐴))
19		1re 10634	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
20		remul01 39313	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1 · 0) = 0)
21	19, 20	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (1 · 0) = 0)
22		oveq2 7157	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (1 · 𝐴) = (1 · 0))
23		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → 𝐴 = 0)
24	21, 22, 23	3eqtr4d 2865	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
25	18, 24	pm2.61d2 183	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3015  (class class class)co 7149  ℝcr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   · cmul 10535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-er 8282  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-ltxr 10673  df-2 11694  df-3 11695  df-resub 39272

This theorem is referenced by:  remulcand  39326