Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  remulid2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem remulid2 40949
Description: Commuted version of ax-1rid 11129 without ax-mulcom 11123. (Contributed by SN, 5-Feb-2024.)
Assertion
Ref Expression
remulid2 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (1 ยท ๐ด) = ๐ด)

Proof of Theorem remulid2
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ne 2941 . . 3 (๐ด โ‰  0 โ†” ยฌ ๐ด = 0)
2 ax-rrecex 11131 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐ด ยท ๐‘ฅ) = 1)
3 simpll 766 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
43recnd 11191 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
5 simprl 770 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
65recnd 11191 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
74, 6, 4mulassd 11186 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘ฅ) ยท ๐ด) = (๐ด ยท (๐‘ฅ ยท ๐ด)))
8 simprr 772 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ (๐ด ยท ๐‘ฅ) = 1)
98oveq1d 7376 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘ฅ) ยท ๐ด) = (1 ยท ๐ด))
103, 5, 8remulinvcom 40948 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ด) = 1)
1110oveq2d 7377 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ (๐ด ยท (๐‘ฅ ยท ๐ด)) = (๐ด ยท 1))
12 ax-1rid 11129 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด ยท 1) = ๐ด)
133, 12syl 17 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ (๐ด ยท 1) = ๐ด)
1411, 13eqtrd 2773 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ (๐ด ยท (๐‘ฅ ยท ๐ด)) = ๐ด)
157, 9, 143eqtr3d 2781 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ (1 ยท ๐ด) = ๐ด)
162, 15rexlimddv 3155 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (1 ยท ๐ด) = ๐ด)
1716ex 414 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด โ‰  0 โ†’ (1 ยท ๐ด) = ๐ด))
181, 17biimtrrid 242 . 2 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (ยฌ ๐ด = 0 โ†’ (1 ยท ๐ด) = ๐ด))
19 1re 11163 . . . 4 1 โˆˆ โ„
20 remul01 40923 . . . 4 (1 โˆˆ โ„ โ†’ (1 ยท 0) = 0)
2119, 20mp1i 13 . . 3 (๐ด = 0 โ†’ (1 ยท 0) = 0)
22 oveq2 7369 . . 3 (๐ด = 0 โ†’ (1 ยท ๐ด) = (1 ยท 0))
23 id 22 . . 3 (๐ด = 0 โ†’ ๐ด = 0)
2421, 22, 233eqtr4d 2783 . 2 (๐ด = 0 โ†’ (1 ยท ๐ด) = ๐ด)
2518, 24pm2.61d2 181 1 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (1 ยท ๐ด) = ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  (class class class)co 7361  โ„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   ยท cmul 11064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-ltxr 11202  df-2 12224  df-3 12225  df-resub 40882
This theorem is referenced by:  sn-mulid2  40951  remulcand  40954  sn-0tie0  40955
  Copyright terms: Public domain W3C validator