Theorem golem1 32290

Description: Lemma for Godowski's equation. (Contributed by NM, 10-Nov-2002.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
golem1.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
golem1.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
golem1.3	⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
golem1.4	⊢ 𝐹 = ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))
golem1.5	⊢ 𝐺 = ((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐶))
golem1.6	⊢ 𝐻 = ((⊥‘𝐶) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐴))
golem1.7	⊢ 𝐷 = ((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴))
golem1.8	⊢ 𝑅 = ((⊥‘𝐶) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵))
golem1.9	⊢ 𝑆 = ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
golem1	⊢ (𝑓 ∈ States → (((𝑓‘𝐹) + (𝑓‘𝐺)) + (𝑓‘𝐻)) = (((𝑓‘𝐷) + (𝑓‘𝑅)) + (𝑓‘𝑆)))

Proof of Theorem golem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		golem1.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2	1	choccli 31326	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ
3		stcl 32235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ States → ((⊥‘𝐴) ∈ Cℋ → (𝑓‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℝ))
4	2, 3	mpi 20	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℝ)
5	4	recnd 11289	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℂ)
6		golem1.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
7	6	choccli 31326	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ
8		stcl 32235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ States → ((⊥‘𝐵) ∈ Cℋ → (𝑓‘(⊥‘𝐵)) ∈ ℝ))
9	7, 8	mpi 20	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(⊥‘𝐵)) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11289	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(⊥‘𝐵)) ∈ ℂ)
11		golem1.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
12	11	choccli 31326	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊥‘𝐶) ∈ Cℋ
13		stcl 32235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ States → ((⊥‘𝐶) ∈ Cℋ → (𝑓‘(⊥‘𝐶)) ∈ ℝ))
14	12, 13	mpi 20	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(⊥‘𝐶)) ∈ ℝ)
15	14	recnd 11289	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(⊥‘𝐶)) ∈ ℂ)
16	5, 10, 15	addassd 11283	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ States → (((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶)))))
17	10, 15	addcld 11280	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ States → ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) ∈ ℂ)
18	5, 17	addcomd 11463	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ States → ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶)))) = (((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + (𝑓‘(⊥‘𝐴))))
19	16, 18	eqtrd 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ States → (((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) = (((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + (𝑓‘(⊥‘𝐴))))
20	19	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ States → ((((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + (((𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶))) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + (𝑓‘(⊥‘𝐴))) + (((𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶))) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴)))))
21	5, 10	addcld 11280	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ States → ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) ∈ ℂ)
22	1, 6	chincli 31479	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ
23		stcl 32235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ States → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ → (𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ))
24	22, 23	mpi 20	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ)
25	24	recnd 11289	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℂ)
26	6, 11	chincli 31479	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∩ 𝐶) ∈ Cℋ
27		stcl 32235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ States → ((𝐵 ∩ 𝐶) ∈ Cℋ → (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)) ∈ ℝ))
28	26, 27	mpi 20	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)) ∈ ℝ)
29	28	recnd 11289	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)) ∈ ℂ)
30	25, 29	addcld 11280	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ States → ((𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶))) ∈ ℂ)
31	11, 1	chincli 31479	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∩ 𝐴) ∈ Cℋ
32		stcl 32235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ States → ((𝐶 ∩ 𝐴) ∈ Cℋ → (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ))
33	31, 32	mpi 20	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ)
34	33	recnd 11289	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴)) ∈ ℂ)
35	21, 30, 15, 34	add4d 11490	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ States → ((((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) + ((𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + (((𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶))) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴)))))
36	17, 30, 5, 34	add4d 11490	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ States → ((((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + ((𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + (𝑓‘(⊥‘𝐴))) + (((𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶))) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴)))))
37	20, 35, 36	3eqtr4d 2787	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ States → ((((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) + ((𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + ((𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴)))))
38	5, 25, 10, 29	add4d 11490	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ States → (((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)))) = (((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) + ((𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)))))
39	38	oveq1d 7446	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ States → ((((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) + ((𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴)))))
40	10, 25, 15, 29	add4d 11490	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ States → (((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)))) = (((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + ((𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)))))
41	40	oveq1d 7446	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ States → ((((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + ((𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴)))))
42	37, 39, 41	3eqtr4d 2787	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ States → ((((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴)))))
43	1, 6	stji1i 32261	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵))))
44	6, 11	stji1i 32261	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐶))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶))))
45	43, 44	oveq12d 7449	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ States → ((𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))) + (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)))) = (((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)))))
46	11, 1	stji1i 32261	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐴))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴))))
47	45, 46	oveq12d 7449	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ States → (((𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))) + (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)))) + (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐴)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴)))))
48	6, 1	stji1i 32261	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐴))))
49		incom 4209	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ 𝐵)
50	49	fveq2i 6909	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐴)) = (𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵))
51	50	oveq2i 7442	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐴))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵)))
52	48, 51	eqtrdi 2793	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵))))
53	11, 6	stji1i 32261	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐵))))
54		incom 4209	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ 𝐶)
55	54	fveq2i 6909	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐵)) = (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶))
56	55	oveq2i 7442	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐵))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)))
57	53, 56	eqtrdi 2793	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶))))
58	52, 57	oveq12d 7449	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ States → ((𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴))) + (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)))) = (((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)))))
59	1, 11	stji1i 32261	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐶))))
60		incom 4209	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐶) = (𝐶 ∩ 𝐴)
61	60	fveq2i 6909	. . . . . 6 ⊢ (𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐶)) = (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴))
62	61	oveq2i 7442	. . . . 5 ⊢ ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐶))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴)))
63	59, 62	eqtrdi 2793	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴))))
64	58, 63	oveq12d 7449	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ States → (((𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴))) + (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)))) + (𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴)))))
65	42, 47, 64	3eqtr4d 2787	. 2 ⊢ (𝑓 ∈ States → (((𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))) + (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)))) + (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐴)))) = (((𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴))) + (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)))) + (𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)))))
66		golem1.4	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))
67	66	fveq2i 6909	. . . 4 ⊢ (𝑓‘𝐹) = (𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))
68		golem1.5	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐶))
69	68	fveq2i 6909	. . . 4 ⊢ (𝑓‘𝐺) = (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)))
70	67, 69	oveq12i 7443	. . 3 ⊢ ((𝑓‘𝐹) + (𝑓‘𝐺)) = ((𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))) + (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐶))))
71		golem1.6	. . . 4 ⊢ 𝐻 = ((⊥‘𝐶) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐴))
72	71	fveq2i 6909	. . 3 ⊢ (𝑓‘𝐻) = (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐴)))
73	70, 72	oveq12i 7443	. 2 ⊢ (((𝑓‘𝐹) + (𝑓‘𝐺)) + (𝑓‘𝐻)) = (((𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))) + (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)))) + (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐴))))
74		golem1.7	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = ((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴))
75	74	fveq2i 6909	. . . 4 ⊢ (𝑓‘𝐷) = (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴)))
76		golem1.8	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ((⊥‘𝐶) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵))
77	76	fveq2i 6909	. . . 4 ⊢ (𝑓‘𝑅) = (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)))
78	75, 77	oveq12i 7443	. . 3 ⊢ ((𝑓‘𝐷) + (𝑓‘𝑅)) = ((𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴))) + (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵))))
79		golem1.9	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶))
80	79	fveq2i 6909	. . 3 ⊢ (𝑓‘𝑆) = (𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)))
81	78, 80	oveq12i 7443	. 2 ⊢ (((𝑓‘𝐷) + (𝑓‘𝑅)) + (𝑓‘𝑆)) = (((𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴))) + (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)))) + (𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶))))
82	65, 73, 81	3eqtr4g 2802	1 ⊢ (𝑓 ∈ States → (((𝑓‘𝐹) + (𝑓‘𝐺)) + (𝑓‘𝐻)) = (((𝑓‘𝐷) + (𝑓‘𝑅)) + (𝑓‘𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3950  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℝcr 11154   + caddc 11158   C_ℋ cch 30948  ⊥cort 30949   ∨_ℋ chj 30952  Statescst 30981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235  ax-hilex 31018  ax-hfvadd 31019  ax-hvcom 31020  ax-hvass 31021  ax-hv0cl 31022  ax-hvaddid 31023  ax-hfvmul 31024  ax-hvmulid 31025  ax-hvmulass 31026  ax-hvdistr1 31027  ax-hvdistr2 31028  ax-hvmul0 31029  ax-hfi 31098  ax-his1 31101  ax-his2 31102  ax-his3 31103  ax-his4 31104  ax-hcompl 31221

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-lm 23237  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cfil 25289  df-cau 25290  df-cmet 25291  df-grpo 30512  df-gid 30513  df-ginv 30514  df-gdiv 30515  df-ablo 30564  df-vc 30578  df-nv 30611  df-va 30614  df-ba 30615  df-sm 30616  df-0v 30617  df-vs 30618  df-nmcv 30619  df-ims 30620  df-dip 30720  df-ssp 30741  df-ph 30832  df-cbn 30882  df-hnorm 30987  df-hba 30988  df-hvsub 30990  df-hlim 30991  df-hcau 30992  df-sh 31226  df-ch 31240  df-oc 31271  df-ch0 31272  df-st 32230

This theorem is referenced by:  golem2  32291