Theorem golem1 32601

Description: Lemma for Godowski's equation. (Contributed by NM, 10-Nov-2002.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
golem1.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
golem1.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
golem1.3	⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
golem1.4	⊢ 𝐹 = ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))
golem1.5	⊢ 𝐺 = ((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐶))
golem1.6	⊢ 𝐻 = ((⊥‘𝐶) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐴))
golem1.7	⊢ 𝐷 = ((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴))
golem1.8	⊢ 𝑅 = ((⊥‘𝐶) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵))
golem1.9	⊢ 𝑆 = ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
golem1	⊢ (𝑓 ∈ States → (((𝑓‘𝐹) + (𝑓‘𝐺)) + (𝑓‘𝐻)) = (((𝑓‘𝐷) + (𝑓‘𝑅)) + (𝑓‘𝑆)))

Proof of Theorem golem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		golem1.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2	1	choccli 31637	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ
3		stcl 32546	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ States → ((⊥‘𝐴) ∈ Cℋ → (𝑓‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℝ))
4	2, 3	mpi 21	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℝ)
5	4	recnd 11238	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℂ)
6		golem1.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
7	6	choccli 31637	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ
8		stcl 32546	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ States → ((⊥‘𝐵) ∈ Cℋ → (𝑓‘(⊥‘𝐵)) ∈ ℝ))
9	7, 8	mpi 21	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(⊥‘𝐵)) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11238	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(⊥‘𝐵)) ∈ ℂ)
11		golem1.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
12	11	choccli 31637	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊥‘𝐶) ∈ Cℋ
13		stcl 32546	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ States → ((⊥‘𝐶) ∈ Cℋ → (𝑓‘(⊥‘𝐶)) ∈ ℝ))
14	12, 13	mpi 21	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(⊥‘𝐶)) ∈ ℝ)
15	14	recnd 11238	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(⊥‘𝐶)) ∈ ℂ)
16	5, 10, 15	addassd 11232	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ States → (((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶)))))
17	10, 15	addcld 11229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ States → ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) ∈ ℂ)
18	5, 17	addcomd 11413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ States → ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶)))) = (((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + (𝑓‘(⊥‘𝐴))))
19	16, 18	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ States → (((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) = (((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + (𝑓‘(⊥‘𝐴))))
20	19	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ States → ((((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + (((𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶))) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + (𝑓‘(⊥‘𝐴))) + (((𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶))) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴)))))
21	5, 10	addcld 11229	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ States → ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) ∈ ℂ)
22	1, 6	chincli 31790	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ
23		stcl 32546	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ States → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ → (𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ))
24	22, 23	mpi 21	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ)
25	24	recnd 11238	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℂ)
26	6, 11	chincli 31790	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∩ 𝐶) ∈ Cℋ
27		stcl 32546	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ States → ((𝐵 ∩ 𝐶) ∈ Cℋ → (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)) ∈ ℝ))
28	26, 27	mpi 21	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)) ∈ ℝ)
29	28	recnd 11238	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)) ∈ ℂ)
30	25, 29	addcld 11229	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ States → ((𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶))) ∈ ℂ)
31	11, 1	chincli 31790	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∩ 𝐴) ∈ Cℋ
32		stcl 32546	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ States → ((𝐶 ∩ 𝐴) ∈ Cℋ → (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ))
33	31, 32	mpi 21	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ)
34	33	recnd 11238	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴)) ∈ ℂ)
35	21, 30, 15, 34	add4d 11440	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ States → ((((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) + ((𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + (((𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶))) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴)))))
36	17, 30, 5, 34	add4d 11440	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ States → ((((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + ((𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + (𝑓‘(⊥‘𝐴))) + (((𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶))) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴)))))
37	20, 35, 36	3eqtr4d 2808	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ States → ((((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) + ((𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + ((𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴)))))
38	5, 25, 10, 29	add4d 11440	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ States → (((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)))) = (((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) + ((𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)))))
39	38	oveq1d 7427	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ States → ((((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) + ((𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴)))))
40	10, 25, 15, 29	add4d 11440	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ States → (((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)))) = (((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + ((𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)))))
41	40	oveq1d 7427	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ States → ((((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + ((𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴)))))
42	37, 39, 41	3eqtr4d 2808	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ States → ((((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴)))))
43	1, 6	stji1i 32572	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵))))
44	6, 11	stji1i 32572	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐶))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶))))
45	43, 44	oveq12d 7430	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ States → ((𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))) + (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)))) = (((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)))))
46	11, 1	stji1i 32572	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐴))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴))))
47	45, 46	oveq12d 7430	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ States → (((𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))) + (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)))) + (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐴)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴)))))
48	6, 1	stji1i 32572	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐴))))
49		incom 4163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ 𝐵)
50	49	fveq2i 6886	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐴)) = (𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵))
51	50	oveq2i 7423	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐴))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵)))
52	48, 51	eqtrdi 2814	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵))))
53	11, 6	stji1i 32572	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐵))))
54		incom 4163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ 𝐶)
55	54	fveq2i 6886	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐵)) = (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶))
56	55	oveq2i 7423	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐵))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)))
57	53, 56	eqtrdi 2814	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶))))
58	52, 57	oveq12d 7430	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ States → ((𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴))) + (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)))) = (((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)))))
59	1, 11	stji1i 32572	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐶))))
60		incom 4163	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐶) = (𝐶 ∩ 𝐴)
61	60	fveq2i 6886	. . . . . 6 ⊢ (𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐶)) = (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴))
62	61	oveq2i 7423	. . . . 5 ⊢ ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐶))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴)))
63	59, 62	eqtrdi 2814	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴))))
64	58, 63	oveq12d 7430	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ States → (((𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴))) + (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)))) + (𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴)))))
65	42, 47, 64	3eqtr4d 2808	. 2 ⊢ (𝑓 ∈ States → (((𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))) + (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)))) + (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐴)))) = (((𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴))) + (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)))) + (𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)))))
66		golem1.4	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))
67	66	fveq2i 6886	. . . 4 ⊢ (𝑓‘𝐹) = (𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))
68		golem1.5	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐶))
69	68	fveq2i 6886	. . . 4 ⊢ (𝑓‘𝐺) = (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)))
70	67, 69	oveq12i 7424	. . 3 ⊢ ((𝑓‘𝐹) + (𝑓‘𝐺)) = ((𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))) + (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐶))))
71		golem1.6	. . . 4 ⊢ 𝐻 = ((⊥‘𝐶) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐴))
72	71	fveq2i 6886	. . 3 ⊢ (𝑓‘𝐻) = (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐴)))
73	70, 72	oveq12i 7424	. 2 ⊢ (((𝑓‘𝐹) + (𝑓‘𝐺)) + (𝑓‘𝐻)) = (((𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))) + (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)))) + (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐴))))
74		golem1.7	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = ((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴))
75	74	fveq2i 6886	. . . 4 ⊢ (𝑓‘𝐷) = (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴)))
76		golem1.8	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ((⊥‘𝐶) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵))
77	76	fveq2i 6886	. . . 4 ⊢ (𝑓‘𝑅) = (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)))
78	75, 77	oveq12i 7424	. . 3 ⊢ ((𝑓‘𝐷) + (𝑓‘𝑅)) = ((𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴))) + (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵))))
79		golem1.9	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶))
80	79	fveq2i 6886	. . 3 ⊢ (𝑓‘𝑆) = (𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)))
81	78, 80	oveq12i 7424	. 2 ⊢ (((𝑓‘𝐷) + (𝑓‘𝑅)) + (𝑓‘𝑆)) = (((𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴))) + (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)))) + (𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶))))
82	65, 73, 81	3eqtr4g 2823	1 ⊢ (𝑓 ∈ States → (((𝑓‘𝐹) + (𝑓‘𝐺)) + (𝑓‘𝐻)) = (((𝑓‘𝐷) + (𝑓‘𝑅)) + (𝑓‘𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∩ cin 3905  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℝcr 11100   + caddc 11104   C_ℋ cch 31259  ⊥cort 31260   ∨_ℋ chj 31263  Statescst 31292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cc 10420  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179  ax-addf 11180  ax-mulf 11181  ax-hilex 31329  ax-hfvadd 31330  ax-hvcom 31331  ax-hvass 31332  ax-hv0cl 31333  ax-hvaddid 31334  ax-hfvmul 31335  ax-hvmulid 31336  ax-hvmulass 31337  ax-hvdistr1 31338  ax-hvdistr2 31339  ax-hvmul0 31340  ax-hfi 31409  ax-his1 31412  ax-his2 31413  ax-his3 31414  ax-his4 31415  ax-hcompl 31532

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-omul 8459  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8897  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-fi 9372  df-sup 9403  df-inf 9404  df-oi 9473  df-card 9926  df-acn 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-ioo 13377  df-ico 13379  df-icc 13380  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-fl 13827  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14369  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-clim 15541  df-rlim 15542  df-sum 15740  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17476  df-topn 17477  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-topgen 17497  df-pt 17498  df-prds 17501  df-xrs 17557  df-qtop 17562  df-imas 17563  df-xps 17565  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-submnd 18843  df-mulg 19135  df-cntz 19388  df-cmn 19853  df-psmet 21495  df-xmet 21496  df-met 21497  df-bl 21498  df-mopn 21499  df-fbas 21500  df-fg 21501  df-cnfld 21504  df-top 23032  df-topon 23049  df-topsp 23071  df-bases 23084  df-cld 23157  df-ntr 23158  df-cls 23159  df-nei 23236  df-cn 23365  df-cnp 23366  df-lm 23367  df-haus 23453  df-tx 23700  df-hmeo 23893  df-fil 23984  df-fm 24076  df-flim 24077  df-flf 24078  df-xms 24458  df-ms 24459  df-tms 24460  df-cfil 25395  df-cau 25396  df-cmet 25397  df-grpo 30823  df-gid 30824  df-ginv 30825  df-gdiv 30826  df-ablo 30875  df-vc 30889  df-nv 30922  df-va 30925  df-ba 30926  df-sm 30927  df-0v 30928  df-vs 30929  df-nmcv 30930  df-ims 30931  df-dip 31031  df-ssp 31052  df-ph 31143  df-cbn 31193  df-hnorm 31298  df-hba 31299  df-hvsub 31301  df-hlim 31302  df-hcau 31303  df-sh 31537  df-ch 31551  df-oc 31582  df-ch0 31583  df-st 32541

This theorem is referenced by:  golem2  32602