HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  golem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem golem1 31524
Description: Lemma for Godowski's equation. (Contributed by NM, 10-Nov-2002.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
golem1.1 𝐴C
golem1.2 𝐵C
golem1.3 𝐶C
golem1.4 𝐹 = ((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐵))
golem1.5 𝐺 = ((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐶))
golem1.6 𝐻 = ((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐴))
golem1.7 𝐷 = ((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐴))
golem1.8 𝑅 = ((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐵))
golem1.9 𝑆 = ((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐶))
Assertion
Ref Expression
golem1 (𝑓 ∈ States → (((𝑓𝐹) + (𝑓𝐺)) + (𝑓𝐻)) = (((𝑓𝐷) + (𝑓𝑅)) + (𝑓𝑆)))

Proof of Theorem golem1
StepHypRef Expression
1 golem1.1 . . . . . . . . . . 11 𝐴C
21choccli 30560 . . . . . . . . . 10 (⊥‘𝐴) ∈ C
3 stcl 31469 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ States → ((⊥‘𝐴) ∈ C → (𝑓‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℝ))
42, 3mpi 20 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℝ)
54recnd 11242 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℂ)
6 golem1.2 . . . . . . . . . . 11 𝐵C
76choccli 30560 . . . . . . . . . 10 (⊥‘𝐵) ∈ C
8 stcl 31469 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ States → ((⊥‘𝐵) ∈ C → (𝑓‘(⊥‘𝐵)) ∈ ℝ))
97, 8mpi 20 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(⊥‘𝐵)) ∈ ℝ)
109recnd 11242 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(⊥‘𝐵)) ∈ ℂ)
11 golem1.3 . . . . . . . . . . 11 𝐶C
1211choccli 30560 . . . . . . . . . 10 (⊥‘𝐶) ∈ C
13 stcl 31469 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ States → ((⊥‘𝐶) ∈ C → (𝑓‘(⊥‘𝐶)) ∈ ℝ))
1412, 13mpi 20 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(⊥‘𝐶)) ∈ ℝ)
1514recnd 11242 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(⊥‘𝐶)) ∈ ℂ)
165, 10, 15addassd 11236 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ States → (((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶)))))
1710, 15addcld 11233 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ States → ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) ∈ ℂ)
185, 17addcomd 11416 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ States → ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶)))) = (((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + (𝑓‘(⊥‘𝐴))))
1916, 18eqtrd 2773 . . . . . 6 (𝑓 ∈ States → (((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) = (((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + (𝑓‘(⊥‘𝐴))))
2019oveq1d 7424 . . . . 5 (𝑓 ∈ States → ((((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + (((𝑓‘(𝐴𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶))) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + (𝑓‘(⊥‘𝐴))) + (((𝑓‘(𝐴𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶))) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))))
215, 10addcld 11233 . . . . . 6 (𝑓 ∈ States → ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) ∈ ℂ)
221, 6chincli 30713 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵) ∈ C
23 stcl 31469 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ States → ((𝐴𝐵) ∈ C → (𝑓‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ))
2422, 23mpi 20 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
2524recnd 11242 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(𝐴𝐵)) ∈ ℂ)
266, 11chincli 30713 . . . . . . . . 9 (𝐵𝐶) ∈ C
27 stcl 31469 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ States → ((𝐵𝐶) ∈ C → (𝑓‘(𝐵𝐶)) ∈ ℝ))
2826, 27mpi 20 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
2928recnd 11242 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(𝐵𝐶)) ∈ ℂ)
3025, 29addcld 11233 . . . . . 6 (𝑓 ∈ States → ((𝑓‘(𝐴𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶))) ∈ ℂ)
3111, 1chincli 30713 . . . . . . . 8 (𝐶𝐴) ∈ C
32 stcl 31469 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ States → ((𝐶𝐴) ∈ C → (𝑓‘(𝐶𝐴)) ∈ ℝ))
3331, 32mpi 20 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(𝐶𝐴)) ∈ ℝ)
3433recnd 11242 . . . . . 6 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(𝐶𝐴)) ∈ ℂ)
3521, 30, 15, 34add4d 11442 . . . . 5 (𝑓 ∈ States → ((((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) + ((𝑓‘(𝐴𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + (((𝑓‘(𝐴𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶))) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))))
3617, 30, 5, 34add4d 11442 . . . . 5 (𝑓 ∈ States → ((((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + ((𝑓‘(𝐴𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + (𝑓‘(⊥‘𝐴))) + (((𝑓‘(𝐴𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶))) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))))
3720, 35, 363eqtr4d 2783 . . . 4 (𝑓 ∈ States → ((((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) + ((𝑓‘(𝐴𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + ((𝑓‘(𝐴𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))))
385, 25, 10, 29add4d 11442 . . . . 5 (𝑓 ∈ States → (((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐴𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))) = (((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) + ((𝑓‘(𝐴𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))))
3938oveq1d 7424 . . . 4 (𝑓 ∈ States → ((((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐴𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) + ((𝑓‘(𝐴𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))))
4010, 25, 15, 29add4d 11442 . . . . 5 (𝑓 ∈ States → (((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐴𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))) = (((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + ((𝑓‘(𝐴𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))))
4140oveq1d 7424 . . . 4 (𝑓 ∈ States → ((((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐴𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + ((𝑓‘(𝐴𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))))
4237, 39, 413eqtr4d 2783 . . 3 (𝑓 ∈ States → ((((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐴𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐴𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))))
431, 6stji1i 31495 . . . . 5 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐵))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐴𝐵))))
446, 11stji1i 31495 . . . . 5 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐶))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶))))
4543, 44oveq12d 7427 . . . 4 (𝑓 ∈ States → ((𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐵))) + (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐶)))) = (((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐴𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))))
4611, 1stji1i 31495 . . . 4 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐴))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶𝐴))))
4745, 46oveq12d 7427 . . 3 (𝑓 ∈ States → (((𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐵))) + (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐶)))) + (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐴)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐴𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))))
486, 1stji1i 31495 . . . . . 6 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐴))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐴))))
49 incom 4202 . . . . . . . 8 (𝐵𝐴) = (𝐴𝐵)
5049fveq2i 6895 . . . . . . 7 (𝑓‘(𝐵𝐴)) = (𝑓‘(𝐴𝐵))
5150oveq2i 7420 . . . . . 6 ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐴))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐴𝐵)))
5248, 51eqtrdi 2789 . . . . 5 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐴))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐴𝐵))))
5311, 6stji1i 31495 . . . . . 6 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐵))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶𝐵))))
54 incom 4202 . . . . . . . 8 (𝐶𝐵) = (𝐵𝐶)
5554fveq2i 6895 . . . . . . 7 (𝑓‘(𝐶𝐵)) = (𝑓‘(𝐵𝐶))
5655oveq2i 7420 . . . . . 6 ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶𝐵))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))
5753, 56eqtrdi 2789 . . . . 5 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐵))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐵𝐶))))
5852, 57oveq12d 7427 . . . 4 (𝑓 ∈ States → ((𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐴))) + (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐵)))) = (((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐴𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))))
591, 11stji1i 31495 . . . . 5 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐶))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐴𝐶))))
60 incom 4202 . . . . . . 7 (𝐴𝐶) = (𝐶𝐴)
6160fveq2i 6895 . . . . . 6 (𝑓‘(𝐴𝐶)) = (𝑓‘(𝐶𝐴))
6261oveq2i 7420 . . . . 5 ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐴𝐶))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))
6359, 62eqtrdi 2789 . . . 4 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐶))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐶𝐴))))
6458, 63oveq12d 7427 . . 3 (𝑓 ∈ States → (((𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐴))) + (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐵)))) + (𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐶)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐴𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))))
6542, 47, 643eqtr4d 2783 . 2 (𝑓 ∈ States → (((𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐵))) + (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐶)))) + (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐴)))) = (((𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐴))) + (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐵)))) + (𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐶)))))
66 golem1.4 . . . . 5 𝐹 = ((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐵))
6766fveq2i 6895 . . . 4 (𝑓𝐹) = (𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐵)))
68 golem1.5 . . . . 5 𝐺 = ((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐶))
6968fveq2i 6895 . . . 4 (𝑓𝐺) = (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐶)))
7067, 69oveq12i 7421 . . 3 ((𝑓𝐹) + (𝑓𝐺)) = ((𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐵))) + (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐶))))
71 golem1.6 . . . 4 𝐻 = ((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐴))
7271fveq2i 6895 . . 3 (𝑓𝐻) = (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐴)))
7370, 72oveq12i 7421 . 2 (((𝑓𝐹) + (𝑓𝐺)) + (𝑓𝐻)) = (((𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐵))) + (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐶)))) + (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐴))))
74 golem1.7 . . . . 5 𝐷 = ((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐴))
7574fveq2i 6895 . . . 4 (𝑓𝐷) = (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐴)))
76 golem1.8 . . . . 5 𝑅 = ((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐵))
7776fveq2i 6895 . . . 4 (𝑓𝑅) = (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐵)))
7875, 77oveq12i 7421 . . 3 ((𝑓𝐷) + (𝑓𝑅)) = ((𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐴))) + (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐵))))
79 golem1.9 . . . 4 𝑆 = ((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐶))
8079fveq2i 6895 . . 3 (𝑓𝑆) = (𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐶)))
8178, 80oveq12i 7421 . 2 (((𝑓𝐷) + (𝑓𝑅)) + (𝑓𝑆)) = (((𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐴))) + (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐵)))) + (𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐶))))
8265, 73, 813eqtr4g 2798 1 (𝑓 ∈ States → (((𝑓𝐹) + (𝑓𝐺)) + (𝑓𝐻)) = (((𝑓𝐷) + (𝑓𝑅)) + (𝑓𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  cin 3948  cfv 6544  (class class class)co 7409  cr 11109   + caddc 11113   C cch 30182  cort 30183   chj 30186  Statescst 30215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cc 10430  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190  ax-hilex 30252  ax-hfvadd 30253  ax-hvcom 30254  ax-hvass 30255  ax-hv0cl 30256  ax-hvaddid 30257  ax-hfvmul 30258  ax-hvmulid 30259  ax-hvmulass 30260  ax-hvdistr1 30261  ax-hvdistr2 30262  ax-hvmul0 30263  ax-hfi 30332  ax-his1 30335  ax-his2 30336  ax-his3 30337  ax-his4 30338  ax-hcompl 30455
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-acn 9937  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-lm 22733  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cfil 24772  df-cau 24773  df-cmet 24774  df-grpo 29746  df-gid 29747  df-ginv 29748  df-gdiv 29749  df-ablo 29798  df-vc 29812  df-nv 29845  df-va 29848  df-ba 29849  df-sm 29850  df-0v 29851  df-vs 29852  df-nmcv 29853  df-ims 29854  df-dip 29954  df-ssp 29975  df-ph 30066  df-cbn 30116  df-hnorm 30221  df-hba 30222  df-hvsub 30224  df-hlim 30225  df-hcau 30226  df-sh 30460  df-ch 30474  df-oc 30505  df-ch0 30506  df-st 31464
This theorem is referenced by:  golem2  31525
  Copyright terms: Public domain W3C validator