HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  golem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem golem1 31255
Description: Lemma for Godowski's equation. (Contributed by NM, 10-Nov-2002.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
golem1.1 𝐴C
golem1.2 𝐵C
golem1.3 𝐶C
golem1.4 𝐹 = ((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐵))
golem1.5 𝐺 = ((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐶))
golem1.6 𝐻 = ((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐴))
golem1.7 𝐷 = ((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐴))
golem1.8 𝑅 = ((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐵))
golem1.9 𝑆 = ((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐶))
Assertion
Ref Expression
golem1 (𝑓 ∈ States → (((𝑓𝐹) + (𝑓𝐺)) + (𝑓𝐻)) = (((𝑓𝐷) + (𝑓𝑅)) + (𝑓𝑆)))

Proof of Theorem golem1
StepHypRef Expression
1 golem1.1 . . . . . . . . . . 11 𝐴C
21choccli 30291 . . . . . . . . . 10 (⊥‘𝐴) ∈ C
3 stcl 31200 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ States → ((⊥‘𝐴) ∈ C → (𝑓‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℝ))
42, 3mpi 20 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℝ)
54recnd 11190 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℂ)
6 golem1.2 . . . . . . . . . . 11 𝐵C
76choccli 30291 . . . . . . . . . 10 (⊥‘𝐵) ∈ C
8 stcl 31200 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ States → ((⊥‘𝐵) ∈ C → (𝑓‘(⊥‘𝐵)) ∈ ℝ))
97, 8mpi 20 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(⊥‘𝐵)) ∈ ℝ)
109recnd 11190 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(⊥‘𝐵)) ∈ ℂ)
11 golem1.3 . . . . . . . . . . 11 𝐶C
1211choccli 30291 . . . . . . . . . 10 (⊥‘𝐶) ∈ C
13 stcl 31200 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ States → ((⊥‘𝐶) ∈ C → (𝑓‘(⊥‘𝐶)) ∈ ℝ))
1412, 13mpi 20 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(⊥‘𝐶)) ∈ ℝ)
1514recnd 11190 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(⊥‘𝐶)) ∈ ℂ)
165, 10, 15addassd 11184 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ States → (((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶)))))
1710, 15addcld 11181 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ States → ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) ∈ ℂ)
185, 17addcomd 11364 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ States → ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶)))) = (((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + (𝑓‘(⊥‘𝐴))))
1916, 18eqtrd 2777 . . . . . 6 (𝑓 ∈ States → (((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) = (((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + (𝑓‘(⊥‘𝐴))))
2019oveq1d 7377 . . . . 5 (𝑓 ∈ States → ((((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + (((𝑓‘(𝐴𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶))) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + (𝑓‘(⊥‘𝐴))) + (((𝑓‘(𝐴𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶))) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))))
215, 10addcld 11181 . . . . . 6 (𝑓 ∈ States → ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) ∈ ℂ)
221, 6chincli 30444 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵) ∈ C
23 stcl 31200 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ States → ((𝐴𝐵) ∈ C → (𝑓‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ))
2422, 23mpi 20 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
2524recnd 11190 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(𝐴𝐵)) ∈ ℂ)
266, 11chincli 30444 . . . . . . . . 9 (𝐵𝐶) ∈ C
27 stcl 31200 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ States → ((𝐵𝐶) ∈ C → (𝑓‘(𝐵𝐶)) ∈ ℝ))
2826, 27mpi 20 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
2928recnd 11190 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(𝐵𝐶)) ∈ ℂ)
3025, 29addcld 11181 . . . . . 6 (𝑓 ∈ States → ((𝑓‘(𝐴𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶))) ∈ ℂ)
3111, 1chincli 30444 . . . . . . . 8 (𝐶𝐴) ∈ C
32 stcl 31200 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ States → ((𝐶𝐴) ∈ C → (𝑓‘(𝐶𝐴)) ∈ ℝ))
3331, 32mpi 20 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(𝐶𝐴)) ∈ ℝ)
3433recnd 11190 . . . . . 6 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(𝐶𝐴)) ∈ ℂ)
3521, 30, 15, 34add4d 11390 . . . . 5 (𝑓 ∈ States → ((((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) + ((𝑓‘(𝐴𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + (((𝑓‘(𝐴𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶))) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))))
3617, 30, 5, 34add4d 11390 . . . . 5 (𝑓 ∈ States → ((((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + ((𝑓‘(𝐴𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + (𝑓‘(⊥‘𝐴))) + (((𝑓‘(𝐴𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶))) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))))
3720, 35, 363eqtr4d 2787 . . . 4 (𝑓 ∈ States → ((((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) + ((𝑓‘(𝐴𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + ((𝑓‘(𝐴𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))))
385, 25, 10, 29add4d 11390 . . . . 5 (𝑓 ∈ States → (((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐴𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))) = (((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) + ((𝑓‘(𝐴𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))))
3938oveq1d 7377 . . . 4 (𝑓 ∈ States → ((((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐴𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) + ((𝑓‘(𝐴𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))))
4010, 25, 15, 29add4d 11390 . . . . 5 (𝑓 ∈ States → (((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐴𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))) = (((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + ((𝑓‘(𝐴𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))))
4140oveq1d 7377 . . . 4 (𝑓 ∈ States → ((((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐴𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + ((𝑓‘(𝐴𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))))
4237, 39, 413eqtr4d 2787 . . 3 (𝑓 ∈ States → ((((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐴𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐴𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))))
431, 6stji1i 31226 . . . . 5 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐵))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐴𝐵))))
446, 11stji1i 31226 . . . . 5 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐶))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶))))
4543, 44oveq12d 7380 . . . 4 (𝑓 ∈ States → ((𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐵))) + (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐶)))) = (((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐴𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))))
4611, 1stji1i 31226 . . . 4 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐴))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶𝐴))))
4745, 46oveq12d 7380 . . 3 (𝑓 ∈ States → (((𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐵))) + (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐶)))) + (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐴)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐴𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))))
486, 1stji1i 31226 . . . . . 6 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐴))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐴))))
49 incom 4166 . . . . . . . 8 (𝐵𝐴) = (𝐴𝐵)
5049fveq2i 6850 . . . . . . 7 (𝑓‘(𝐵𝐴)) = (𝑓‘(𝐴𝐵))
5150oveq2i 7373 . . . . . 6 ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐴))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐴𝐵)))
5248, 51eqtrdi 2793 . . . . 5 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐴))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐴𝐵))))
5311, 6stji1i 31226 . . . . . 6 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐵))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶𝐵))))
54 incom 4166 . . . . . . . 8 (𝐶𝐵) = (𝐵𝐶)
5554fveq2i 6850 . . . . . . 7 (𝑓‘(𝐶𝐵)) = (𝑓‘(𝐵𝐶))
5655oveq2i 7373 . . . . . 6 ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶𝐵))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))
5753, 56eqtrdi 2793 . . . . 5 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐵))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐵𝐶))))
5852, 57oveq12d 7380 . . . 4 (𝑓 ∈ States → ((𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐴))) + (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐵)))) = (((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐴𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))))
591, 11stji1i 31226 . . . . 5 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐶))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐴𝐶))))
60 incom 4166 . . . . . . 7 (𝐴𝐶) = (𝐶𝐴)
6160fveq2i 6850 . . . . . 6 (𝑓‘(𝐴𝐶)) = (𝑓‘(𝐶𝐴))
6261oveq2i 7373 . . . . 5 ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐴𝐶))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))
6359, 62eqtrdi 2793 . . . 4 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐶))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐶𝐴))))
6458, 63oveq12d 7380 . . 3 (𝑓 ∈ States → (((𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐴))) + (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐵)))) + (𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐶)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐴𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))))
6542, 47, 643eqtr4d 2787 . 2 (𝑓 ∈ States → (((𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐵))) + (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐶)))) + (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐴)))) = (((𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐴))) + (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐵)))) + (𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐶)))))
66 golem1.4 . . . . 5 𝐹 = ((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐵))
6766fveq2i 6850 . . . 4 (𝑓𝐹) = (𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐵)))
68 golem1.5 . . . . 5 𝐺 = ((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐶))
6968fveq2i 6850 . . . 4 (𝑓𝐺) = (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐶)))
7067, 69oveq12i 7374 . . 3 ((𝑓𝐹) + (𝑓𝐺)) = ((𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐵))) + (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐶))))
71 golem1.6 . . . 4 𝐻 = ((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐴))
7271fveq2i 6850 . . 3 (𝑓𝐻) = (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐴)))
7370, 72oveq12i 7374 . 2 (((𝑓𝐹) + (𝑓𝐺)) + (𝑓𝐻)) = (((𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐵))) + (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐶)))) + (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐴))))
74 golem1.7 . . . . 5 𝐷 = ((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐴))
7574fveq2i 6850 . . . 4 (𝑓𝐷) = (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐴)))
76 golem1.8 . . . . 5 𝑅 = ((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐵))
7776fveq2i 6850 . . . 4 (𝑓𝑅) = (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐵)))
7875, 77oveq12i 7374 . . 3 ((𝑓𝐷) + (𝑓𝑅)) = ((𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐴))) + (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐵))))
79 golem1.9 . . . 4 𝑆 = ((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐶))
8079fveq2i 6850 . . 3 (𝑓𝑆) = (𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐶)))
8178, 80oveq12i 7374 . 2 (((𝑓𝐷) + (𝑓𝑅)) + (𝑓𝑆)) = (((𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐴))) + (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐵)))) + (𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐶))))
8265, 73, 813eqtr4g 2802 1 (𝑓 ∈ States → (((𝑓𝐹) + (𝑓𝐺)) + (𝑓𝐻)) = (((𝑓𝐷) + (𝑓𝑅)) + (𝑓𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  cin 3914  cfv 6501  (class class class)co 7362  cr 11057   + caddc 11061   C cch 29913  cort 29914   chj 29917  Statescst 29946
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cc 10378  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138  ax-hilex 29983  ax-hfvadd 29984  ax-hvcom 29985  ax-hvass 29986  ax-hv0cl 29987  ax-hvaddid 29988  ax-hfvmul 29989  ax-hvmulid 29990  ax-hvmulass 29991  ax-hvdistr1 29992  ax-hvdistr2 29993  ax-hvmul0 29994  ax-hfi 30063  ax-his1 30066  ax-his2 30067  ax-his3 30068  ax-his4 30069  ax-hcompl 30186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-lm 22596  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cfil 24635  df-cau 24636  df-cmet 24637  df-grpo 29477  df-gid 29478  df-ginv 29479  df-gdiv 29480  df-ablo 29529  df-vc 29543  df-nv 29576  df-va 29579  df-ba 29580  df-sm 29581  df-0v 29582  df-vs 29583  df-nmcv 29584  df-ims 29585  df-dip 29685  df-ssp 29706  df-ph 29797  df-cbn 29847  df-hnorm 29952  df-hba 29953  df-hvsub 29955  df-hlim 29956  df-hcau 29957  df-sh 30191  df-ch 30205  df-oc 30236  df-ch0 30237  df-st 31195
This theorem is referenced by:  golem2  31256
  Copyright terms: Public domain W3C validator