Theorem golem1 32357

Description: Lemma for Godowski's equation. (Contributed by NM, 10-Nov-2002.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
golem1.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
golem1.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
golem1.3	⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
golem1.4	⊢ 𝐹 = ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))
golem1.5	⊢ 𝐺 = ((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐶))
golem1.6	⊢ 𝐻 = ((⊥‘𝐶) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐴))
golem1.7	⊢ 𝐷 = ((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴))
golem1.8	⊢ 𝑅 = ((⊥‘𝐶) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵))
golem1.9	⊢ 𝑆 = ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
golem1	⊢ (𝑓 ∈ States → (((𝑓‘𝐹) + (𝑓‘𝐺)) + (𝑓‘𝐻)) = (((𝑓‘𝐷) + (𝑓‘𝑅)) + (𝑓‘𝑆)))

Proof of Theorem golem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		golem1.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2	1	choccli 31393	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ
3		stcl 32302	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ States → ((⊥‘𝐴) ∈ Cℋ → (𝑓‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℝ))
4	2, 3	mpi 20	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℝ)
5	4	recnd 11164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℂ)
6		golem1.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
7	6	choccli 31393	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ
8		stcl 32302	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ States → ((⊥‘𝐵) ∈ Cℋ → (𝑓‘(⊥‘𝐵)) ∈ ℝ))
9	7, 8	mpi 20	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(⊥‘𝐵)) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(⊥‘𝐵)) ∈ ℂ)
11		golem1.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
12	11	choccli 31393	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊥‘𝐶) ∈ Cℋ
13		stcl 32302	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ States → ((⊥‘𝐶) ∈ Cℋ → (𝑓‘(⊥‘𝐶)) ∈ ℝ))
14	12, 13	mpi 20	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(⊥‘𝐶)) ∈ ℝ)
15	14	recnd 11164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(⊥‘𝐶)) ∈ ℂ)
16	5, 10, 15	addassd 11158	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ States → (((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶)))))
17	10, 15	addcld 11155	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ States → ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) ∈ ℂ)
18	5, 17	addcomd 11339	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ States → ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶)))) = (((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + (𝑓‘(⊥‘𝐴))))
19	16, 18	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ States → (((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) = (((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + (𝑓‘(⊥‘𝐴))))
20	19	oveq1d 7375	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ States → ((((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + (((𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶))) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + (𝑓‘(⊥‘𝐴))) + (((𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶))) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴)))))
21	5, 10	addcld 11155	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ States → ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) ∈ ℂ)
22	1, 6	chincli 31546	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ
23		stcl 32302	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ States → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ → (𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ))
24	22, 23	mpi 20	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ)
25	24	recnd 11164	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℂ)
26	6, 11	chincli 31546	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∩ 𝐶) ∈ Cℋ
27		stcl 32302	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ States → ((𝐵 ∩ 𝐶) ∈ Cℋ → (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)) ∈ ℝ))
28	26, 27	mpi 20	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)) ∈ ℝ)
29	28	recnd 11164	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)) ∈ ℂ)
30	25, 29	addcld 11155	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ States → ((𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶))) ∈ ℂ)
31	11, 1	chincli 31546	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∩ 𝐴) ∈ Cℋ
32		stcl 32302	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ States → ((𝐶 ∩ 𝐴) ∈ Cℋ → (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ))
33	31, 32	mpi 20	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ)
34	33	recnd 11164	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴)) ∈ ℂ)
35	21, 30, 15, 34	add4d 11366	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ States → ((((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) + ((𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + (((𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶))) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴)))))
36	17, 30, 5, 34	add4d 11366	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ States → ((((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + ((𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + (𝑓‘(⊥‘𝐴))) + (((𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶))) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴)))))
37	20, 35, 36	3eqtr4d 2782	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ States → ((((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) + ((𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + ((𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴)))))
38	5, 25, 10, 29	add4d 11366	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ States → (((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)))) = (((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) + ((𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)))))
39	38	oveq1d 7375	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ States → ((((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) + ((𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴)))))
40	10, 25, 15, 29	add4d 11366	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ States → (((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)))) = (((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + ((𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)))))
41	40	oveq1d 7375	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ States → ((((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + ((𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴)))))
42	37, 39, 41	3eqtr4d 2782	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ States → ((((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴)))))
43	1, 6	stji1i 32328	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵))))
44	6, 11	stji1i 32328	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐶))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶))))
45	43, 44	oveq12d 7378	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ States → ((𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))) + (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)))) = (((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)))))
46	11, 1	stji1i 32328	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐴))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴))))
47	45, 46	oveq12d 7378	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ States → (((𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))) + (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)))) + (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐴)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴)))))
48	6, 1	stji1i 32328	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐴))))
49		incom 4150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ 𝐵)
50	49	fveq2i 6837	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐴)) = (𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵))
51	50	oveq2i 7371	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐴))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵)))
52	48, 51	eqtrdi 2788	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵))))
53	11, 6	stji1i 32328	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐵))))
54		incom 4150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ 𝐶)
55	54	fveq2i 6837	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐵)) = (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶))
56	55	oveq2i 7371	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐵))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)))
57	53, 56	eqtrdi 2788	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶))))
58	52, 57	oveq12d 7378	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ States → ((𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴))) + (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)))) = (((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)))))
59	1, 11	stji1i 32328	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐶))))
60		incom 4150	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐶) = (𝐶 ∩ 𝐴)
61	60	fveq2i 6837	. . . . . 6 ⊢ (𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐶)) = (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴))
62	61	oveq2i 7371	. . . . 5 ⊢ ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐶))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴)))
63	59, 62	eqtrdi 2788	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴))))
64	58, 63	oveq12d 7378	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ States → (((𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴))) + (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)))) + (𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐴 ∩ 𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐵 ∩ 𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐶 ∩ 𝐴)))))
65	42, 47, 64	3eqtr4d 2782	. 2 ⊢ (𝑓 ∈ States → (((𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))) + (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)))) + (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐴)))) = (((𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴))) + (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)))) + (𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)))))
66		golem1.4	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))
67	66	fveq2i 6837	. . . 4 ⊢ (𝑓‘𝐹) = (𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))
68		golem1.5	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐶))
69	68	fveq2i 6837	. . . 4 ⊢ (𝑓‘𝐺) = (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)))
70	67, 69	oveq12i 7372	. . 3 ⊢ ((𝑓‘𝐹) + (𝑓‘𝐺)) = ((𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))) + (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐶))))
71		golem1.6	. . . 4 ⊢ 𝐻 = ((⊥‘𝐶) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐴))
72	71	fveq2i 6837	. . 3 ⊢ (𝑓‘𝐻) = (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐴)))
73	70, 72	oveq12i 7372	. 2 ⊢ (((𝑓‘𝐹) + (𝑓‘𝐺)) + (𝑓‘𝐻)) = (((𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))) + (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐶)))) + (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐴))))
74		golem1.7	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = ((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴))
75	74	fveq2i 6837	. . . 4 ⊢ (𝑓‘𝐷) = (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴)))
76		golem1.8	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ((⊥‘𝐶) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵))
77	76	fveq2i 6837	. . . 4 ⊢ (𝑓‘𝑅) = (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)))
78	75, 77	oveq12i 7372	. . 3 ⊢ ((𝑓‘𝐷) + (𝑓‘𝑅)) = ((𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴))) + (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵))))
79		golem1.9	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶))
80	79	fveq2i 6837	. . 3 ⊢ (𝑓‘𝑆) = (𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)))
81	78, 80	oveq12i 7372	. 2 ⊢ (((𝑓‘𝐷) + (𝑓‘𝑅)) + (𝑓‘𝑆)) = (((𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴))) + (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ℋ (𝐶 ∩ 𝐵)))) + (𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶))))
82	65, 73, 81	3eqtr4g 2797	1 ⊢ (𝑓 ∈ States → (((𝑓‘𝐹) + (𝑓‘𝐺)) + (𝑓‘𝐻)) = (((𝑓‘𝐷) + (𝑓‘𝑅)) + (𝑓‘𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3889  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℝcr 11028   + caddc 11032   C_ℋ cch 31015  ⊥cort 31016   ∨_ℋ chj 31019  Statescst 31048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cc 10348  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108  ax-mulf 11109  ax-hilex 31085  ax-hfvadd 31086  ax-hvcom 31087  ax-hvass 31088  ax-hv0cl 31089  ax-hvaddid 31090  ax-hfvmul 31091  ax-hvmulid 31092  ax-hvmulass 31093  ax-hvdistr1 31094  ax-hvdistr2 31095  ax-hvmul0 31096  ax-hfi 31165  ax-his1 31168  ax-his2 31169  ax-his3 31170  ax-his4 31171  ax-hcompl 31288

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-oadd 8402  df-omul 8403  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-fi 9317  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-card 9854  df-acn 9857  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-fbas 21341  df-fg 21342  df-cnfld 21345  df-top 22869  df-topon 22886  df-topsp 22908  df-bases 22921  df-cld 22994  df-ntr 22995  df-cls 22996  df-nei 23073  df-cn 23202  df-cnp 23203  df-lm 23204  df-haus 23290  df-tx 23537  df-hmeo 23730  df-fil 23821  df-fm 23913  df-flim 23914  df-flf 23915  df-xms 24295  df-ms 24296  df-tms 24297  df-cfil 25232  df-cau 25233  df-cmet 25234  df-grpo 30579  df-gid 30580  df-ginv 30581  df-gdiv 30582  df-ablo 30631  df-vc 30645  df-nv 30678  df-va 30681  df-ba 30682  df-sm 30683  df-0v 30684  df-vs 30685  df-nmcv 30686  df-ims 30687  df-dip 30787  df-ssp 30808  df-ph 30899  df-cbn 30949  df-hnorm 31054  df-hba 31055  df-hvsub 31057  df-hlim 31058  df-hcau 31059  df-sh 31293  df-ch 31307  df-oc 31338  df-ch0 31339  df-st 32297

This theorem is referenced by:  golem2  32358