HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  golem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem golem1 32290
Description: Lemma for Godowski's equation. (Contributed by NM, 10-Nov-2002.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
golem1.1 𝐴C
golem1.2 𝐵C
golem1.3 𝐶C
golem1.4 𝐹 = ((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐵))
golem1.5 𝐺 = ((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐶))
golem1.6 𝐻 = ((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐴))
golem1.7 𝐷 = ((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐴))
golem1.8 𝑅 = ((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐵))
golem1.9 𝑆 = ((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐶))
Assertion
Ref Expression
golem1 (𝑓 ∈ States → (((𝑓𝐹) + (𝑓𝐺)) + (𝑓𝐻)) = (((𝑓𝐷) + (𝑓𝑅)) + (𝑓𝑆)))

Proof of Theorem golem1
StepHypRef Expression
1 golem1.1 . . . . . . . . . . 11 𝐴C
21choccli 31326 . . . . . . . . . 10 (⊥‘𝐴) ∈ C
3 stcl 32235 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ States → ((⊥‘𝐴) ∈ C → (𝑓‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℝ))
42, 3mpi 20 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℝ)
54recnd 11289 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℂ)
6 golem1.2 . . . . . . . . . . 11 𝐵C
76choccli 31326 . . . . . . . . . 10 (⊥‘𝐵) ∈ C
8 stcl 32235 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ States → ((⊥‘𝐵) ∈ C → (𝑓‘(⊥‘𝐵)) ∈ ℝ))
97, 8mpi 20 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(⊥‘𝐵)) ∈ ℝ)
109recnd 11289 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(⊥‘𝐵)) ∈ ℂ)
11 golem1.3 . . . . . . . . . . 11 𝐶C
1211choccli 31326 . . . . . . . . . 10 (⊥‘𝐶) ∈ C
13 stcl 32235 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ States → ((⊥‘𝐶) ∈ C → (𝑓‘(⊥‘𝐶)) ∈ ℝ))
1412, 13mpi 20 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(⊥‘𝐶)) ∈ ℝ)
1514recnd 11289 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(⊥‘𝐶)) ∈ ℂ)
165, 10, 15addassd 11283 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ States → (((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶)))))
1710, 15addcld 11280 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ States → ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) ∈ ℂ)
185, 17addcomd 11463 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ States → ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶)))) = (((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + (𝑓‘(⊥‘𝐴))))
1916, 18eqtrd 2777 . . . . . 6 (𝑓 ∈ States → (((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) = (((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + (𝑓‘(⊥‘𝐴))))
2019oveq1d 7446 . . . . 5 (𝑓 ∈ States → ((((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + (((𝑓‘(𝐴𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶))) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + (𝑓‘(⊥‘𝐴))) + (((𝑓‘(𝐴𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶))) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))))
215, 10addcld 11280 . . . . . 6 (𝑓 ∈ States → ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) ∈ ℂ)
221, 6chincli 31479 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵) ∈ C
23 stcl 32235 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ States → ((𝐴𝐵) ∈ C → (𝑓‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ))
2422, 23mpi 20 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
2524recnd 11289 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(𝐴𝐵)) ∈ ℂ)
266, 11chincli 31479 . . . . . . . . 9 (𝐵𝐶) ∈ C
27 stcl 32235 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ States → ((𝐵𝐶) ∈ C → (𝑓‘(𝐵𝐶)) ∈ ℝ))
2826, 27mpi 20 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
2928recnd 11289 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(𝐵𝐶)) ∈ ℂ)
3025, 29addcld 11280 . . . . . 6 (𝑓 ∈ States → ((𝑓‘(𝐴𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶))) ∈ ℂ)
3111, 1chincli 31479 . . . . . . . 8 (𝐶𝐴) ∈ C
32 stcl 32235 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ States → ((𝐶𝐴) ∈ C → (𝑓‘(𝐶𝐴)) ∈ ℝ))
3331, 32mpi 20 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(𝐶𝐴)) ∈ ℝ)
3433recnd 11289 . . . . . 6 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(𝐶𝐴)) ∈ ℂ)
3521, 30, 15, 34add4d 11490 . . . . 5 (𝑓 ∈ States → ((((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) + ((𝑓‘(𝐴𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + (((𝑓‘(𝐴𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶))) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))))
3617, 30, 5, 34add4d 11490 . . . . 5 (𝑓 ∈ States → ((((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + ((𝑓‘(𝐴𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + (𝑓‘(⊥‘𝐴))) + (((𝑓‘(𝐴𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶))) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))))
3720, 35, 363eqtr4d 2787 . . . 4 (𝑓 ∈ States → ((((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) + ((𝑓‘(𝐴𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + ((𝑓‘(𝐴𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))))
385, 25, 10, 29add4d 11490 . . . . 5 (𝑓 ∈ States → (((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐴𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))) = (((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) + ((𝑓‘(𝐴𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))))
3938oveq1d 7446 . . . 4 (𝑓 ∈ States → ((((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐴𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) + ((𝑓‘(𝐴𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))))
4010, 25, 15, 29add4d 11490 . . . . 5 (𝑓 ∈ States → (((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐴𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))) = (((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + ((𝑓‘(𝐴𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))))
4140oveq1d 7446 . . . 4 (𝑓 ∈ States → ((((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐴𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + ((𝑓‘(𝐴𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))))
4237, 39, 413eqtr4d 2787 . . 3 (𝑓 ∈ States → ((((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐴𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐴𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))))
431, 6stji1i 32261 . . . . 5 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐵))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐴𝐵))))
446, 11stji1i 32261 . . . . 5 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐶))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶))))
4543, 44oveq12d 7449 . . . 4 (𝑓 ∈ States → ((𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐵))) + (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐶)))) = (((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐴𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))))
4611, 1stji1i 32261 . . . 4 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐴))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶𝐴))))
4745, 46oveq12d 7449 . . 3 (𝑓 ∈ States → (((𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐵))) + (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐶)))) + (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐴)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐴𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))))
486, 1stji1i 32261 . . . . . 6 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐴))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐴))))
49 incom 4209 . . . . . . . 8 (𝐵𝐴) = (𝐴𝐵)
5049fveq2i 6909 . . . . . . 7 (𝑓‘(𝐵𝐴)) = (𝑓‘(𝐴𝐵))
5150oveq2i 7442 . . . . . 6 ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐴))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐴𝐵)))
5248, 51eqtrdi 2793 . . . . 5 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐴))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐴𝐵))))
5311, 6stji1i 32261 . . . . . 6 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐵))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶𝐵))))
54 incom 4209 . . . . . . . 8 (𝐶𝐵) = (𝐵𝐶)
5554fveq2i 6909 . . . . . . 7 (𝑓‘(𝐶𝐵)) = (𝑓‘(𝐵𝐶))
5655oveq2i 7442 . . . . . 6 ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶𝐵))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))
5753, 56eqtrdi 2793 . . . . 5 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐵))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐵𝐶))))
5852, 57oveq12d 7449 . . . 4 (𝑓 ∈ States → ((𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐴))) + (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐵)))) = (((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐴𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))))
591, 11stji1i 32261 . . . . 5 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐶))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐴𝐶))))
60 incom 4209 . . . . . . 7 (𝐴𝐶) = (𝐶𝐴)
6160fveq2i 6909 . . . . . 6 (𝑓‘(𝐴𝐶)) = (𝑓‘(𝐶𝐴))
6261oveq2i 7442 . . . . 5 ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐴𝐶))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))
6359, 62eqtrdi 2793 . . . 4 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐶))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐶𝐴))))
6458, 63oveq12d 7449 . . 3 (𝑓 ∈ States → (((𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐴))) + (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐵)))) + (𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐶)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐴𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))))
6542, 47, 643eqtr4d 2787 . 2 (𝑓 ∈ States → (((𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐵))) + (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐶)))) + (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐴)))) = (((𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐴))) + (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐵)))) + (𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐶)))))
66 golem1.4 . . . . 5 𝐹 = ((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐵))
6766fveq2i 6909 . . . 4 (𝑓𝐹) = (𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐵)))
68 golem1.5 . . . . 5 𝐺 = ((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐶))
6968fveq2i 6909 . . . 4 (𝑓𝐺) = (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐶)))
7067, 69oveq12i 7443 . . 3 ((𝑓𝐹) + (𝑓𝐺)) = ((𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐵))) + (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐶))))
71 golem1.6 . . . 4 𝐻 = ((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐴))
7271fveq2i 6909 . . 3 (𝑓𝐻) = (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐴)))
7370, 72oveq12i 7443 . 2 (((𝑓𝐹) + (𝑓𝐺)) + (𝑓𝐻)) = (((𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐵))) + (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐶)))) + (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐴))))
74 golem1.7 . . . . 5 𝐷 = ((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐴))
7574fveq2i 6909 . . . 4 (𝑓𝐷) = (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐴)))
76 golem1.8 . . . . 5 𝑅 = ((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐵))
7776fveq2i 6909 . . . 4 (𝑓𝑅) = (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐵)))
7875, 77oveq12i 7443 . . 3 ((𝑓𝐷) + (𝑓𝑅)) = ((𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐴))) + (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐵))))
79 golem1.9 . . . 4 𝑆 = ((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐶))
8079fveq2i 6909 . . 3 (𝑓𝑆) = (𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐶)))
8178, 80oveq12i 7443 . 2 (((𝑓𝐷) + (𝑓𝑅)) + (𝑓𝑆)) = (((𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐴))) + (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐵)))) + (𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐶))))
8265, 73, 813eqtr4g 2802 1 (𝑓 ∈ States → (((𝑓𝐹) + (𝑓𝐺)) + (𝑓𝐻)) = (((𝑓𝐷) + (𝑓𝑅)) + (𝑓𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  cin 3950  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154   + caddc 11158   C cch 30948  cort 30949   chj 30952  Statescst 30981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235  ax-hilex 31018  ax-hfvadd 31019  ax-hvcom 31020  ax-hvass 31021  ax-hv0cl 31022  ax-hvaddid 31023  ax-hfvmul 31024  ax-hvmulid 31025  ax-hvmulass 31026  ax-hvdistr1 31027  ax-hvdistr2 31028  ax-hvmul0 31029  ax-hfi 31098  ax-his1 31101  ax-his2 31102  ax-his3 31103  ax-his4 31104  ax-hcompl 31221
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-lm 23237  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cfil 25289  df-cau 25290  df-cmet 25291  df-grpo 30512  df-gid 30513  df-ginv 30514  df-gdiv 30515  df-ablo 30564  df-vc 30578  df-nv 30611  df-va 30614  df-ba 30615  df-sm 30616  df-0v 30617  df-vs 30618  df-nmcv 30619  df-ims 30620  df-dip 30720  df-ssp 30741  df-ph 30832  df-cbn 30882  df-hnorm 30987  df-hba 30988  df-hvsub 30990  df-hlim 30991  df-hcau 30992  df-sh 31226  df-ch 31240  df-oc 31271  df-ch0 31272  df-st 32230
This theorem is referenced by:  golem2  32291
  Copyright terms: Public domain W3C validator