HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  golem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem golem1 32300
Description: Lemma for Godowski's equation. (Contributed by NM, 10-Nov-2002.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
golem1.1 𝐴C
golem1.2 𝐵C
golem1.3 𝐶C
golem1.4 𝐹 = ((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐵))
golem1.5 𝐺 = ((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐶))
golem1.6 𝐻 = ((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐴))
golem1.7 𝐷 = ((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐴))
golem1.8 𝑅 = ((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐵))
golem1.9 𝑆 = ((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐶))
Assertion
Ref Expression
golem1 (𝑓 ∈ States → (((𝑓𝐹) + (𝑓𝐺)) + (𝑓𝐻)) = (((𝑓𝐷) + (𝑓𝑅)) + (𝑓𝑆)))

Proof of Theorem golem1
StepHypRef Expression
1 golem1.1 . . . . . . . . . . 11 𝐴C
21choccli 31336 . . . . . . . . . 10 (⊥‘𝐴) ∈ C
3 stcl 32245 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ States → ((⊥‘𝐴) ∈ C → (𝑓‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℝ))
42, 3mpi 20 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℝ)
54recnd 11287 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℂ)
6 golem1.2 . . . . . . . . . . 11 𝐵C
76choccli 31336 . . . . . . . . . 10 (⊥‘𝐵) ∈ C
8 stcl 32245 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ States → ((⊥‘𝐵) ∈ C → (𝑓‘(⊥‘𝐵)) ∈ ℝ))
97, 8mpi 20 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(⊥‘𝐵)) ∈ ℝ)
109recnd 11287 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(⊥‘𝐵)) ∈ ℂ)
11 golem1.3 . . . . . . . . . . 11 𝐶C
1211choccli 31336 . . . . . . . . . 10 (⊥‘𝐶) ∈ C
13 stcl 32245 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ States → ((⊥‘𝐶) ∈ C → (𝑓‘(⊥‘𝐶)) ∈ ℝ))
1412, 13mpi 20 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(⊥‘𝐶)) ∈ ℝ)
1514recnd 11287 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(⊥‘𝐶)) ∈ ℂ)
165, 10, 15addassd 11281 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ States → (((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶)))))
1710, 15addcld 11278 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ States → ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) ∈ ℂ)
185, 17addcomd 11461 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ States → ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶)))) = (((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + (𝑓‘(⊥‘𝐴))))
1916, 18eqtrd 2775 . . . . . 6 (𝑓 ∈ States → (((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) = (((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + (𝑓‘(⊥‘𝐴))))
2019oveq1d 7446 . . . . 5 (𝑓 ∈ States → ((((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + (((𝑓‘(𝐴𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶))) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + (𝑓‘(⊥‘𝐴))) + (((𝑓‘(𝐴𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶))) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))))
215, 10addcld 11278 . . . . . 6 (𝑓 ∈ States → ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) ∈ ℂ)
221, 6chincli 31489 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵) ∈ C
23 stcl 32245 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ States → ((𝐴𝐵) ∈ C → (𝑓‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ))
2422, 23mpi 20 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
2524recnd 11287 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(𝐴𝐵)) ∈ ℂ)
266, 11chincli 31489 . . . . . . . . 9 (𝐵𝐶) ∈ C
27 stcl 32245 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ States → ((𝐵𝐶) ∈ C → (𝑓‘(𝐵𝐶)) ∈ ℝ))
2826, 27mpi 20 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
2928recnd 11287 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(𝐵𝐶)) ∈ ℂ)
3025, 29addcld 11278 . . . . . 6 (𝑓 ∈ States → ((𝑓‘(𝐴𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶))) ∈ ℂ)
3111, 1chincli 31489 . . . . . . . 8 (𝐶𝐴) ∈ C
32 stcl 32245 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ States → ((𝐶𝐴) ∈ C → (𝑓‘(𝐶𝐴)) ∈ ℝ))
3331, 32mpi 20 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(𝐶𝐴)) ∈ ℝ)
3433recnd 11287 . . . . . 6 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘(𝐶𝐴)) ∈ ℂ)
3521, 30, 15, 34add4d 11488 . . . . 5 (𝑓 ∈ States → ((((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) + ((𝑓‘(𝐴𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + (((𝑓‘(𝐴𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶))) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))))
3617, 30, 5, 34add4d 11488 . . . . 5 (𝑓 ∈ States → ((((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + ((𝑓‘(𝐴𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + (𝑓‘(⊥‘𝐴))) + (((𝑓‘(𝐴𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶))) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))))
3720, 35, 363eqtr4d 2785 . . . 4 (𝑓 ∈ States → ((((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) + ((𝑓‘(𝐴𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + ((𝑓‘(𝐴𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))))
385, 25, 10, 29add4d 11488 . . . . 5 (𝑓 ∈ States → (((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐴𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))) = (((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) + ((𝑓‘(𝐴𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))))
3938oveq1d 7446 . . . 4 (𝑓 ∈ States → ((((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐴𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(⊥‘𝐵))) + ((𝑓‘(𝐴𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))))
4010, 25, 15, 29add4d 11488 . . . . 5 (𝑓 ∈ States → (((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐴𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))) = (((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + ((𝑓‘(𝐴𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))))
4140oveq1d 7446 . . . 4 (𝑓 ∈ States → ((((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐴𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(⊥‘𝐶))) + ((𝑓‘(𝐴𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))))
4237, 39, 413eqtr4d 2785 . . 3 (𝑓 ∈ States → ((((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐴𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐴𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))))
431, 6stji1i 32271 . . . . 5 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐵))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐴𝐵))))
446, 11stji1i 32271 . . . . 5 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐶))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶))))
4543, 44oveq12d 7449 . . . 4 (𝑓 ∈ States → ((𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐵))) + (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐶)))) = (((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐴𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))))
4611, 1stji1i 32271 . . . 4 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐴))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶𝐴))))
4745, 46oveq12d 7449 . . 3 (𝑓 ∈ States → (((𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐵))) + (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐶)))) + (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐴)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐴𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))))
486, 1stji1i 32271 . . . . . 6 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐴))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐴))))
49 incom 4217 . . . . . . . 8 (𝐵𝐴) = (𝐴𝐵)
5049fveq2i 6910 . . . . . . 7 (𝑓‘(𝐵𝐴)) = (𝑓‘(𝐴𝐵))
5150oveq2i 7442 . . . . . 6 ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐵𝐴))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐴𝐵)))
5248, 51eqtrdi 2791 . . . . 5 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐴))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐴𝐵))))
5311, 6stji1i 32271 . . . . . 6 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐵))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶𝐵))))
54 incom 4217 . . . . . . . 8 (𝐶𝐵) = (𝐵𝐶)
5554fveq2i 6910 . . . . . . 7 (𝑓‘(𝐶𝐵)) = (𝑓‘(𝐵𝐶))
5655oveq2i 7442 . . . . . 6 ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐶𝐵))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))
5753, 56eqtrdi 2791 . . . . 5 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐵))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐵𝐶))))
5852, 57oveq12d 7449 . . . 4 (𝑓 ∈ States → ((𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐴))) + (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐵)))) = (((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐴𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))))
591, 11stji1i 32271 . . . . 5 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐶))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐴𝐶))))
60 incom 4217 . . . . . . 7 (𝐴𝐶) = (𝐶𝐴)
6160fveq2i 6910 . . . . . 6 (𝑓‘(𝐴𝐶)) = (𝑓‘(𝐶𝐴))
6261oveq2i 7442 . . . . 5 ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐴𝐶))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))
6359, 62eqtrdi 2791 . . . 4 (𝑓 ∈ States → (𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐶))) = ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐶𝐴))))
6458, 63oveq12d 7449 . . 3 (𝑓 ∈ States → (((𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐴))) + (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐵)))) + (𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐶)))) = ((((𝑓‘(⊥‘𝐵)) + (𝑓‘(𝐴𝐵))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐶)) + (𝑓‘(𝐵𝐶)))) + ((𝑓‘(⊥‘𝐴)) + (𝑓‘(𝐶𝐴)))))
6542, 47, 643eqtr4d 2785 . 2 (𝑓 ∈ States → (((𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐵))) + (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐶)))) + (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐴)))) = (((𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐴))) + (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐵)))) + (𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐶)))))
66 golem1.4 . . . . 5 𝐹 = ((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐵))
6766fveq2i 6910 . . . 4 (𝑓𝐹) = (𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐵)))
68 golem1.5 . . . . 5 𝐺 = ((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐶))
6968fveq2i 6910 . . . 4 (𝑓𝐺) = (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐶)))
7067, 69oveq12i 7443 . . 3 ((𝑓𝐹) + (𝑓𝐺)) = ((𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐵))) + (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐶))))
71 golem1.6 . . . 4 𝐻 = ((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐴))
7271fveq2i 6910 . . 3 (𝑓𝐻) = (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐴)))
7370, 72oveq12i 7443 . 2 (((𝑓𝐹) + (𝑓𝐺)) + (𝑓𝐻)) = (((𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐵))) + (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐶)))) + (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐴))))
74 golem1.7 . . . . 5 𝐷 = ((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐴))
7574fveq2i 6910 . . . 4 (𝑓𝐷) = (𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐴)))
76 golem1.8 . . . . 5 𝑅 = ((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐵))
7776fveq2i 6910 . . . 4 (𝑓𝑅) = (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐵)))
7875, 77oveq12i 7443 . . 3 ((𝑓𝐷) + (𝑓𝑅)) = ((𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐴))) + (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐵))))
79 golem1.9 . . . 4 𝑆 = ((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐶))
8079fveq2i 6910 . . 3 (𝑓𝑆) = (𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐶)))
8178, 80oveq12i 7443 . 2 (((𝑓𝐷) + (𝑓𝑅)) + (𝑓𝑆)) = (((𝑓‘((⊥‘𝐵) ∨ (𝐵𝐴))) + (𝑓‘((⊥‘𝐶) ∨ (𝐶𝐵)))) + (𝑓‘((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐶))))
8265, 73, 813eqtr4g 2800 1 (𝑓 ∈ States → (((𝑓𝐹) + (𝑓𝐺)) + (𝑓𝐻)) = (((𝑓𝐷) + (𝑓𝑅)) + (𝑓𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  cin 3962  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152   + caddc 11156   C cch 30958  cort 30959   chj 30962  Statescst 30991
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cc 10473  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233  ax-hilex 31028  ax-hfvadd 31029  ax-hvcom 31030  ax-hvass 31031  ax-hv0cl 31032  ax-hvaddid 31033  ax-hfvmul 31034  ax-hvmulid 31035  ax-hvmulass 31036  ax-hvdistr1 31037  ax-hvdistr2 31038  ax-hvmul0 31039  ax-hfi 31108  ax-his1 31111  ax-his2 31112  ax-his3 31113  ax-his4 31114  ax-hcompl 31231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-lm 23253  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cfil 25303  df-cau 25304  df-cmet 25305  df-grpo 30522  df-gid 30523  df-ginv 30524  df-gdiv 30525  df-ablo 30574  df-vc 30588  df-nv 30621  df-va 30624  df-ba 30625  df-sm 30626  df-0v 30627  df-vs 30628  df-nmcv 30629  df-ims 30630  df-dip 30730  df-ssp 30751  df-ph 30842  df-cbn 30892  df-hnorm 30997  df-hba 30998  df-hvsub 31000  df-hlim 31001  df-hcau 31002  df-sh 31236  df-ch 31250  df-oc 31281  df-ch0 31282  df-st 32240
This theorem is referenced by:  golem2  32301
  Copyright terms: Public domain W3C validator