HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  stcltrlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stcltrlem1 30068
Description: Lemma for strong classical state theorem. (Contributed by NM, 24-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
stcltr1.1 (𝜑 ↔ (𝑆 ∈ States ∧ ∀𝑥C𝑦C (((𝑆𝑥) = 1 → (𝑆𝑦) = 1) → 𝑥𝑦)))
stcltr1.2 𝐴C
stcltrlem1.3 𝐵C
Assertion
Ref Expression
stcltrlem1 (𝜑 → ((𝑆𝐵) = 1 → (𝑆‘((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐵))) = 1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem stcltrlem1
StepHypRef Expression
1 stcltr1.1 . . . . . 6 (𝜑 ↔ (𝑆 ∈ States ∧ ∀𝑥C𝑦C (((𝑆𝑥) = 1 → (𝑆𝑦) = 1) → 𝑥𝑦)))
21simplbi 501 . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ States)
3 stcltr1.2 . . . . . 6 𝐴C
4 stcltrlem1.3 . . . . . 6 𝐵C
53, 4stji1i 30034 . . . . 5 (𝑆 ∈ States → (𝑆‘((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐵))) = ((𝑆‘(⊥‘𝐴)) + (𝑆‘(𝐴𝐵))))
62, 5syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑆‘((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐵))) = ((𝑆‘(⊥‘𝐴)) + (𝑆‘(𝐴𝐵))))
76adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑆𝐵) = 1) → (𝑆‘((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐵))) = ((𝑆‘(⊥‘𝐴)) + (𝑆‘(𝐴𝐵))))
81, 4stcltr2i 30067 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆𝐵) = 1 → 𝐵 = ℋ))
98imp 410 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑆𝐵) = 1) → 𝐵 = ℋ)
10 ineq2 4168 . . . . . . . 8 (𝐵 = ℋ → (𝐴𝐵) = (𝐴 ∩ ℋ))
113chm1i 29248 . . . . . . . 8 (𝐴 ∩ ℋ) = 𝐴
1210, 11syl6eq 2875 . . . . . . 7 (𝐵 = ℋ → (𝐴𝐵) = 𝐴)
139, 12syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑆𝐵) = 1) → (𝐴𝐵) = 𝐴)
1413fveq2d 6667 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑆𝐵) = 1) → (𝑆‘(𝐴𝐵)) = (𝑆𝐴))
1514oveq2d 7167 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑆𝐵) = 1) → ((𝑆‘(⊥‘𝐴)) + (𝑆‘(𝐴𝐵))) = ((𝑆‘(⊥‘𝐴)) + (𝑆𝐴)))
162adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑆𝐵) = 1) → 𝑆 ∈ States)
173choccli 29099 . . . . . . . . 9 (⊥‘𝐴) ∈ C
18 stcl 30008 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ States → ((⊥‘𝐴) ∈ C → (𝑆‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℝ))
1917, 18mpi 20 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ States → (𝑆‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℝ)
2019recnd 10669 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ States → (𝑆‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℂ)
21 stcl 30008 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ States → (𝐴C → (𝑆𝐴) ∈ ℝ))
223, 21mpi 20 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ States → (𝑆𝐴) ∈ ℝ)
2322recnd 10669 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ States → (𝑆𝐴) ∈ ℂ)
2420, 23addcomd 10842 . . . . . 6 (𝑆 ∈ States → ((𝑆‘(⊥‘𝐴)) + (𝑆𝐴)) = ((𝑆𝐴) + (𝑆‘(⊥‘𝐴))))
253sto1i 30028 . . . . . 6 (𝑆 ∈ States → ((𝑆𝐴) + (𝑆‘(⊥‘𝐴))) = 1)
2624, 25eqtrd 2859 . . . . 5 (𝑆 ∈ States → ((𝑆‘(⊥‘𝐴)) + (𝑆𝐴)) = 1)
2716, 26syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑆𝐵) = 1) → ((𝑆‘(⊥‘𝐴)) + (𝑆𝐴)) = 1)
2815, 27eqtrd 2859 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑆𝐵) = 1) → ((𝑆‘(⊥‘𝐴)) + (𝑆‘(𝐴𝐵))) = 1)
297, 28eqtrd 2859 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑆𝐵) = 1) → (𝑆‘((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐵))) = 1)
3029ex 416 1 (𝜑 → ((𝑆𝐵) = 1 → (𝑆‘((⊥‘𝐴) ∨ (𝐴𝐵))) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3133  cin 3918  wss 3919  cfv 6345  (class class class)co 7151  cr 10536  1c1 10538   + caddc 10540  chba 28711   C cch 28721  cort 28722   chj 28725  Statescst 28754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-inf2 9103  ax-cc 9857  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615  ax-addf 10616  ax-mulf 10617  ax-hilex 28791  ax-hfvadd 28792  ax-hvcom 28793  ax-hvass 28794  ax-hv0cl 28795  ax-hvaddid 28796  ax-hfvmul 28797  ax-hvmulid 28798  ax-hvmulass 28799  ax-hvdistr1 28800  ax-hvdistr2 28801  ax-hvmul0 28802  ax-hfi 28871  ax-his1 28874  ax-his2 28875  ax-his3 28876  ax-his4 28877  ax-hcompl 28994
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-isom 6354  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7405  df-om 7577  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-supp 7829  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-2o 8101  df-oadd 8104  df-omul 8105  df-er 8287  df-map 8406  df-pm 8407  df-ixp 8460  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511  df-fsupp 8833  df-fi 8874  df-sup 8905  df-inf 8906  df-oi 8973  df-card 9367  df-acn 9370  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11637  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-q 12348  df-rp 12389  df-xneg 12506  df-xadd 12507  df-xmul 12508  df-ioo 12741  df-ico 12743  df-icc 12744  df-fz 12897  df-fzo 13040  df-fl 13168  df-seq 13376  df-exp 13437  df-hash 13698  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-clim 14847  df-rlim 14848  df-sum 15045  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-starv 16582  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-unif 16590  df-hom 16591  df-cco 16592  df-rest 16698  df-topn 16699  df-0g 16717  df-gsum 16718  df-topgen 16719  df-pt 16720  df-prds 16723  df-xrs 16777  df-qtop 16782  df-imas 16783  df-xps 16785  df-mre 16859  df-mrc 16860  df-acs 16862  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-submnd 17959  df-mulg 18227  df-cntz 18449  df-cmn 18910  df-psmet 20092  df-xmet 20093  df-met 20094  df-bl 20095  df-mopn 20096  df-fbas 20097  df-fg 20098  df-cnfld 20101  df-top 21508  df-topon 21525  df-topsp 21547  df-bases 21560  df-cld 21633  df-ntr 21634  df-cls 21635  df-nei 21712  df-cn 21841  df-cnp 21842  df-lm 21843  df-haus 21929  df-tx 22176  df-hmeo 22369  df-fil 22460  df-fm 22552  df-flim 22553  df-flf 22554  df-xms 22936  df-ms 22937  df-tms 22938  df-cfil 23868  df-cau 23869  df-cmet 23870  df-grpo 28285  df-gid 28286  df-ginv 28287  df-gdiv 28288  df-ablo 28337  df-vc 28351  df-nv 28384  df-va 28387  df-ba 28388  df-sm 28389  df-0v 28390  df-vs 28391  df-nmcv 28392  df-ims 28393  df-dip 28493  df-ssp 28514  df-ph 28605  df-cbn 28655  df-hnorm 28760  df-hba 28761  df-hvsub 28763  df-hlim 28764  df-hcau 28765  df-sh 28999  df-ch 29013  df-oc 29044  df-ch0 29045  df-chj 29102  df-st 30003
This theorem is referenced by:  stcltrlem2  30069
  Copyright terms: Public domain W3C validator