Theorem stcltrlem1 32001

Description: Lemma for strong classical state theorem. (Contributed by NM, 24-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
stcltr1.1	⊢ (𝜑 ↔ (𝑆 ∈ States ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ ∀𝑦 ∈ Cℋ (((𝑆‘𝑥) = 1 → (𝑆‘𝑦) = 1) → 𝑥 ⊆ 𝑦)))
stcltr1.2	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
stcltrlem1.3	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
stcltrlem1	⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐵) = 1 → (𝑆‘((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))) = 1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem stcltrlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stcltr1.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 ↔ (𝑆 ∈ States ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ ∀𝑦 ∈ Cℋ (((𝑆‘𝑥) = 1 → (𝑆‘𝑦) = 1) → 𝑥 ⊆ 𝑦)))
2	1	simplbi 497	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ States)
3		stcltr1.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
4		stcltrlem1.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
5	3, 4	stji1i 31967	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝑆‘((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))) = ((𝑆‘(⊥‘𝐴)) + (𝑆‘(𝐴 ∩ 𝐵))))
6	2, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))) = ((𝑆‘(⊥‘𝐴)) + (𝑆‘(𝐴 ∩ 𝐵))))
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆‘𝐵) = 1) → (𝑆‘((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))) = ((𝑆‘(⊥‘𝐴)) + (𝑆‘(𝐴 ∩ 𝐵))))
8	1, 4	stcltr2i 32000	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐵) = 1 → 𝐵 = ℋ))
9	8	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆‘𝐵) = 1) → 𝐵 = ℋ)
10		ineq2 4199	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = ℋ → (𝐴 ∩ 𝐵) = (𝐴 ∩ ℋ))
11	3	chm1i 31181	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∩ ℋ) = 𝐴
12	10, 11	eqtrdi 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = ℋ → (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
13	9, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆‘𝐵) = 1) → (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
14	13	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆‘𝐵) = 1) → (𝑆‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = (𝑆‘𝐴))
15	14	oveq2d 7418	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆‘𝐵) = 1) → ((𝑆‘(⊥‘𝐴)) + (𝑆‘(𝐴 ∩ 𝐵))) = ((𝑆‘(⊥‘𝐴)) + (𝑆‘𝐴)))
16	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆‘𝐵) = 1) → 𝑆 ∈ States)
17	3	choccli 31032	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ
18		stcl 31941	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ States → ((⊥‘𝐴) ∈ Cℋ → (𝑆‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℝ))
19	17, 18	mpi 20	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝑆‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℝ)
20	19	recnd 11240	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝑆‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℂ)
21		stcl 31941	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝐴 ∈ Cℋ → (𝑆‘𝐴) ∈ ℝ))
22	3, 21	mpi 20	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝑆‘𝐴) ∈ ℝ)
23	22	recnd 11240	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝑆‘𝐴) ∈ ℂ)
24	20, 23	addcomd 11414	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ States → ((𝑆‘(⊥‘𝐴)) + (𝑆‘𝐴)) = ((𝑆‘𝐴) + (𝑆‘(⊥‘𝐴))))
25	3	sto1i 31961	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ States → ((𝑆‘𝐴) + (𝑆‘(⊥‘𝐴))) = 1)
26	24, 25	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ States → ((𝑆‘(⊥‘𝐴)) + (𝑆‘𝐴)) = 1)
27	16, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆‘𝐵) = 1) → ((𝑆‘(⊥‘𝐴)) + (𝑆‘𝐴)) = 1)
28	15, 27	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆‘𝐵) = 1) → ((𝑆‘(⊥‘𝐴)) + (𝑆‘(𝐴 ∩ 𝐵))) = 1)
29	7, 28	eqtrd 2764	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆‘𝐵) = 1) → (𝑆‘((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))) = 1)
30	29	ex 412	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐵) = 1 → (𝑆‘((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))) = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3053   ∩ cin 3940   ⊆ wss 3941  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  ℝcr 11106  1c1 11108   + caddc 11110   ℋchba 30644   C_ℋ cch 30654  ⊥cort 30655   ∨_ℋ chj 30658  Statescst 30687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cc 10427  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187  ax-hilex 30724  ax-hfvadd 30725  ax-hvcom 30726  ax-hvass 30727  ax-hv0cl 30728  ax-hvaddid 30729  ax-hfvmul 30730  ax-hvmulid 30731  ax-hvmulass 30732  ax-hvdistr1 30733  ax-hvdistr2 30734  ax-hvmul0 30735  ax-hfi 30804  ax-his1 30807  ax-his2 30808  ax-his3 30809  ax-his4 30810  ax-hcompl 30927

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-acn 9934  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12471  df-z 12557  df-dec 12676  df-uz 12821  df-q 12931  df-rp 12973  df-xneg 13090  df-xadd 13091  df-xmul 13092  df-ioo 13326  df-ico 13328  df-icc 13329  df-fz 13483  df-fzo 13626  df-fl 13755  df-seq 13965  df-exp 14026  df-hash 14289  df-cj 15044  df-re 15045  df-im 15046  df-sqrt 15180  df-abs 15181  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-sum 15631  df-struct 17081  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-ress 17175  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-starv 17213  df-sca 17214  df-vsca 17215  df-ip 17216  df-tset 17217  df-ple 17218  df-ds 17220  df-unif 17221  df-hom 17222  df-cco 17223  df-rest 17369  df-topn 17370  df-0g 17388  df-gsum 17389  df-topgen 17390  df-pt 17391  df-prds 17394  df-xrs 17449  df-qtop 17454  df-imas 17455  df-xps 17457  df-mre 17531  df-mrc 17532  df-acs 17534  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18988  df-cntz 19225  df-cmn 19694  df-psmet 21222  df-xmet 21223  df-met 21224  df-bl 21225  df-mopn 21226  df-fbas 21227  df-fg 21228  df-cnfld 21231  df-top 22720  df-topon 22737  df-topsp 22759  df-bases 22773  df-cld 22847  df-ntr 22848  df-cls 22849  df-nei 22926  df-cn 23055  df-cnp 23056  df-lm 23057  df-haus 23143  df-tx 23390  df-hmeo 23583  df-fil 23674  df-fm 23766  df-flim 23767  df-flf 23768  df-xms 24150  df-ms 24151  df-tms 24152  df-cfil 25107  df-cau 25108  df-cmet 25109  df-grpo 30218  df-gid 30219  df-ginv 30220  df-gdiv 30221  df-ablo 30270  df-vc 30284  df-nv 30317  df-va 30320  df-ba 30321  df-sm 30322  df-0v 30323  df-vs 30324  df-nmcv 30325  df-ims 30326  df-dip 30426  df-ssp 30447  df-ph 30538  df-cbn 30588  df-hnorm 30693  df-hba 30694  df-hvsub 30696  df-hlim 30697  df-hcau 30698  df-sh 30932  df-ch 30946  df-oc 30977  df-ch0 30978  df-chj 31035  df-st 31936

This theorem is referenced by:  stcltrlem2  32002