Theorem stcltrlem1 32128

Description: Lemma for strong classical state theorem. (Contributed by NM, 24-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
stcltr1.1	⊢ (𝜑 ↔ (𝑆 ∈ States ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ ∀𝑦 ∈ Cℋ (((𝑆‘𝑥) = 1 → (𝑆‘𝑦) = 1) → 𝑥 ⊆ 𝑦)))
stcltr1.2	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
stcltrlem1.3	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
stcltrlem1	⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐵) = 1 → (𝑆‘((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))) = 1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem stcltrlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stcltr1.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 ↔ (𝑆 ∈ States ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ ∀𝑦 ∈ Cℋ (((𝑆‘𝑥) = 1 → (𝑆‘𝑦) = 1) → 𝑥 ⊆ 𝑦)))
2	1	simplbi 496	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ States)
3		stcltr1.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
4		stcltrlem1.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
5	3, 4	stji1i 32094	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝑆‘((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))) = ((𝑆‘(⊥‘𝐴)) + (𝑆‘(𝐴 ∩ 𝐵))))
6	2, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))) = ((𝑆‘(⊥‘𝐴)) + (𝑆‘(𝐴 ∩ 𝐵))))
7	6	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆‘𝐵) = 1) → (𝑆‘((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))) = ((𝑆‘(⊥‘𝐴)) + (𝑆‘(𝐴 ∩ 𝐵))))
8	1, 4	stcltr2i 32127	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐵) = 1 → 𝐵 = ℋ))
9	8	imp 405	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆‘𝐵) = 1) → 𝐵 = ℋ)
10		ineq2 4200	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = ℋ → (𝐴 ∩ 𝐵) = (𝐴 ∩ ℋ))
11	3	chm1i 31308	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∩ ℋ) = 𝐴
12	10, 11	eqtrdi 2781	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = ℋ → (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
13	9, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆‘𝐵) = 1) → (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
14	13	fveq2d 6895	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆‘𝐵) = 1) → (𝑆‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = (𝑆‘𝐴))
15	14	oveq2d 7431	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆‘𝐵) = 1) → ((𝑆‘(⊥‘𝐴)) + (𝑆‘(𝐴 ∩ 𝐵))) = ((𝑆‘(⊥‘𝐴)) + (𝑆‘𝐴)))
16	2	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆‘𝐵) = 1) → 𝑆 ∈ States)
17	3	choccli 31159	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ
18		stcl 32068	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ States → ((⊥‘𝐴) ∈ Cℋ → (𝑆‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℝ))
19	17, 18	mpi 20	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝑆‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℝ)
20	19	recnd 11270	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝑆‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℂ)
21		stcl 32068	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝐴 ∈ Cℋ → (𝑆‘𝐴) ∈ ℝ))
22	3, 21	mpi 20	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝑆‘𝐴) ∈ ℝ)
23	22	recnd 11270	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝑆‘𝐴) ∈ ℂ)
24	20, 23	addcomd 11444	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ States → ((𝑆‘(⊥‘𝐴)) + (𝑆‘𝐴)) = ((𝑆‘𝐴) + (𝑆‘(⊥‘𝐴))))
25	3	sto1i 32088	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ States → ((𝑆‘𝐴) + (𝑆‘(⊥‘𝐴))) = 1)
26	24, 25	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ States → ((𝑆‘(⊥‘𝐴)) + (𝑆‘𝐴)) = 1)
27	16, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆‘𝐵) = 1) → ((𝑆‘(⊥‘𝐴)) + (𝑆‘𝐴)) = 1)
28	15, 27	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆‘𝐵) = 1) → ((𝑆‘(⊥‘𝐴)) + (𝑆‘(𝐴 ∩ 𝐵))) = 1)
29	7, 28	eqtrd 2765	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆‘𝐵) = 1) → (𝑆‘((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))) = 1)
30	29	ex 411	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐵) = 1 → (𝑆‘((⊥‘𝐴) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵))) = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3051   ∩ cin 3939   ⊆ wss 3940  ‘cfv 6542  (class class class)co 7415  ℝcr 11135  1c1 11137   + caddc 11139   ℋchba 30771   C_ℋ cch 30781  ⊥cort 30782   ∨_ℋ chj 30785  Statescst 30814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cc 10456  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-addf 11215  ax-mulf 11216  ax-hilex 30851  ax-hfvadd 30852  ax-hvcom 30853  ax-hvass 30854  ax-hv0cl 30855  ax-hvaddid 30856  ax-hfvmul 30857  ax-hvmulid 30858  ax-hvmulass 30859  ax-hvdistr1 30860  ax-hvdistr2 30861  ax-hvmul0 30862  ax-hfi 30931  ax-his1 30934  ax-his2 30935  ax-his3 30936  ax-his4 30937  ax-hcompl 31054

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-oadd 8487  df-omul 8488  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-fi 9432  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-card 9960  df-acn 9963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13122  df-xadd 13123  df-xmul 13124  df-ioo 13358  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-fl 13787  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462  df-rlim 15463  df-sum 15663  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-hom 17254  df-cco 17255  df-rest 17401  df-topn 17402  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-topgen 17422  df-pt 17423  df-prds 17426  df-xrs 17481  df-qtop 17486  df-imas 17487  df-xps 17489  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-mulg 19026  df-cntz 19270  df-cmn 19739  df-psmet 21273  df-xmet 21274  df-met 21275  df-bl 21276  df-mopn 21277  df-fbas 21278  df-fg 21279  df-cnfld 21282  df-top 22812  df-topon 22829  df-topsp 22851  df-bases 22865  df-cld 22939  df-ntr 22940  df-cls 22941  df-nei 23018  df-cn 23147  df-cnp 23148  df-lm 23149  df-haus 23235  df-tx 23482  df-hmeo 23675  df-fil 23766  df-fm 23858  df-flim 23859  df-flf 23860  df-xms 24242  df-ms 24243  df-tms 24244  df-cfil 25199  df-cau 25200  df-cmet 25201  df-grpo 30345  df-gid 30346  df-ginv 30347  df-gdiv 30348  df-ablo 30397  df-vc 30411  df-nv 30444  df-va 30447  df-ba 30448  df-sm 30449  df-0v 30450  df-vs 30451  df-nmcv 30452  df-ims 30453  df-dip 30553  df-ssp 30574  df-ph 30665  df-cbn 30715  df-hnorm 30820  df-hba 30821  df-hvsub 30823  df-hlim 30824  df-hcau 30825  df-sh 31059  df-ch 31073  df-oc 31104  df-ch0 31105  df-chj 31162  df-st 32063

This theorem is referenced by:  stcltrlem2  32129