HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  staddi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem staddi 31499
Description: If the sum of 2 states is 2, then each state is 1. (Contributed by NM, 12-Nov-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
stle.1 𝐴C
stle.2 𝐵C
Assertion
Ref Expression
staddi (𝑆 ∈ States → (((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)) = 2 → (𝑆𝐴) = 1))

Proof of Theorem staddi
StepHypRef Expression
1 stle.1 . . . . . . 7 𝐴C
2 stcl 31469 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ States → (𝐴C → (𝑆𝐴) ∈ ℝ))
31, 2mpi 20 . . . . . 6 (𝑆 ∈ States → (𝑆𝐴) ∈ ℝ)
4 stle.2 . . . . . . 7 𝐵C
5 stcl 31469 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ States → (𝐵C → (𝑆𝐵) ∈ ℝ))
64, 5mpi 20 . . . . . 6 (𝑆 ∈ States → (𝑆𝐵) ∈ ℝ)
73, 6readdcld 11243 . . . . 5 (𝑆 ∈ States → ((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)) ∈ ℝ)
8 ltne 11311 . . . . . 6 ((((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)) ∈ ℝ ∧ ((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)) < 2) → 2 ≠ ((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)))
98necomd 2997 . . . . 5 ((((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)) ∈ ℝ ∧ ((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)) < 2) → ((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)) ≠ 2)
107, 9sylan 581 . . . 4 ((𝑆 ∈ States ∧ ((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)) < 2) → ((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)) ≠ 2)
1110ex 414 . . 3 (𝑆 ∈ States → (((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)) < 2 → ((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)) ≠ 2))
1211necon2bd 2957 . 2 (𝑆 ∈ States → (((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)) = 2 → ¬ ((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)) < 2))
13 1re 11214 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
1413a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ States → 1 ∈ ℝ)
15 stle1 31478 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ States → (𝐵C → (𝑆𝐵) ≤ 1))
164, 15mpi 20 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ States → (𝑆𝐵) ≤ 1)
176, 14, 3, 16leadd2dd 11829 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ States → ((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)) ≤ ((𝑆𝐴) + 1))
1817adantr 482 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ States ∧ (𝑆𝐴) < 1) → ((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)) ≤ ((𝑆𝐴) + 1))
19 ltadd1 11681 . . . . . . . . 9 (((𝑆𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑆𝐴) < 1 ↔ ((𝑆𝐴) + 1) < (1 + 1)))
2019biimpd 228 . . . . . . . 8 (((𝑆𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑆𝐴) < 1 → ((𝑆𝐴) + 1) < (1 + 1)))
213, 14, 14, 20syl3anc 1372 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ States → ((𝑆𝐴) < 1 → ((𝑆𝐴) + 1) < (1 + 1)))
2221imp 408 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ States ∧ (𝑆𝐴) < 1) → ((𝑆𝐴) + 1) < (1 + 1))
23 readdcl 11193 . . . . . . . . 9 (((𝑆𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑆𝐴) + 1) ∈ ℝ)
243, 13, 23sylancl 587 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ States → ((𝑆𝐴) + 1) ∈ ℝ)
2513, 13readdcli 11229 . . . . . . . . 9 (1 + 1) ∈ ℝ
2625a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ States → (1 + 1) ∈ ℝ)
27 lelttr 11304 . . . . . . . 8 ((((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)) ∈ ℝ ∧ ((𝑆𝐴) + 1) ∈ ℝ ∧ (1 + 1) ∈ ℝ) → ((((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)) ≤ ((𝑆𝐴) + 1) ∧ ((𝑆𝐴) + 1) < (1 + 1)) → ((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)) < (1 + 1)))
287, 24, 26, 27syl3anc 1372 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ States → ((((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)) ≤ ((𝑆𝐴) + 1) ∧ ((𝑆𝐴) + 1) < (1 + 1)) → ((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)) < (1 + 1)))
2928adantr 482 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ States ∧ (𝑆𝐴) < 1) → ((((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)) ≤ ((𝑆𝐴) + 1) ∧ ((𝑆𝐴) + 1) < (1 + 1)) → ((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)) < (1 + 1)))
3018, 22, 29mp2and 698 . . . . 5 ((𝑆 ∈ States ∧ (𝑆𝐴) < 1) → ((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)) < (1 + 1))
31 df-2 12275 . . . . 5 2 = (1 + 1)
3230, 31breqtrrdi 5191 . . . 4 ((𝑆 ∈ States ∧ (𝑆𝐴) < 1) → ((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)) < 2)
3332ex 414 . . 3 (𝑆 ∈ States → ((𝑆𝐴) < 1 → ((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)) < 2))
3433con3d 152 . 2 (𝑆 ∈ States → (¬ ((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)) < 2 → ¬ (𝑆𝐴) < 1))
35 stle1 31478 . . . . 5 (𝑆 ∈ States → (𝐴C → (𝑆𝐴) ≤ 1))
361, 35mpi 20 . . . 4 (𝑆 ∈ States → (𝑆𝐴) ≤ 1)
37 leloe 11300 . . . . 5 (((𝑆𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑆𝐴) ≤ 1 ↔ ((𝑆𝐴) < 1 ∨ (𝑆𝐴) = 1)))
383, 13, 37sylancl 587 . . . 4 (𝑆 ∈ States → ((𝑆𝐴) ≤ 1 ↔ ((𝑆𝐴) < 1 ∨ (𝑆𝐴) = 1)))
3936, 38mpbid 231 . . 3 (𝑆 ∈ States → ((𝑆𝐴) < 1 ∨ (𝑆𝐴) = 1))
4039ord 863 . 2 (𝑆 ∈ States → (¬ (𝑆𝐴) < 1 → (𝑆𝐴) = 1))
4112, 34, 403syld 60 1 (𝑆 ∈ States → (((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)) = 2 → (𝑆𝐴) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941   class class class wbr 5149  cfv 6544  (class class class)co 7409  cr 11109  1c1 11111   + caddc 11113   < clt 11248  cle 11249  2c2 12267   C cch 30182  Statescst 30215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-hilex 30252
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-2 12275  df-icc 13331  df-sh 30460  df-ch 30474  df-st 31464
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator