HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  staddi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem staddi 31017
Description: If the sum of 2 states is 2, then each state is 1. (Contributed by NM, 12-Nov-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
stle.1 𝐴C
stle.2 𝐵C
Assertion
Ref Expression
staddi (𝑆 ∈ States → (((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)) = 2 → (𝑆𝐴) = 1))

Proof of Theorem staddi
StepHypRef Expression
1 stle.1 . . . . . . 7 𝐴C
2 stcl 30987 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ States → (𝐴C → (𝑆𝐴) ∈ ℝ))
31, 2mpi 20 . . . . . 6 (𝑆 ∈ States → (𝑆𝐴) ∈ ℝ)
4 stle.2 . . . . . . 7 𝐵C
5 stcl 30987 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ States → (𝐵C → (𝑆𝐵) ∈ ℝ))
64, 5mpi 20 . . . . . 6 (𝑆 ∈ States → (𝑆𝐵) ∈ ℝ)
73, 6readdcld 11142 . . . . 5 (𝑆 ∈ States → ((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)) ∈ ℝ)
8 ltne 11210 . . . . . 6 ((((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)) ∈ ℝ ∧ ((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)) < 2) → 2 ≠ ((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)))
98necomd 2997 . . . . 5 ((((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)) ∈ ℝ ∧ ((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)) < 2) → ((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)) ≠ 2)
107, 9sylan 580 . . . 4 ((𝑆 ∈ States ∧ ((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)) < 2) → ((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)) ≠ 2)
1110ex 413 . . 3 (𝑆 ∈ States → (((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)) < 2 → ((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)) ≠ 2))
1211necon2bd 2957 . 2 (𝑆 ∈ States → (((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)) = 2 → ¬ ((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)) < 2))
13 1re 11113 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
1413a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ States → 1 ∈ ℝ)
15 stle1 30996 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ States → (𝐵C → (𝑆𝐵) ≤ 1))
164, 15mpi 20 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ States → (𝑆𝐵) ≤ 1)
176, 14, 3, 16leadd2dd 11728 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ States → ((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)) ≤ ((𝑆𝐴) + 1))
1817adantr 481 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ States ∧ (𝑆𝐴) < 1) → ((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)) ≤ ((𝑆𝐴) + 1))
19 ltadd1 11580 . . . . . . . . 9 (((𝑆𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑆𝐴) < 1 ↔ ((𝑆𝐴) + 1) < (1 + 1)))
2019biimpd 228 . . . . . . . 8 (((𝑆𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑆𝐴) < 1 → ((𝑆𝐴) + 1) < (1 + 1)))
213, 14, 14, 20syl3anc 1371 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ States → ((𝑆𝐴) < 1 → ((𝑆𝐴) + 1) < (1 + 1)))
2221imp 407 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ States ∧ (𝑆𝐴) < 1) → ((𝑆𝐴) + 1) < (1 + 1))
23 readdcl 11092 . . . . . . . . 9 (((𝑆𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑆𝐴) + 1) ∈ ℝ)
243, 13, 23sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ States → ((𝑆𝐴) + 1) ∈ ℝ)
2513, 13readdcli 11128 . . . . . . . . 9 (1 + 1) ∈ ℝ
2625a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ States → (1 + 1) ∈ ℝ)
27 lelttr 11203 . . . . . . . 8 ((((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)) ∈ ℝ ∧ ((𝑆𝐴) + 1) ∈ ℝ ∧ (1 + 1) ∈ ℝ) → ((((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)) ≤ ((𝑆𝐴) + 1) ∧ ((𝑆𝐴) + 1) < (1 + 1)) → ((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)) < (1 + 1)))
287, 24, 26, 27syl3anc 1371 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ States → ((((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)) ≤ ((𝑆𝐴) + 1) ∧ ((𝑆𝐴) + 1) < (1 + 1)) → ((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)) < (1 + 1)))
2928adantr 481 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ States ∧ (𝑆𝐴) < 1) → ((((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)) ≤ ((𝑆𝐴) + 1) ∧ ((𝑆𝐴) + 1) < (1 + 1)) → ((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)) < (1 + 1)))
3018, 22, 29mp2and 697 . . . . 5 ((𝑆 ∈ States ∧ (𝑆𝐴) < 1) → ((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)) < (1 + 1))
31 df-2 12174 . . . . 5 2 = (1 + 1)
3230, 31breqtrrdi 5145 . . . 4 ((𝑆 ∈ States ∧ (𝑆𝐴) < 1) → ((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)) < 2)
3332ex 413 . . 3 (𝑆 ∈ States → ((𝑆𝐴) < 1 → ((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)) < 2))
3433con3d 152 . 2 (𝑆 ∈ States → (¬ ((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)) < 2 → ¬ (𝑆𝐴) < 1))
35 stle1 30996 . . . . 5 (𝑆 ∈ States → (𝐴C → (𝑆𝐴) ≤ 1))
361, 35mpi 20 . . . 4 (𝑆 ∈ States → (𝑆𝐴) ≤ 1)
37 leloe 11199 . . . . 5 (((𝑆𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑆𝐴) ≤ 1 ↔ ((𝑆𝐴) < 1 ∨ (𝑆𝐴) = 1)))
383, 13, 37sylancl 586 . . . 4 (𝑆 ∈ States → ((𝑆𝐴) ≤ 1 ↔ ((𝑆𝐴) < 1 ∨ (𝑆𝐴) = 1)))
3936, 38mpbid 231 . . 3 (𝑆 ∈ States → ((𝑆𝐴) < 1 ∨ (𝑆𝐴) = 1))
4039ord 862 . 2 (𝑆 ∈ States → (¬ (𝑆𝐴) < 1 → (𝑆𝐴) = 1))
4112, 34, 403syld 60 1 (𝑆 ∈ States → (((𝑆𝐴) + (𝑆𝐵)) = 2 → (𝑆𝐴) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941   class class class wbr 5103  cfv 6493  (class class class)co 7351  cr 11008  1c1 11010   + caddc 11012   < clt 11147  cle 11148  2c2 12166   C cch 29700  Statescst 29733
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-hilex 29770
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-er 8606  df-map 8725  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-2 12174  df-icc 13225  df-sh 29978  df-ch 29992  df-st 30982
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator