Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  scmfsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem scmfsupp 43928
Description: A mapping of a scalar multiplication with a function of scalars is finitely supported if the function of scalars is finitely supported. (Contributed by AV, 9-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmsuppfi.s 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
scmsuppfi.r 𝑅 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
scmfsupp (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝐴 finSupp (0g𝑆)) → (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) finSupp (0g𝑀))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝑀   𝑣,𝑅   𝑣,𝑉
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑣)

Proof of Theorem scmfsupp
StepHypRef Expression
1 funmpt 6270 . . 3 Fun (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))
21a1i 11 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝐴 finSupp (0g𝑆)) → Fun (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)))
3 id 22 . . . 4 (𝐴 finSupp (0g𝑆) → 𝐴 finSupp (0g𝑆))
43fsuppimpd 8693 . . 3 (𝐴 finSupp (0g𝑆) → (𝐴 supp (0g𝑆)) ∈ Fin)
5 scmsuppfi.s . . . 4 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
6 scmsuppfi.r . . . 4 𝑅 = (Base‘𝑆)
75, 6scmsuppfi 43927 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ (𝐴 supp (0g𝑆)) ∈ Fin) → ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) supp (0g𝑀)) ∈ Fin)
84, 7syl3an3 1158 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝐴 finSupp (0g𝑆)) → ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) supp (0g𝑀)) ∈ Fin)
9 mptexg 6857 . . . . 5 (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) → (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) ∈ V)
109adantl 482 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) ∈ V)
11103ad2ant1 1126 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝐴 finSupp (0g𝑆)) → (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) ∈ V)
12 fvex 6558 . . 3 (0g𝑀) ∈ V
13 isfsupp 8690 . . 3 (((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) ∈ V ∧ (0g𝑀) ∈ V) → ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) finSupp (0g𝑀) ↔ (Fun (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) ∧ ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) supp (0g𝑀)) ∈ Fin)))
1411, 12, 13sylancl 586 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝐴 finSupp (0g𝑆)) → ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) finSupp (0g𝑀) ↔ (Fun (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) ∧ ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) supp (0g𝑀)) ∈ Fin)))
152, 8, 14mpbir2and 709 1 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝐴 finSupp (0g𝑆)) → (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) finSupp (0g𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1525  wcel 2083  Vcvv 3440  𝒫 cpw 4459   class class class wbr 4968  cmpt 5047  Fun wfun 6226  cfv 6232  (class class class)co 7023   supp csupp 7688  𝑚 cmap 8263  Fincfn 8364   finSupp cfsupp 8686  Basecbs 16316  Scalarcsca 16401   ·𝑠 cvsca 16402  0gc0g 16546  LModclmod 19328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-supp 7689  df-er 8146  df-map 8265  df-en 8365  df-fin 8368  df-fsupp 8687  df-0g 16548  df-mgm 17685  df-sgrp 17727  df-mnd 17738  df-grp 17868  df-ring 18993  df-lmod 19330
This theorem is referenced by:  gsumlsscl  43933  lincfsuppcl  43970  linccl  43971  lincdifsn  43981  lincsum  43986  lincscm  43987  lincresunit3lem2  44037  lincresunit3  44038
  Copyright terms: Public domain W3C validator