Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  scmfsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem scmfsupp 48296
Description: A mapping of a scalar multiplication with a function of scalars is finitely supported if the function of scalars is finitely supported. (Contributed by AV, 9-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmsuppfi.s 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
scmsuppfi.r 𝑅 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
scmfsupp (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐴 finSupp (0g𝑆)) → (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) finSupp (0g𝑀))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝑀   𝑣,𝑅   𝑣,𝑉
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑣)

Proof of Theorem scmfsupp
StepHypRef Expression
1 funmpt 6603 . . 3 Fun (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))
21a1i 11 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐴 finSupp (0g𝑆)) → Fun (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)))
3 id 22 . . . 4 (𝐴 finSupp (0g𝑆) → 𝐴 finSupp (0g𝑆))
43fsuppimpd 9410 . . 3 (𝐴 finSupp (0g𝑆) → (𝐴 supp (0g𝑆)) ∈ Fin)
5 scmsuppfi.s . . . 4 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
6 scmsuppfi.r . . . 4 𝑅 = (Base‘𝑆)
75, 6scmsuppfi 48295 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ (𝐴 supp (0g𝑆)) ∈ Fin) → ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) supp (0g𝑀)) ∈ Fin)
84, 7syl3an3 1165 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐴 finSupp (0g𝑆)) → ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) supp (0g𝑀)) ∈ Fin)
9 mptexg 7242 . . . . 5 (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) → (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) ∈ V)
109adantl 481 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) ∈ V)
11103ad2ant1 1133 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐴 finSupp (0g𝑆)) → (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) ∈ V)
12 fvex 6918 . . 3 (0g𝑀) ∈ V
13 isfsupp 9406 . . 3 (((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) ∈ V ∧ (0g𝑀) ∈ V) → ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) finSupp (0g𝑀) ↔ (Fun (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) ∧ ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) supp (0g𝑀)) ∈ Fin)))
1411, 12, 13sylancl 586 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐴 finSupp (0g𝑆)) → ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) finSupp (0g𝑀) ↔ (Fun (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) ∧ ((𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) supp (0g𝑀)) ∈ Fin)))
152, 8, 14mpbir2and 713 1 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐴 finSupp (0g𝑆)) → (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) finSupp (0g𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  Vcvv 3479  𝒫 cpw 4599   class class class wbr 5142  cmpt 5224  Fun wfun 6554  cfv 6560  (class class class)co 7432   supp csupp 8186  m cmap 8867  Fincfn 8986   finSupp cfsupp 9402  Basecbs 17248  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302  0gc0g 17485  LModclmod 20859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-1o 8507  df-map 8869  df-en 8987  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-ring 20233  df-lmod 20861
This theorem is referenced by:  gsumlsscl  48301  lincfsuppcl  48335  linccl  48336  lincdifsn  48346  lincsum  48351  lincscm  48352  lincresunit3lem2  48402  lincresunit3  48403
  Copyright terms: Public domain W3C validator