Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemc3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemc3 36081
Description: Part of proof of Lemma C in [Crawley] p. 113. (Contributed by NM, 26-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemc3.l = (le‘𝐾)
cdlemc3.j = (join‘𝐾)
cdlemc3.m = (meet‘𝐾)
cdlemc3.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemc3.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemc3.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemc3.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemc3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))) → ((𝐹𝑃) (𝑄 (𝑅𝐹)) → 𝑄 (𝑃 (𝐹𝑃))))

Proof of Theorem cdlemc3
StepHypRef Expression
1 simpll 783 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))) → 𝐾 ∈ HL)
2 simpl 474 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3 simpr1 1248 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))) → 𝐹𝑇)
4 simpr2l 1309 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))) → 𝑃𝐴)
5 cdlemc3.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
6 cdlemc3.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7 cdlemc3.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8 cdlemc3.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
95, 6, 7, 8ltrnat 36028 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐴) → (𝐹𝑃) ∈ 𝐴)
102, 3, 4, 9syl3anc 1490 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))) → (𝐹𝑃) ∈ 𝐴)
11 simpr3l 1313 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))) → 𝑄𝐴)
12 eqid 2765 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
13 cdlemc3.r . . . . 5 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
1412, 7, 8, 13trlcl 36052 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾))
153, 14syldan 585 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))) → (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾))
165, 6, 7, 8ltrnel 36027 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊))
17163adant3r3 1235 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊))
185, 6, 7, 8, 13trlnle 36074 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊)) → ¬ (𝐹𝑃) (𝑅𝐹))
192, 3, 17, 18syl3anc 1490 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))) → ¬ (𝐹𝑃) (𝑅𝐹))
20 cdlemc3.j . . . 4 = (join‘𝐾)
2112, 5, 20, 6hlexch2 35271 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴𝑄𝐴 ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ¬ (𝐹𝑃) (𝑅𝐹)) → ((𝐹𝑃) (𝑄 (𝑅𝐹)) → 𝑄 ((𝐹𝑃) (𝑅𝐹))))
221, 10, 11, 15, 19, 21syl131anc 1502 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))) → ((𝐹𝑃) (𝑄 (𝑅𝐹)) → 𝑄 ((𝐹𝑃) (𝑅𝐹))))
235, 20, 6, 7, 8, 13trljat2 36055 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) (𝑅𝐹)) = (𝑃 (𝐹𝑃)))
24233adant3r3 1235 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))) → ((𝐹𝑃) (𝑅𝐹)) = (𝑃 (𝐹𝑃)))
2524breq2d 4821 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))) → (𝑄 ((𝐹𝑃) (𝑅𝐹)) ↔ 𝑄 (𝑃 (𝐹𝑃))))
2622, 25sylibd 230 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))) → ((𝐹𝑃) (𝑄 (𝑅𝐹)) → 𝑄 (𝑃 (𝐹𝑃))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155   class class class wbr 4809  cfv 6068  (class class class)co 6842  Basecbs 16132  lecple 16223  joincjn 17212  meetcmee 17213  Atomscatm 35151  HLchlt 35238  LHypclh 35872  LTrncltrn 35989  trLctrl 36046
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-map 8062  df-proset 17196  df-poset 17214  df-plt 17226  df-lub 17242  df-glb 17243  df-join 17244  df-meet 17245  df-p0 17307  df-p1 17308  df-lat 17314  df-clat 17376  df-oposet 35064  df-ol 35066  df-oml 35067  df-covers 35154  df-ats 35155  df-atl 35186  df-cvlat 35210  df-hlat 35239  df-psubsp 35391  df-pmap 35392  df-padd 35684  df-lhyp 35876  df-laut 35877  df-ldil 35992  df-ltrn 35993  df-trl 36047
This theorem is referenced by:  cdlemc4  36082
  Copyright terms: Public domain W3C validator