Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemc3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdlemc3 39576
Description: Part of proof of Lemma C in [Crawley] p. 113. (Contributed by NM, 26-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemc3.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemc3.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemc3.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemc3.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemc3.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemc3.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemc3.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cdlemc3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) β†’ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))))
Proof of Theorem cdlemc3
StepHypRef Expression
1 simpll 764 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simpl 482 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
3 simpr1 1191 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
4 simpr2l 1229 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
5 cdlemc3.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
6 cdlemc3.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
7 cdlemc3.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
8 cdlemc3.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
95, 6, 7, 8ltrnat 39523 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
102, 3, 4, 9syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
11 simpr3l 1231 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
12 eqid 2726 . . . . 5 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
13 cdlemc3.r . . . . 5 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
1412, 7, 8, 13trlcl 39547 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
153, 14syldan 590 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
165, 6, 7, 8ltrnel 39522 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
17163adant3r3 1181 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
185, 6, 7, 8, 13trlnle 39569 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š)) β†’ Β¬ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (π‘…β€˜πΉ))
192, 3, 17, 18syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))) β†’ Β¬ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (π‘…β€˜πΉ))
20 cdlemc3.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
2112, 5, 20, 6hlexch2 38766 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (π‘…β€˜πΉ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) β†’ 𝑄 ≀ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΉ))))
221, 10, 11, 15, 19, 21syl131anc 1380 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) β†’ 𝑄 ≀ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΉ))))
235, 20, 6, 7, 8, 13trljat2 39550 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΉ)) = (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
24233adant3r3 1181 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΉ)) = (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
2524breq2d 5153 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑄 ≀ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ↔ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))))
2622, 25sylibd 238 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) β†’ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17150  lecple 17210  joincjn 18273  meetcmee 18274  Atomscatm 38645  HLchlt 38732  LHypclh 39367  LTrncltrn 39484  trLctrl 39541
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-map 8821  df-proset 18257  df-poset 18275  df-plt 18292  df-lub 18308  df-glb 18309  df-join 18310  df-meet 18311  df-p0 18387  df-p1 18388  df-lat 18394  df-clat 18461  df-oposet 38558  df-ol 38560  df-oml 38561  df-covers 38648  df-ats 38649  df-atl 38680  df-cvlat 38704  df-hlat 38733  df-psubsp 38886  df-pmap 38887  df-padd 39179  df-lhyp 39371  df-laut 39372  df-ldil 39487  df-ltrn 39488  df-trl 39542
This theorem is referenced by:  cdlemc4  39577
  Copyright terms: Public domain W3C validator