Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpll 766 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β πΎ β HL) |
2 | | simpl 484 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
3 | | simpr1 1195 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β πΉ β π) |
4 | | simpr2l 1233 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β π β π΄) |
5 | | cdlemc3.l |
. . . . 5
β’ β€ =
(leβπΎ) |
6 | | cdlemc3.a |
. . . . 5
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
7 | | cdlemc3.h |
. . . . 5
β’ π» = (LHypβπΎ) |
8 | | cdlemc3.t |
. . . . 5
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
9 | 5, 6, 7, 8 | ltrnat 38606 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β π΄) β (πΉβπ) β π΄) |
10 | 2, 3, 4, 9 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (πΉβπ) β π΄) |
11 | | simpr3l 1235 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β π β π΄) |
12 | | eqid 2737 |
. . . . 5
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
13 | | cdlemc3.r |
. . . . 5
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
14 | 12, 7, 8, 13 | trlcl 38630 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π) β (π
βπΉ) β (BaseβπΎ)) |
15 | 3, 14 | syldan 592 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (π
βπΉ) β (BaseβπΎ)) |
16 | 5, 6, 7, 8 | ltrnel 38605 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β ((πΉβπ) β π΄ β§ Β¬ (πΉβπ) β€ π)) |
17 | 16 | 3adant3r3 1185 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β ((πΉβπ) β π΄ β§ Β¬ (πΉβπ) β€ π)) |
18 | 5, 6, 7, 8, 13 | trlnle 38652 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ ((πΉβπ) β π΄ β§ Β¬ (πΉβπ) β€ π)) β Β¬ (πΉβπ) β€ (π
βπΉ)) |
19 | 2, 3, 17, 18 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β Β¬ (πΉβπ) β€ (π
βπΉ)) |
20 | | cdlemc3.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
21 | 12, 5, 20, 6 | hlexch2 37849 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ ((πΉβπ) β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
βπΉ) β (BaseβπΎ)) β§ Β¬ (πΉβπ) β€ (π
βπΉ)) β ((πΉβπ) β€ (π β¨ (π
βπΉ)) β π β€ ((πΉβπ) β¨ (π
βπΉ)))) |
22 | 1, 10, 11, 15, 19, 21 | syl131anc 1384 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β ((πΉβπ) β€ (π β¨ (π
βπΉ)) β π β€ ((πΉβπ) β¨ (π
βπΉ)))) |
23 | 5, 20, 6, 7, 8, 13 | trljat2 38633 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β ((πΉβπ) β¨ (π
βπΉ)) = (π β¨ (πΉβπ))) |
24 | 23 | 3adant3r3 1185 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β ((πΉβπ) β¨ (π
βπΉ)) = (π β¨ (πΉβπ))) |
25 | 24 | breq2d 5118 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (π β€ ((πΉβπ) β¨ (π
βπΉ)) β π β€ (π β¨ (πΉβπ)))) |
26 | 22, 25 | sylibd 238 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β ((πΉβπ) β€ (π β¨ (π
βπΉ)) β π β€ (π β¨ (πΉβπ)))) |