Theorem trlat 40214

Description: If an atom differs from its translation, the trace is an atom. Equation above Lemma C in [Crawley] p. 112. (Contributed by NM, 23-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlat.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
trlat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
trlat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlat.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlat.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
trlat	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem trlat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		simp3l 1202	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
3		simp2 1137	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
4		trlat.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
5		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
6		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
7		trlat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8		trlat.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9		trlat.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
10		trlat.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
11	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	trlval2 40208	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘𝐹) = ((𝑃(join‘𝐾)(𝐹‘𝑃))(meet‘𝐾)𝑊))
12	1, 2, 3, 11	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅‘𝐹) = ((𝑃(join‘𝐾)(𝐹‘𝑃))(meet‘𝐾)𝑊))
13		simp2l 1200	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
14	4, 7, 8, 9	ltrnat 40185	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴)
15	1, 2, 13, 14	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴)
16		simp3r 1203	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)
17	16	necomd 2983	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑃 ≠ (𝐹‘𝑃))
18	4, 5, 6, 7, 8	lhpat 40088	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ (𝐹‘𝑃))) → ((𝑃(join‘𝐾)(𝐹‘𝑃))(meet‘𝐾)𝑊) ∈ 𝐴)
19	1, 3, 15, 17, 18	syl112anc 1376	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) → ((𝑃(join‘𝐾)(𝐹‘𝑃))(meet‘𝐾)𝑊) ∈ 𝐴)
20	12, 19	eqeltrd 2831	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   class class class wbr 5091  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  lecple 17168  joincjn 18217  meetcmee 18218  Atomscatm 39308  HLchlt 39395  LHypclh 40029  LTrncltrn 40146  trLctrl 40203

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-map 8752  df-proset 18200  df-poset 18219  df-plt 18234  df-lub 18250  df-glb 18251  df-join 18252  df-meet 18253  df-p0 18329  df-p1 18330  df-lat 18338  df-clat 18405  df-oposet 39221  df-ol 39223  df-oml 39224  df-covers 39311  df-ats 39312  df-atl 39343  df-cvlat 39367  df-hlat 39396  df-lhyp 40033  df-laut 40034  df-ldil 40149  df-ltrn 40150  df-trl 40204

This theorem is referenced by:  trlator0  40216  trlnidat  40218  trlnle  40231  trlval3  40232  trlval4  40233  cdlemc5  40240  cdlemg17dALTN  40709  cdlemg27a  40737  cdlemg31b0N  40739  cdlemg27b  40741  cdlemg31c  40744  cdlemg35  40758  dia2dimlem1  41109  dia2dimlem2  41110  dia2dimlem3  41111