Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp1 1137 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉ β π β§ (πΉβπ) β π)) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
2 | | simp3l 1202 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉ β π β§ (πΉβπ) β π)) β πΉ β π) |
3 | | simp2 1138 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉ β π β§ (πΉβπ) β π)) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
4 | | trlat.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
5 | | eqid 2737 |
. . . 4
β’
(joinβπΎ) =
(joinβπΎ) |
6 | | eqid 2737 |
. . . 4
β’
(meetβπΎ) =
(meetβπΎ) |
7 | | trlat.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
8 | | trlat.h |
. . . 4
β’ π» = (LHypβπΎ) |
9 | | trlat.t |
. . . 4
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
10 | | trlat.r |
. . . 4
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
11 | 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 | trlval2 38629 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π
βπΉ) = ((π(joinβπΎ)(πΉβπ))(meetβπΎ)π)) |
12 | 1, 2, 3, 11 | syl3anc 1372 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉ β π β§ (πΉβπ) β π)) β (π
βπΉ) = ((π(joinβπΎ)(πΉβπ))(meetβπΎ)π)) |
13 | | simp2l 1200 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉ β π β§ (πΉβπ) β π)) β π β π΄) |
14 | 4, 7, 8, 9 | ltrnat 38606 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β π΄) β (πΉβπ) β π΄) |
15 | 1, 2, 13, 14 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉ β π β§ (πΉβπ) β π)) β (πΉβπ) β π΄) |
16 | | simp3r 1203 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉ β π β§ (πΉβπ) β π)) β (πΉβπ) β π) |
17 | 16 | necomd 3000 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉ β π β§ (πΉβπ) β π)) β π β (πΉβπ)) |
18 | 4, 5, 6, 7, 8 | lhpat 38509 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((πΉβπ) β π΄ β§ π β (πΉβπ))) β ((π(joinβπΎ)(πΉβπ))(meetβπΎ)π) β π΄) |
19 | 1, 3, 15, 17, 18 | syl112anc 1375 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉ β π β§ (πΉβπ) β π)) β ((π(joinβπΎ)(πΉβπ))(meetβπΎ)π) β π΄) |
20 | 12, 19 | eqeltrd 2838 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉ β π β§ (πΉβπ) β π)) β (π
βπΉ) β π΄) |