Theorem tskop 10662

Description: If 𝐴 and 𝐵 are members of a Tarski class, their ordered pair is also an element of the class. JFM CLASSES2 th. 4. (Contributed by FL, 22-Feb-2011.)

Assertion

Ref	Expression
tskop	⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐵 ∈ 𝑇) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑇)

Proof of Theorem tskop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfopg 4820	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐵 ∈ 𝑇) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ = {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})
2	1	3adant1 1130	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐵 ∈ 𝑇) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ = {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})
3		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐵 ∈ 𝑇) → 𝑇 ∈ Tarski)
4		tsksn 10651	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → {𝐴} ∈ 𝑇)
5	4	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐵 ∈ 𝑇) → {𝐴} ∈ 𝑇)
6		tskpr 10661	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐵 ∈ 𝑇) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑇)
7		tskpr 10661	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ {𝐴} ∈ 𝑇 ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑇) → {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}} ∈ 𝑇)
8	3, 5, 6, 7	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐵 ∈ 𝑇) → {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}} ∈ 𝑇)
9	2, 8	eqeltrd 2831	1 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐵 ∈ 𝑇) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {csn 4573  {cpr 4575  ⟨cop 4579  Tarskictsk 10639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-r1 9657  df-tsk 10640

This theorem is referenced by:  tskxpss  10663