Theorem tskop 10812

Description: If 𝐴 and 𝐵 are members of a Tarski class, their ordered pair is also an element of the class. JFM CLASSES2 th. 4. (Contributed by FL, 22-Feb-2011.)

Assertion

Ref	Expression
tskop	⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐵 ∈ 𝑇) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑇)

Proof of Theorem tskop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfopg 4870	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐵 ∈ 𝑇) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ = {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})
2	1	3adant1 1130	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐵 ∈ 𝑇) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ = {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})
3		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐵 ∈ 𝑇) → 𝑇 ∈ Tarski)
4		tsksn 10801	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → {𝐴} ∈ 𝑇)
5	4	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐵 ∈ 𝑇) → {𝐴} ∈ 𝑇)
6		tskpr 10811	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐵 ∈ 𝑇) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑇)
7		tskpr 10811	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ {𝐴} ∈ 𝑇 ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑇) → {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}} ∈ 𝑇)
8	3, 5, 6, 7	syl3anc 1372	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐵 ∈ 𝑇) → {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}} ∈ 𝑇)
9	2, 8	eqeltrd 2840	1 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐵 ∈ 𝑇) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  {csn 4625  {cpr 4627  ⟨cop 4631  Tarskictsk 10789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-r1 9805  df-tsk 10790

This theorem is referenced by:  tskxpss  10813