MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ttukeyg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ttukeyg 10548
Description: The TeichmΓΌller-Tukey Lemma ttukey 10549 stated with the "choice" as an antecedent (the hypothesis βˆͺ 𝐴 ∈ dom card says that βˆͺ 𝐴 is well-orderable). (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ttukeyg ((βˆͺ 𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) βŠ† 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ π‘₯ ⊊ 𝑦)
Distinct variable group:   π‘₯,𝑦,𝐴

Proof of Theorem ttukeyg
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 4350 . . 3 (𝐴 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘§ 𝑧 ∈ 𝐴)
2 ttukey2g 10547 . . . . . 6 ((βˆͺ 𝐴 ∈ dom card ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) βŠ† 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝑧 βŠ† π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ π‘₯ ⊊ 𝑦))
3 simpr 483 . . . . . . 7 ((𝑧 βŠ† π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ π‘₯ ⊊ 𝑦) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ π‘₯ ⊊ 𝑦)
43reximi 3081 . . . . . 6 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝑧 βŠ† π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ π‘₯ ⊊ 𝑦) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ π‘₯ ⊊ 𝑦)
52, 4syl 17 . . . . 5 ((βˆͺ 𝐴 ∈ dom card ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) βŠ† 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ π‘₯ ⊊ 𝑦)
653exp 1116 . . . 4 (βˆͺ 𝐴 ∈ dom card β†’ (𝑧 ∈ 𝐴 β†’ (βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) βŠ† 𝐴) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ π‘₯ ⊊ 𝑦)))
76exlimdv 1928 . . 3 (βˆͺ 𝐴 ∈ dom card β†’ (βˆƒπ‘§ 𝑧 ∈ 𝐴 β†’ (βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) βŠ† 𝐴) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ π‘₯ ⊊ 𝑦)))
81, 7biimtrid 241 . 2 (βˆͺ 𝐴 ∈ dom card β†’ (𝐴 β‰  βˆ… β†’ (βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) βŠ† 𝐴) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ π‘₯ ⊊ 𝑦)))
983imp 1108 1 ((βˆͺ 𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) βŠ† 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ π‘₯ ⊊ 𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084  βˆ€wal 1531  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949   ⊊ wpss 3950  βˆ…c0 4326  π’« cpw 4606  βˆͺ cuni 4912  dom cdm 5682  Fincfn 8970  cardccrd 9966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-fin 8974  df-card 9970
This theorem is referenced by:  ttukey  10549
  Copyright terms: Public domain W3C validator