Theorem ttukeyg 10204

Description: The Teichmüller-Tukey Lemma ttukey 10205 stated with the "choice" as an antecedent (the hypothesis ∪ 𝐴 ∈ dom card says that ∪ 𝐴 is well-orderable). (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ttukeyg	⊢ ((∪ 𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 𝑥 ∩ Fin) ⊆ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ⊊ 𝑦)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem ttukeyg

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4277	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴)
2		ttukey2g 10203	. . . . . 6 ⊢ ((∪ 𝐴 ∈ dom card ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 𝑥 ∩ Fin) ⊆ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ⊆ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ⊊ 𝑦))
3		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ⊆ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ⊊ 𝑦) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ⊊ 𝑦)
4	3	reximi 3174	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ⊆ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ⊊ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ⊊ 𝑦)
5	2, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((∪ 𝐴 ∈ dom card ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 𝑥 ∩ Fin) ⊆ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ⊊ 𝑦)
6	5	3exp 1117	. . . 4 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ dom card → (𝑧 ∈ 𝐴 → (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 𝑥 ∩ Fin) ⊆ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ⊊ 𝑦)))
7	6	exlimdv 1937	. . 3 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ dom card → (∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴 → (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 𝑥 ∩ Fin) ⊆ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ⊊ 𝑦)))
8	1, 7	syl5bi 241	. 2 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ dom card → (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 𝑥 ∩ Fin) ⊆ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ⊊ 𝑦)))
9	8	3imp 1109	1 ⊢ ((∪ 𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 𝑥 ∩ Fin) ⊆ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ⊊ 𝑦)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085  ∀wal 1537  ∃wex 1783   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883   ⊊ wpss 3884  ∅c0 4253  𝒫 cpw 4530  ∪ cuni 4836  dom cdm 5580  Fincfn 8691  cardccrd 9624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-fin 8695  df-card 9628

This theorem is referenced by:  ttukey  10205