Theorem ttukeyg 10595

Description: The Teichmüller-Tukey Lemma ttukey 10596 stated with the "choice" as an antecedent (the hypothesis ∪ 𝐴 ∈ dom card says that ∪ 𝐴 is well-orderable). (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ttukeyg	⊢ ((∪ 𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 𝑥 ∩ Fin) ⊆ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ⊊ 𝑦)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem ttukeyg

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4299	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴)
2		ttukey2g 10594	. . . . . 6 ⊢ ((∪ 𝐴 ∈ dom card ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 𝑥 ∩ Fin) ⊆ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ⊆ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ⊊ 𝑦))
3		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ⊆ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ⊊ 𝑦) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ⊊ 𝑦)
4	3	reximi 3100	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ⊆ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ⊊ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ⊊ 𝑦)
5	2, 4	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((∪ 𝐴 ∈ dom card ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 𝑥 ∩ Fin) ⊆ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ⊊ 𝑦)
6	5	3exp 1137	. . . 4 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ dom card → (𝑧 ∈ 𝐴 → (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 𝑥 ∩ Fin) ⊆ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ⊊ 𝑦)))
7	6	exlimdv 1965	. . 3 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ dom card → (∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴 → (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 𝑥 ∩ Fin) ⊆ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ⊊ 𝑦)))
8	1, 7	biimtrid 245	. 2 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ dom card → (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 𝑥 ∩ Fin) ⊆ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ⊊ 𝑦)))
9	8	3imp 1128	1 ⊢ ((∪ 𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 𝑥 ∩ Fin) ⊆ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ⊊ 𝑦)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103  ∀wal 1567  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3895   ⊊ wpss 4013   ∩ cin 4089  ∅c0 4278  𝒫 cpw 4556  ∪ cuni 4866  dom cdm 5650  Fincfn 8973  cardccrd 10016

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-1o 8476  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-fin 8977  df-card 10020

This theorem is used by:  ttukey  10596