Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ttukeyg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ttukeyg 9990
 Description: The Teichmüller-Tukey Lemma ttukey 9991 stated with the "choice" as an antecedent (the hypothesis ∪ 𝐴 ∈ dom card says that ∪ 𝐴 is well-orderable). (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ttukeyg (( 𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥(𝑥𝐴 ↔ (𝒫 𝑥 ∩ Fin) ⊆ 𝐴)) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑦)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem ttukeyg
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 4247 . . 3 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧𝐴)
2 ttukey2g 9989 . . . . . 6 (( 𝐴 ∈ dom card ∧ 𝑧𝐴 ∧ ∀𝑥(𝑥𝐴 ↔ (𝒫 𝑥 ∩ Fin) ⊆ 𝐴)) → ∃𝑥𝐴 (𝑧𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑦))
3 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝑧𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑦) → ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑦)
43reximi 3171 . . . . . 6 (∃𝑥𝐴 (𝑧𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑦) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑦)
52, 4syl 17 . . . . 5 (( 𝐴 ∈ dom card ∧ 𝑧𝐴 ∧ ∀𝑥(𝑥𝐴 ↔ (𝒫 𝑥 ∩ Fin) ⊆ 𝐴)) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑦)
653exp 1116 . . . 4 ( 𝐴 ∈ dom card → (𝑧𝐴 → (∀𝑥(𝑥𝐴 ↔ (𝒫 𝑥 ∩ Fin) ⊆ 𝐴) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑦)))
76exlimdv 1934 . . 3 ( 𝐴 ∈ dom card → (∃𝑧 𝑧𝐴 → (∀𝑥(𝑥𝐴 ↔ (𝒫 𝑥 ∩ Fin) ⊆ 𝐴) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑦)))
81, 7syl5bi 245 . 2 ( 𝐴 ∈ dom card → (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑥(𝑥𝐴 ↔ (𝒫 𝑥 ∩ Fin) ⊆ 𝐴) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑦)))
983imp 1108 1 (( 𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥(𝑥𝐴 ↔ (𝒫 𝑥 ∩ Fin) ⊆ 𝐴)) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑦)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084  ∀wal 1536  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∀wral 3070  ∃wrex 3071   ∩ cin 3859   ⊆ wss 3860   ⊊ wpss 3861  ∅c0 4227  𝒫 cpw 4497  ∪ cuni 4801  dom cdm 5528  Fincfn 8540  cardccrd 9410 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7114  df-om 7586  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-1o 8118  df-er 8305  df-en 8541  df-dom 8542  df-fin 8544  df-card 9414 This theorem is referenced by:  ttukey  9991
 Copyright terms: Public domain W3C validator