MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ttukeyg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ttukeyg 10454
Description: The TeichmΓΌller-Tukey Lemma ttukey 10455 stated with the "choice" as an antecedent (the hypothesis βˆͺ 𝐴 ∈ dom card says that βˆͺ 𝐴 is well-orderable). (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ttukeyg ((βˆͺ 𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) βŠ† 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ π‘₯ ⊊ 𝑦)
Distinct variable group:   π‘₯,𝑦,𝐴

Proof of Theorem ttukeyg
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 4307 . . 3 (𝐴 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘§ 𝑧 ∈ 𝐴)
2 ttukey2g 10453 . . . . . 6 ((βˆͺ 𝐴 ∈ dom card ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) βŠ† 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝑧 βŠ† π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ π‘₯ ⊊ 𝑦))
3 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝑧 βŠ† π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ π‘₯ ⊊ 𝑦) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ π‘₯ ⊊ 𝑦)
43reximi 3088 . . . . . 6 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝑧 βŠ† π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ π‘₯ ⊊ 𝑦) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ π‘₯ ⊊ 𝑦)
52, 4syl 17 . . . . 5 ((βˆͺ 𝐴 ∈ dom card ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) βŠ† 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ π‘₯ ⊊ 𝑦)
653exp 1120 . . . 4 (βˆͺ 𝐴 ∈ dom card β†’ (𝑧 ∈ 𝐴 β†’ (βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) βŠ† 𝐴) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ π‘₯ ⊊ 𝑦)))
76exlimdv 1937 . . 3 (βˆͺ 𝐴 ∈ dom card β†’ (βˆƒπ‘§ 𝑧 ∈ 𝐴 β†’ (βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) βŠ† 𝐴) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ π‘₯ ⊊ 𝑦)))
81, 7biimtrid 241 . 2 (βˆͺ 𝐴 ∈ dom card β†’ (𝐴 β‰  βˆ… β†’ (βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) βŠ† 𝐴) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ π‘₯ ⊊ 𝑦)))
983imp 1112 1 ((βˆͺ 𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) βŠ† 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ π‘₯ ⊊ 𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088  βˆ€wal 1540  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911   ⊊ wpss 3912  βˆ…c0 4283  π’« cpw 4561  βˆͺ cuni 4866  dom cdm 5634  Fincfn 8884  cardccrd 9872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-1o 8413  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-fin 8888  df-card 9876
This theorem is referenced by:  ttukey  10455
  Copyright terms: Public domain W3C validator