Theorem ulmres 26446

Description: A sequence of functions converges iff the tail of the sequence converges (for any finite cutoff). (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ulmres.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ulmres.w	⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘𝑁)
ulmres.m	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
ulmres.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
ulmres	⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ↔ (𝐹 ↾ 𝑊)(⇝𝑢‘𝑆)𝐺))

Proof of Theorem ulmres

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ulmscl 26437	. . . 4 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝑆 ∈ V)
2		ulmcl 26439	. . . 4 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
3	1, 2	jca 511	. . 3 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ))
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)))
5		ulmscl 26437	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝑊)(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝑆 ∈ V)
6		ulmcl 26439	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝑊)(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
7	5, 6	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝑊)(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ))
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝑊)(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)))
9		ulmres.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
10		ulmres.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
11	9, 10	eleqtrdi 2849	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
12	11	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
13		eluzel2 12881	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
15	10	rexuz3 15384	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑟 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑟))
16	14, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑟 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑟))
17		eluzelz 12886	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
18	12, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
19		ulmres.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘𝑁)
20	19	rexuz3 15384	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑟 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑟))
21	18, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → (∃𝑗 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑟 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑟))
22	16, 21	bitr4d 282	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑟 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑟))
23	22	ralbidv 3176	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → (∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑟 ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑟))
24		ulmres.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
25	24	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
26		eqidd 2736	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))
27		eqidd 2736	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
28		simprr 773	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
29		simprl 771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → 𝑆 ∈ V)
30	10, 14, 25, 26, 27, 28, 29	ulm2 26443	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑟))
31		uzss 12899	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
32	12, 31	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
33	32, 19, 10	3sstr4g 4041	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → 𝑊 ⊆ 𝑍)
34	25, 33	fssresd 6776	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → (𝐹 ↾ 𝑊):𝑊⟶(ℂ ↑m 𝑆))
35		fvres 6926	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑊 → ((𝐹 ↾ 𝑊)‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
36	35	ad2antrl 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) ∧ (𝑘 ∈ 𝑊 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝐹 ↾ 𝑊)‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
37	36	fveq1d 6909	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) ∧ (𝑘 ∈ 𝑊 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (((𝐹 ↾ 𝑊)‘𝑘)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))
38	19, 18, 34, 37, 27, 28, 29	ulm2 26443	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → ((𝐹 ↾ 𝑊)(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑟))
39	23, 30, 38	3bitr4d 311	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ↔ (𝐹 ↾ 𝑊)(⇝𝑢‘𝑆)𝐺))
40	39	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ) → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ↔ (𝐹 ↾ 𝑊)(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)))
41	4, 8, 40	pm5.21ndd 379	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ↔ (𝐹 ↾ 𝑊)(⇝𝑢‘𝑆)𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  ∃wrex 3068  Vcvv 3478   ⊆ wss 3963   class class class wbr 5148   ↾ cres 5691  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ↑_m cmap 8865  ℂcc 11151   < clt 11293   − cmin 11490  ℤcz 12611  ℤ_≥cuz 12876  ℝ⁺crp 13032  abscabs 15270  ⇝_𝑢culm 26434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-neg 11493  df-z 12612  df-uz 12877  df-ulm 26435

This theorem is referenced by:  pserdvlem2  26487