Theorem ulmres 26516

Description: A sequence of functions converges iff the tail of the sequence converges (for any finite cutoff). (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ulmres.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ulmres.w	⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘𝑁)
ulmres.m	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
ulmres.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
ulmres	⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ↔ (𝐹 ↾ 𝑊)(⇝𝑢‘𝑆)𝐺))

Proof of Theorem ulmres

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ulmscl 26507	. . . 4 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝑆 ∈ V)
2		ulmcl 26509	. . . 4 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
3	1, 2	jca 520	. . 3 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ))
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)))
5		ulmscl 26507	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝑊)(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝑆 ∈ V)
6		ulmcl 26509	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝑊)(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
7	5, 6	jca 520	. . 3 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝑊)(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ))
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝑊)(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)))
9		ulmres.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
10		ulmres.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
11	9, 10	eleqtrdi 2879	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
12	11	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
13		eluzel2 12866	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
14	12, 13	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
15	10	rexuz3 15399	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑟 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑟))
16	14, 15	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑟 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑟))
17		eluzelz 12871	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
18	12, 17	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
19		ulmres.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘𝑁)
20	19	rexuz3 15399	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑟 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑟))
21	18, 20	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → (∃𝑗 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑟 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑟))
22	16, 21	bitr4d 285	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑟 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑟))
23	22	ralbidv 3194	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → (∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑟 ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑟))
24		ulmres.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
25	24	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
26		eqidd 2770	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))
27		eqidd 2770	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
28		simprr 784	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
29		simprl 782	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → 𝑆 ∈ V)
30	10, 14, 25, 26, 27, 28, 29	ulm2 26513	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑟))
31		uzss 12884	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
32	12, 31	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
33	32, 19, 10	3sstr4g 3998	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → 𝑊 ⊆ 𝑍)
34	25, 33	fssresd 6746	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → (𝐹 ↾ 𝑊):𝑊⟶(ℂ ↑m 𝑆))
35		fvres 6901	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑊 → ((𝐹 ↾ 𝑊)‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
36	35	ad2antrl 740	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) ∧ (𝑘 ∈ 𝑊 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝐹 ↾ 𝑊)‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
37	36	fveq1d 6884	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) ∧ (𝑘 ∈ 𝑊 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (((𝐹 ↾ 𝑊)‘𝑘)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))
38	19, 18, 34, 37, 27, 28, 29	ulm2 26513	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → ((𝐹 ↾ 𝑊)(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑟))
39	23, 30, 38	3bitr4d 314	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ↔ (𝐹 ↾ 𝑊)(⇝𝑢‘𝑆)𝐺))
40	39	ex 417	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ) → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ↔ (𝐹 ↾ 𝑊)(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)))
41	4, 8, 40	pm5.21ndd 382	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ↔ (𝐹 ↾ 𝑊)(⇝𝑢‘𝑆)𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  ∃wrex 3095  Vcvv 3463   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5113   ↾ cres 5664  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ↑_m cmap 8823  ℂcc 11097   < clt 11242   − cmin 11440  ℤcz 12590  ℤ_≥cuz 12861  ℝ⁺crp 13015  abscabs 15284  ⇝_𝑢culm 26504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-neg 11443  df-z 12591  df-uz 12862  df-ulm 26505

This theorem is referenced by:  pserdvlem2  26556