Theorem ulmres 25900

Description: A sequence of functions converges iff the tail of the sequence converges (for any finite cutoff). (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ulmres.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ulmres.w	⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘𝑁)
ulmres.m	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
ulmres.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
ulmres	⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ↔ (𝐹 ↾ 𝑊)(⇝𝑢‘𝑆)𝐺))

Proof of Theorem ulmres

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ulmscl 25891	. . . 4 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝑆 ∈ V)
2		ulmcl 25893	. . . 4 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
3	1, 2	jca 513	. . 3 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ))
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)))
5		ulmscl 25891	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝑊)(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝑆 ∈ V)
6		ulmcl 25893	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝑊)(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
7	5, 6	jca 513	. . 3 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝑊)(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ))
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝑊)(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)))
9		ulmres.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
10		ulmres.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
11	9, 10	eleqtrdi 2844	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
12	11	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
13		eluzel2 12827	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
15	10	rexuz3 15295	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑟 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑟))
16	14, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑟 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑟))
17		eluzelz 12832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
18	12, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
19		ulmres.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘𝑁)
20	19	rexuz3 15295	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑟 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑟))
21	18, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → (∃𝑗 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑟 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑟))
22	16, 21	bitr4d 282	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑟 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑟))
23	22	ralbidv 3178	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → (∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑟 ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑟))
24		ulmres.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
25	24	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
26		eqidd 2734	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))
27		eqidd 2734	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
28		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
29		simprl 770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → 𝑆 ∈ V)
30	10, 14, 25, 26, 27, 28, 29	ulm2 25897	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑟))
31		uzss 12845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
32	12, 31	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
33	32, 19, 10	3sstr4g 4028	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → 𝑊 ⊆ 𝑍)
34	25, 33	fssresd 6759	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → (𝐹 ↾ 𝑊):𝑊⟶(ℂ ↑m 𝑆))
35		fvres 6911	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑊 → ((𝐹 ↾ 𝑊)‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
36	35	ad2antrl 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) ∧ (𝑘 ∈ 𝑊 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝐹 ↾ 𝑊)‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
37	36	fveq1d 6894	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) ∧ (𝑘 ∈ 𝑊 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (((𝐹 ↾ 𝑊)‘𝑘)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))
38	19, 18, 34, 37, 27, 28, 29	ulm2 25897	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → ((𝐹 ↾ 𝑊)(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑟))
39	23, 30, 38	3bitr4d 311	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ↔ (𝐹 ↾ 𝑊)(⇝𝑢‘𝑆)𝐺))
40	39	ex 414	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ) → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ↔ (𝐹 ↾ 𝑊)(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)))
41	4, 8, 40	pm5.21ndd 381	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ↔ (𝐹 ↾ 𝑊)(⇝𝑢‘𝑆)𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  ∃wrex 3071  Vcvv 3475   ⊆ wss 3949   class class class wbr 5149   ↾ cres 5679  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑_m cmap 8820  ℂcc 11108   < clt 11248   − cmin 11444  ℤcz 12558  ℤ_≥cuz 12822  ℝ⁺crp 12974  abscabs 15181  ⇝_𝑢culm 25888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-neg 11447  df-z 12559  df-uz 12823  df-ulm 25889

This theorem is referenced by:  pserdvlem2  25940