MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmres 25763
Description: A sequence of functions converges iff the tail of the sequence converges (for any finite cutoff). (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmres.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
ulmres.w π‘Š = (β„€β‰₯β€˜π‘)
ulmres.m (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝑍)
ulmres.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
Assertion
Ref Expression
ulmres (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ↔ (𝐹 β†Ύ π‘Š)(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺))

Proof of Theorem ulmres
Dummy variables 𝑗 π‘˜ π‘Ÿ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmscl 25754 . . . 4 (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ 𝑆 ∈ V)
2 ulmcl 25756 . . . 4 (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)
31, 2jca 513 . . 3 (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚))
43a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)))
5 ulmscl 25754 . . . 4 ((𝐹 β†Ύ π‘Š)(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ 𝑆 ∈ V)
6 ulmcl 25756 . . . 4 ((𝐹 β†Ύ π‘Š)(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)
75, 6jca 513 . . 3 ((𝐹 β†Ύ π‘Š)(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚))
87a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ π‘Š)(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)))
9 ulmres.m . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝑍)
10 ulmres.z . . . . . . . . . 10 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
119, 10eleqtrdi 2848 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
1211adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
13 eluzel2 12775 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
1510rexuz3 15240 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘Ÿ ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘Ÿ))
1614, 15syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘Ÿ ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘Ÿ))
17 eluzelz 12780 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
1812, 17syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
19 ulmres.w . . . . . . . 8 π‘Š = (β„€β‰₯β€˜π‘)
2019rexuz3 15240 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ π‘Š βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘Ÿ ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘Ÿ))
2118, 20syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ π‘Š βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘Ÿ ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘Ÿ))
2216, 21bitr4d 282 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘Ÿ ↔ βˆƒπ‘— ∈ π‘Š βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘Ÿ))
2322ralbidv 3175 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)) β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘Ÿ ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ π‘Š βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘Ÿ))
24 ulmres.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
2524adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)) β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
26 eqidd 2738 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§))
27 eqidd 2738 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))
28 simprr 772 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)) β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)
29 simprl 770 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)) β†’ 𝑆 ∈ V)
3010, 14, 25, 26, 27, 28, 29ulm2 25760 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)) β†’ (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘Ÿ))
31 uzss 12793 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘) βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
3212, 31syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘) βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
3332, 19, 103sstr4g 3994 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)) β†’ π‘Š βŠ† 𝑍)
3425, 33fssresd 6714 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)) β†’ (𝐹 β†Ύ π‘Š):π‘ŠβŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
35 fvres 6866 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ π‘Š β†’ ((𝐹 β†Ύ π‘Š)β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
3635ad2antrl 727 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)) ∧ (π‘˜ ∈ π‘Š ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ ((𝐹 β†Ύ π‘Š)β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
3736fveq1d 6849 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)) ∧ (π‘˜ ∈ π‘Š ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (((𝐹 β†Ύ π‘Š)β€˜π‘˜)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§))
3819, 18, 34, 37, 27, 28, 29ulm2 25760 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)) β†’ ((𝐹 β†Ύ π‘Š)(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ π‘Š βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘Ÿ))
3923, 30, 383bitr4d 311 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)) β†’ (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ↔ (𝐹 β†Ύ π‘Š)(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺))
4039ex 414 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚) β†’ (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ↔ (𝐹 β†Ύ π‘Š)(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺)))
414, 8, 40pm5.21ndd 381 1 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ↔ (𝐹 β†Ύ π‘Š)(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3448   βŠ† wss 3915   class class class wbr 5110   β†Ύ cres 5640  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ↑m cmap 8772  β„‚cc 11056   < clt 11196   βˆ’ cmin 11392  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  β„+crp 12922  abscabs 15126  β‡π‘’culm 25751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-neg 11395  df-z 12507  df-uz 12771  df-ulm 25752
This theorem is referenced by:  pserdvlem2  25803
  Copyright terms: Public domain W3C validator