Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmres 24958
 Description: A sequence of functions converges iff the tail of the sequence converges (for any finite cutoff). (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmres.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
ulmres.w 𝑊 = (ℤ𝑁)
ulmres.m (𝜑𝑁𝑍)
ulmres.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
Assertion
Ref Expression
ulmres (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺 ↔ (𝐹𝑊)(⇝𝑢𝑆)𝐺))

Proof of Theorem ulmres
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmscl 24949 . . . 4 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝑆 ∈ V)
2 ulmcl 24951 . . . 4 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐺:𝑆⟶ℂ)
31, 2jca 514 . . 3 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺 → (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ))
43a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺 → (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)))
5 ulmscl 24949 . . . 4 ((𝐹𝑊)(⇝𝑢𝑆)𝐺𝑆 ∈ V)
6 ulmcl 24951 . . . 4 ((𝐹𝑊)(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐺:𝑆⟶ℂ)
75, 6jca 514 . . 3 ((𝐹𝑊)(⇝𝑢𝑆)𝐺 → (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ))
87a1i 11 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝑊)(⇝𝑢𝑆)𝐺 → (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)))
9 ulmres.m . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁𝑍)
10 ulmres.z . . . . . . . . . 10 𝑍 = (ℤ𝑀)
119, 10eleqtrdi 2921 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
1211adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
13 eluzel2 12223 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
1510rexuz3 14684 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
1614, 15syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
17 eluzelz 12228 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
1812, 17syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
19 ulmres.w . . . . . . . 8 𝑊 = (ℤ𝑁)
2019rexuz3 14684 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
2118, 20syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → (∃𝑗𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
2216, 21bitr4d 284 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟 ↔ ∃𝑗𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
2322ralbidv 3184 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → (∀𝑟 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟 ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑗𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
24 ulmres.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
2524adantr 483 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
26 eqidd 2821 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) ∧ (𝑘𝑍𝑧𝑆)) → ((𝐹𝑘)‘𝑧) = ((𝐹𝑘)‘𝑧))
27 eqidd 2821 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) ∧ 𝑧𝑆) → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑧))
28 simprr 771 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
29 simprl 769 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → 𝑆 ∈ V)
3010, 14, 25, 26, 27, 28, 29ulm2 24955 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺 ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
31 uzss 12240 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
3212, 31syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
3332, 19, 103sstr4g 3987 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → 𝑊𝑍)
3425, 33fssresd 6517 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → (𝐹𝑊):𝑊⟶(ℂ ↑m 𝑆))
35 fvres 6661 . . . . . . 7 (𝑘𝑊 → ((𝐹𝑊)‘𝑘) = (𝐹𝑘))
3635ad2antrl 726 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) ∧ (𝑘𝑊𝑧𝑆)) → ((𝐹𝑊)‘𝑘) = (𝐹𝑘))
3736fveq1d 6644 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) ∧ (𝑘𝑊𝑧𝑆)) → (((𝐹𝑊)‘𝑘)‘𝑧) = ((𝐹𝑘)‘𝑧))
3819, 18, 34, 37, 27, 28, 29ulm2 24955 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → ((𝐹𝑊)(⇝𝑢𝑆)𝐺 ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑗𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
3923, 30, 383bitr4d 313 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺 ↔ (𝐹𝑊)(⇝𝑢𝑆)𝐺))
4039ex 415 . 2 (𝜑 → ((𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ) → (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺 ↔ (𝐹𝑊)(⇝𝑢𝑆)𝐺)))
414, 8, 40pm5.21ndd 383 1 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺 ↔ (𝐹𝑊)(⇝𝑢𝑆)𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3125  ∃wrex 3126  Vcvv 3470   ⊆ wss 3909   class class class wbr 5038   ↾ cres 5529  ⟶wf 6323  ‘cfv 6327  (class class class)co 7129   ↑m cmap 8380  ℂcc 10509   < clt 10649   − cmin 10844  ℤcz 11956  ℤ≥cuz 12218  ℝ+crp 12364  abscabs 14569  ⇝𝑢culm 24946 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5162  ax-sep 5175  ax-nul 5182  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7435  ax-cnex 10567  ax-resscn 10568  ax-pre-lttri 10585  ax-pre-lttrn 10586 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3472  df-sbc 3749  df-csb 3857  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4811  df-iun 4893  df-br 5039  df-opab 5101  df-mpt 5119  df-id 5432  df-po 5446  df-so 5447  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-ov 7132  df-oprab 7133  df-mpo 7134  df-er 8263  df-map 8382  df-pm 8383  df-en 8484  df-dom 8485  df-sdom 8486  df-pnf 10651  df-mnf 10652  df-xr 10653  df-ltxr 10654  df-le 10655  df-neg 10847  df-z 11957  df-uz 12219  df-ulm 24947 This theorem is referenced by:  pserdvlem2  24998
 Copyright terms: Public domain W3C validator