Theorem ulmres 26602

Description: A sequence of functions converges iff the tail of the sequence converges (for any finite cutoff). (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ulmres.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ulmres.w	⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘𝑁)
ulmres.m	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
ulmres.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
ulmres	⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ↔ (𝐹 ↾ 𝑊)(⇝𝑢‘𝑆)𝐺))

Proof of Theorem ulmres

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ulmscl 26593	. . . 4 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝑆 ∈ V)
2		ulmcl 26595	. . . 4 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
3	1, 2	jca 521	. . 3 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ))
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)))
5		ulmscl 26593	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝑊)(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝑆 ∈ V)
6		ulmcl 26595	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝑊)(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
7	5, 6	jca 521	. . 3 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝑊)(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ))
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝑊)(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)))
9		ulmres.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
10		ulmres.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
11	9, 10	eleqtrdi 2875	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
12	11	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
13		eluzel2 12883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
14	12, 13	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
15	10	rexuz3 15424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑟 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑟))
16	14, 15	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑟 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑟))
17		eluzelz 12888	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
18	12, 17	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
19		ulmres.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘𝑁)
20	19	rexuz3 15424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑟 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑟))
21	18, 20	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → (∃𝑗 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑟 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑟))
22	16, 21	bitr4d 285	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑟 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑟))
23	22	ralbidv 3190	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → (∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑟 ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑟))
24		ulmres.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
25	24	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
26		eqidd 2766	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))
27		eqidd 2766	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
28		simprr 785	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
29		simprl 783	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → 𝑆 ∈ V)
30	10, 14, 25, 26, 27, 28, 29	ulm2 26599	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑟))
31		uzss 12901	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
32	12, 31	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
33	32, 19, 10	3sstr4g 3991	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → 𝑊 ⊆ 𝑍)
34	25, 33	fssresd 6749	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → (𝐹 ↾ 𝑊):𝑊⟶(ℂ ↑m 𝑆))
35		fvres 6904	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑊 → ((𝐹 ↾ 𝑊)‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
36	35	ad2antrl 741	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) ∧ (𝑘 ∈ 𝑊 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝐹 ↾ 𝑊)‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
37	36	fveq1d 6887	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) ∧ (𝑘 ∈ 𝑊 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (((𝐹 ↾ 𝑊)‘𝑘)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))
38	19, 18, 34, 37, 27, 28, 29	ulm2 26599	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → ((𝐹 ↾ 𝑊)(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑟))
39	23, 30, 38	3bitr4d 314	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ↔ (𝐹 ↾ 𝑊)(⇝𝑢‘𝑆)𝐺))
40	39	ex 418	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ) → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ↔ (𝐹 ↾ 𝑊)(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)))
41	4, 8, 40	pm5.21ndd 382	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ↔ (𝐹 ↾ 𝑊)(⇝𝑢‘𝑆)𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ∃wrex 3091  Vcvv 3457   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5111   ↾ cres 5665  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ↑_m cmap 8830  ℂcc 11113   < clt 11258   − cmin 11456  ℤcz 12606  ℤ_≥cuz 12878  ℝ⁺crp 13032  abscabs 15309  ⇝_𝑢culm 26590

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-neg 11459  df-z 12607  df-uz 12879  df-ulm 26591

This theorem is used by:  pserdvlem2  26642