Theorem iscau3 25313

Description: Express the Cauchy sequence property in the more conventional three-quantifier form. (Contributed by NM, 19-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscau3.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
iscau3.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
iscau3.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
iscau3	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑚,𝑥,𝐷   𝑗,𝐹,𝑘,𝑚,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥   𝑗,𝑋,𝑘,𝑚,𝑥   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝑀(𝑥,𝑘,𝑚)   𝑍(𝑚)

Proof of Theorem iscau3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscau3.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2		iscau2 25312	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))))
4	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5		ssid 4005	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℤ
6		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
7		eleq1 2828	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗) → ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ↔ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋))
8		eleq1 2828	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑚) → ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ↔ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋))
9		xmetsym 24358	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)))
10	9	fveq2d 6909	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) → ( I ‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘))) = ( I ‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))))
11		xmetsym 24358	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗)) = ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚)))
12	11	fveq2d 6909	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋) → ( I ‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) = ( I ‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))))
13		simp1 1136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
14		simp2l 1199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
15		simp3l 1201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋)
16		xmetcl 24342	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) ∈ ℝ*)
17	13, 14, 15, 16	syl3anc 1372	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) ∈ ℝ*)
18		simp2r 1200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋)
19		xmetcl 24342	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚)) ∈ ℝ*)
20	13, 15, 18, 19	syl3anc 1372	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚)) ∈ ℝ*)
21		simp3r 1202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
22	21	rehalfcld 12515	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ)
23	22	rexrd 11312	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ*)
24		xlt2add 13303	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚)) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑥 / 2) ∈ ℝ* ∧ (𝑥 / 2) ∈ ℝ*)) → ((((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < (𝑥 / 2) ∧ ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚)) < (𝑥 / 2)) → (((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) +𝑒 ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) < ((𝑥 / 2) +𝑒 (𝑥 / 2))))
25	17, 20, 23, 23, 24	syl22anc 838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → ((((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < (𝑥 / 2) ∧ ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚)) < (𝑥 / 2)) → (((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) +𝑒 ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) < ((𝑥 / 2) +𝑒 (𝑥 / 2))))
26	22, 22	rexaddd 13277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → ((𝑥 / 2) +𝑒 (𝑥 / 2)) = ((𝑥 / 2) + (𝑥 / 2)))
27	21	recnd 11290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
28	27	2halvesd 12514	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → ((𝑥 / 2) + (𝑥 / 2)) = 𝑥)
29	26, 28	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → ((𝑥 / 2) +𝑒 (𝑥 / 2)) = 𝑥)
30	29	breq2d 5154	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → ((((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) +𝑒 ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) < ((𝑥 / 2) +𝑒 (𝑥 / 2)) ↔ (((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) +𝑒 ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
31		xmettri 24362	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) ≤ (((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) +𝑒 ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))))
32	13, 14, 18, 15, 31	syl13anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) ≤ (((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) +𝑒 ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))))
33		xmetcl 24342	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) ∈ ℝ*)
34	13, 14, 18, 33	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) ∈ ℝ*)
35	17, 20	xaddcld 13344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) +𝑒 ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) ∈ ℝ*)
36	21	rexrd 11312	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
37		xrlelttr 13199	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) ∈ ℝ* ∧ (((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) +𝑒 ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) ≤ (((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) +𝑒 ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) ∧ (((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) +𝑒 ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
38	34, 35, 36, 37	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → ((((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) ≤ (((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) +𝑒 ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) ∧ (((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) +𝑒 ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
39	32, 38	mpand 695	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → ((((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) +𝑒 ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥 → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
40	30, 39	sylbid 240	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → ((((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) +𝑒 ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) < ((𝑥 / 2) +𝑒 (𝑥 / 2)) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
41	25, 40	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → ((((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < (𝑥 / 2) ∧ ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚)) < (𝑥 / 2)) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
42		ovex 7465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) ∈ V
43		fvi 6984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) ∈ V → ( I ‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) = ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)))
44	42, 43	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( I ‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) = ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))
45	44	breq1i 5149	. . . . . . . . 9 ⊢ (( I ‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < (𝑥 / 2))
46		ovex 7465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚)) ∈ V
47		fvi 6984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚)) ∈ V → ( I ‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) = ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚)))
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( I ‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) = ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))
49	48	breq1i 5149	. . . . . . . . 9 ⊢ (( I ‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) < (𝑥 / 2) ↔ ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚)) < (𝑥 / 2))
50	45, 49	anbi12i 628	. . . . . . . 8 ⊢ ((( I ‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ ( I ‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) < (𝑥 / 2)) ↔ (((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < (𝑥 / 2) ∧ ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚)) < (𝑥 / 2)))
51		ovex 7465	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) ∈ V
52		fvi 6984	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) ∈ V → ( I ‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) = ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)))
53	51, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ( I ‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) = ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))
54	53	breq1i 5149	. . . . . . . 8 ⊢ (( I ‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)
55	41, 50, 54	3imtr4g 296	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → ((( I ‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ ( I ‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) < (𝑥 / 2)) → ( I ‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
56	5, 6, 7, 8, 10, 12, 55	cau3lem 15394	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ( I ‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)( I ‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
57	4, 56	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ( I ‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)( I ‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
58	44	breq1i 5149	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( I ‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)
59	58	anbi2i 623	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ( I ‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))
60		df-3an 1088	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥) ↔ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))
61	59, 60	bitr4i 278	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ( I ‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))
62	61	ralbii 3092	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ( I ‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))
63	62	rexbii 3093	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ( I ‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))
64	63	ralbii 3092	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ( I ‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))
65	54	ralbii 3092	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)( I ‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)
66	65	anbi2i 623	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)( I ‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥) ↔ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
67		df-3an 1088	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
68	66, 67	bitr4i 278	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)( I ‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
69	68	ralbii 3092	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)( I ‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
70	69	rexbii 3093	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)( I ‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
71	70	ralbii 3092	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)( I ‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
72	57, 64, 71	3bitr3g 313	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
73		iscau3.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
74	73	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
75		iscau3.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
76	75	rexuz3 15388	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
77	74, 76	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
78	77	ralbidv 3177	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
79	72, 78	bitr4d 282	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
80	79	pm5.32da 579	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))))
81	3, 80	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3060  ∃wrex 3069  Vcvv 3479   class class class wbr 5142   I cid 5576  dom cdm 5684  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432   ↑_pm cpm 8868  ℂcc 11154  ℝcr 11155   + caddc 11159  ℝ^*cxr 11295   < clt 11296   ≤ cle 11297   / cdiv 11921  2c2 12322  ℤcz 12615  ℤ_≥cuz 12879  ℝ⁺crp 13035   +_𝑒 cxad 13153  ∞Metcxmet 21350  Cauccau 25288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-bl 21360  df-cau 25291

This theorem is referenced by:  iscau4  25314  caucfil  25318  cmetcaulem  25323  heibor1lem  37817