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Theorem iscau3 25326
Description: Express the Cauchy sequence property in the more conventional three-quantifier form. (Contributed by NM, 19-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
iscau3.2 𝑍 = (ℤ𝑀)
iscau3.3 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
iscau3.4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
iscau3 (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑚,𝑥,𝐷   𝑗,𝐹,𝑘,𝑚,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥   𝑗,𝑋,𝑘,𝑚,𝑥   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝑀(𝑥,𝑘,𝑚)   𝑍(𝑚)

Proof of Theorem iscau3
StepHypRef Expression
1 iscau3.3 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2 iscau2 25325 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))))
31, 2syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))))
41adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5 ssid 4018 . . . . . . 7 ℤ ⊆ ℤ
6 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
7 eleq1 2827 . . . . . . 7 ((𝐹𝑘) = (𝐹𝑗) → ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ↔ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋))
8 eleq1 2827 . . . . . . 7 ((𝐹𝑘) = (𝐹𝑚) → ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ↔ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋))
9 xmetsym 24373 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘)) = ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)))
109fveq2d 6911 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) → ( I ‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘))) = ( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))))
11 xmetsym 24373 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗)) = ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚)))
1211fveq2d 6911 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋) → ( I ‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) = ( I ‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))))
13 simp1 1135 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
14 simp2l 1198 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
15 simp3l 1200 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → (𝐹𝑗) ∈ 𝑋)
16 xmetcl 24357 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) ∈ ℝ*)
1713, 14, 15, 16syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) ∈ ℝ*)
18 simp2r 1199 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → (𝐹𝑚) ∈ 𝑋)
19 xmetcl 24357 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚)) ∈ ℝ*)
2013, 15, 18, 19syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚)) ∈ ℝ*)
21 simp3r 1201 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
2221rehalfcld 12511 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ)
2322rexrd 11309 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ*)
24 xlt2add 13299 . . . . . . . . . 10 (((((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚)) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑥 / 2) ∈ ℝ* ∧ (𝑥 / 2) ∈ ℝ*)) → ((((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < (𝑥 / 2) ∧ ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚)) < (𝑥 / 2)) → (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) +𝑒 ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < ((𝑥 / 2) +𝑒 (𝑥 / 2))))
2517, 20, 23, 23, 24syl22anc 839 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → ((((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < (𝑥 / 2) ∧ ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚)) < (𝑥 / 2)) → (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) +𝑒 ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < ((𝑥 / 2) +𝑒 (𝑥 / 2))))
2622, 22rexaddd 13273 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → ((𝑥 / 2) +𝑒 (𝑥 / 2)) = ((𝑥 / 2) + (𝑥 / 2)))
2721recnd 11287 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
28272halvesd 12510 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → ((𝑥 / 2) + (𝑥 / 2)) = 𝑥)
2926, 28eqtrd 2775 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → ((𝑥 / 2) +𝑒 (𝑥 / 2)) = 𝑥)
3029breq2d 5160 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → ((((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) +𝑒 ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < ((𝑥 / 2) +𝑒 (𝑥 / 2)) ↔ (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) +𝑒 ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
31 xmettri 24377 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋)) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) ≤ (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) +𝑒 ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))))
3213, 14, 18, 15, 31syl13anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) ≤ (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) +𝑒 ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))))
33 xmetcl 24357 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) ∈ ℝ*)
3413, 14, 18, 33syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) ∈ ℝ*)
3517, 20xaddcld 13340 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) +𝑒 ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) ∈ ℝ*)
3621rexrd 11309 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
37 xrlelttr 13195 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) ∈ ℝ* ∧ (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) +𝑒 ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → ((((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) ≤ (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) +𝑒 ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) ∧ (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) +𝑒 ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
3834, 35, 36, 37syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → ((((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) ≤ (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) +𝑒 ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) ∧ (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) +𝑒 ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
3932, 38mpand 695 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → ((((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) +𝑒 ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥 → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
4030, 39sylbid 240 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → ((((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) +𝑒 ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < ((𝑥 / 2) +𝑒 (𝑥 / 2)) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
4125, 40syld 47 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → ((((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < (𝑥 / 2) ∧ ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚)) < (𝑥 / 2)) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
42 ovex 7464 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) ∈ V
43 fvi 6985 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) ∈ V → ( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) = ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)))
4442, 43ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) = ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))
4544breq1i 5155 . . . . . . . . 9 (( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) ↔ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < (𝑥 / 2))
46 ovex 7464 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚)) ∈ V
47 fvi 6985 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚)) ∈ V → ( I ‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) = ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚)))
4846, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ( I ‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) = ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))
4948breq1i 5155 . . . . . . . . 9 (( I ‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < (𝑥 / 2) ↔ ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚)) < (𝑥 / 2))
5045, 49anbi12i 628 . . . . . . . 8 ((( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ ( I ‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < (𝑥 / 2)) ↔ (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < (𝑥 / 2) ∧ ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚)) < (𝑥 / 2)))
51 ovex 7464 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) ∈ V
52 fvi 6985 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) ∈ V → ( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) = ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)))
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) = ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))
5453breq1i 5155 . . . . . . . 8 (( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥 ↔ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)
5541, 50, 543imtr4g 296 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → ((( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ ( I ‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < (𝑥 / 2)) → ( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
565, 6, 7, 8, 10, 12, 55cau3lem 15390 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
574, 56syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
5844breq1i 5155 . . . . . . . . . 10 (( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥 ↔ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)
5958anbi2i 623 . . . . . . . . 9 (((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))
60 df-3an 1088 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥) ↔ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))
6159, 60bitr4i 278 . . . . . . . 8 (((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))
6261ralbii 3091 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))
6362rexbii 3092 . . . . . 6 (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))
6463ralbii 3091 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))
6554ralbii 3091 . . . . . . . . . 10 (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)
6665anbi2i 623 . . . . . . . . 9 (((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥) ↔ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
67 df-3an 1088 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
6866, 67bitr4i 278 . . . . . . . 8 (((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
6968ralbii 3091 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
7069rexbii 3092 . . . . . 6 (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
7170ralbii 3091 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
7257, 64, 713bitr3g 313 . . . 4 ((𝜑𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
73 iscau3.4 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7473adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
75 iscau3.2 . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
7675rexuz3 15384 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
7774, 76syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
7877ralbidv 3176 . . . 4 ((𝜑𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
7972, 78bitr4d 282 . . 3 ((𝜑𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
8079pm5.32da 579 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))))
813, 80bitrd 279 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  Vcvv 3478   class class class wbr 5148   I cid 5582  dom cdm 5689  cfv 6563  (class class class)co 7431  pm cpm 8866  cc 11151  cr 11152   + caddc 11156  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294   / cdiv 11918  2c2 12319  cz 12611  cuz 12876  +crp 13032   +𝑒 cxad 13150  ∞Metcxmet 21367  Cauccau 25301
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-2 12327  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-bl 21377  df-cau 25304
This theorem is referenced by:  iscau4  25327  caucfil  25331  cmetcaulem  25336  heibor1lem  37796
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