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Theorem iscau3 24665
Description: Express the Cauchy sequence property in the more conventional three-quantifier form. (Contributed by NM, 19-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
iscau3.2 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
iscau3.3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
iscau3.4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
Assertion
Ref Expression
iscau3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))))
Distinct variable groups:   𝑗,π‘˜,π‘š,π‘₯,𝐷   𝑗,𝐹,π‘˜,π‘š,π‘₯   πœ‘,𝑗,π‘˜,π‘₯   𝑗,𝑋,π‘˜,π‘š,π‘₯   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘š)   𝑀(π‘₯,π‘˜,π‘š)   𝑍(π‘š)

Proof of Theorem iscau3
StepHypRef Expression
1 iscau3.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
2 iscau2 24664 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))))
31, 2syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))))
41adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
5 ssid 3970 . . . . . . 7 β„€ βŠ† β„€
6 simpr 486 . . . . . . 7 ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)
7 eleq1 2822 . . . . . . 7 ((πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘—) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ↔ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋))
8 eleq1 2822 . . . . . . 7 ((πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ↔ (πΉβ€˜π‘š) ∈ 𝑋))
9 xmetsym 23723 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)))
109fveq2d 6850 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) β†’ ( I β€˜((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘˜))) = ( I β€˜((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—))))
11 xmetsym 23723 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘š) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) = ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘š)))
1211fveq2d 6850 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘š) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋) β†’ ( I β€˜((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘—))) = ( I β€˜((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘š))))
13 simp1 1137 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘š) ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ ℝ)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
14 simp2l 1200 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘š) ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ ℝ)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)
15 simp3l 1202 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘š) ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ ℝ)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋)
16 xmetcl 23707 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) ∈ ℝ*)
1713, 14, 15, 16syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘š) ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ ℝ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) ∈ ℝ*)
18 simp2r 1201 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘š) ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ ℝ)) β†’ (πΉβ€˜π‘š) ∈ 𝑋)
19 xmetcl 23707 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘š) ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) ∈ ℝ*)
2013, 15, 18, 19syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘š) ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ ℝ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) ∈ ℝ*)
21 simp3r 1203 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘š) ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ ℝ)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
2221rehalfcld 12408 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘š) ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ ℝ)) β†’ (π‘₯ / 2) ∈ ℝ)
2322rexrd 11213 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘š) ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ ℝ)) β†’ (π‘₯ / 2) ∈ ℝ*)
24 xlt2add 13188 . . . . . . . . . 10 (((((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) ∈ ℝ* ∧ ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) ∈ ℝ*) ∧ ((π‘₯ / 2) ∈ ℝ* ∧ (π‘₯ / 2) ∈ ℝ*)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < (π‘₯ / 2) ∧ ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < (π‘₯ / 2)) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) +𝑒 ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘š))) < ((π‘₯ / 2) +𝑒 (π‘₯ / 2))))
2517, 20, 23, 23, 24syl22anc 838 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘š) ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ ℝ)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < (π‘₯ / 2) ∧ ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < (π‘₯ / 2)) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) +𝑒 ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘š))) < ((π‘₯ / 2) +𝑒 (π‘₯ / 2))))
2622, 22rexaddd 13162 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘š) ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ ℝ)) β†’ ((π‘₯ / 2) +𝑒 (π‘₯ / 2)) = ((π‘₯ / 2) + (π‘₯ / 2)))
2721recnd 11191 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘š) ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ ℝ)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
28272halvesd 12407 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘š) ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ ℝ)) β†’ ((π‘₯ / 2) + (π‘₯ / 2)) = π‘₯)
2926, 28eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘š) ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ ℝ)) β†’ ((π‘₯ / 2) +𝑒 (π‘₯ / 2)) = π‘₯)
3029breq2d 5121 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘š) ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ ℝ)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) +𝑒 ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘š))) < ((π‘₯ / 2) +𝑒 (π‘₯ / 2)) ↔ (((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) +𝑒 ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯))
31 xmettri 23727 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘š) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) ≀ (((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) +𝑒 ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘š))))
3213, 14, 18, 15, 31syl13anc 1373 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘š) ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ ℝ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) ≀ (((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) +𝑒 ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘š))))
33 xmetcl 23707 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘š) ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) ∈ ℝ*)
3413, 14, 18, 33syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘š) ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ ℝ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) ∈ ℝ*)
3517, 20xaddcld 13229 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘š) ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ ℝ)) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) +𝑒 ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘š))) ∈ ℝ*)
3621rexrd 11213 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘š) ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ ℝ)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
37 xrlelttr 13084 . . . . . . . . . . . 12 ((((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) ∈ ℝ* ∧ (((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) +𝑒 ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘š))) ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ ((((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) ≀ (((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) +𝑒 ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘š))) ∧ (((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) +𝑒 ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
3834, 35, 36, 37syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘š) ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ ℝ)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) ≀ (((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) +𝑒 ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘š))) ∧ (((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) +𝑒 ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
3932, 38mpand 694 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘š) ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ ℝ)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) +𝑒 ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
4030, 39sylbid 239 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘š) ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ ℝ)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) +𝑒 ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘š))) < ((π‘₯ / 2) +𝑒 (π‘₯ / 2)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
4125, 40syld 47 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘š) ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ ℝ)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < (π‘₯ / 2) ∧ ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < (π‘₯ / 2)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
42 ovex 7394 . . . . . . . . . . 11 ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) ∈ V
43 fvi 6921 . . . . . . . . . . 11 (((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) ∈ V β†’ ( I β€˜((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—))) = ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)))
4442, 43ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ( I β€˜((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—))) = ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—))
4544breq1i 5116 . . . . . . . . 9 (( I β€˜((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—))) < (π‘₯ / 2) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < (π‘₯ / 2))
46 ovex 7394 . . . . . . . . . . 11 ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) ∈ V
47 fvi 6921 . . . . . . . . . . 11 (((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) ∈ V β†’ ( I β€˜((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘š))) = ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘š)))
4846, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ( I β€˜((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘š))) = ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘š))
4948breq1i 5116 . . . . . . . . 9 (( I β€˜((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘š))) < (π‘₯ / 2) ↔ ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < (π‘₯ / 2))
5045, 49anbi12i 628 . . . . . . . 8 ((( I β€˜((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—))) < (π‘₯ / 2) ∧ ( I β€˜((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘š))) < (π‘₯ / 2)) ↔ (((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < (π‘₯ / 2) ∧ ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < (π‘₯ / 2)))
51 ovex 7394 . . . . . . . . . 10 ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) ∈ V
52 fvi 6921 . . . . . . . . . 10 (((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) ∈ V β†’ ( I β€˜((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š))) = ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)))
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ( I β€˜((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š))) = ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š))
5453breq1i 5116 . . . . . . . 8 (( I β€˜((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯ ↔ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯)
5541, 50, 543imtr4g 296 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘š) ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ ℝ)) β†’ ((( I β€˜((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—))) < (π‘₯ / 2) ∧ ( I β€˜((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘š))) < (π‘₯ / 2)) β†’ ( I β€˜((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯))
565, 6, 7, 8, 10, 12, 55cau3lem 15248 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ ( I β€˜((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)( I β€˜((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯)))
574, 56syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ ( I β€˜((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)( I β€˜((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯)))
5844breq1i 5116 . . . . . . . . . 10 (( I β€˜((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯ ↔ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)
5958anbi2i 624 . . . . . . . . 9 (((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ ( I β€˜((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯) ↔ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))
60 df-3an 1090 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯) ↔ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))
6159, 60bitr4i 278 . . . . . . . 8 (((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ ( I β€˜((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯) ↔ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))
6261ralbii 3093 . . . . . . 7 (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ ( I β€˜((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))
6362rexbii 3094 . . . . . 6 (βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ ( I β€˜((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))
6463ralbii 3093 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ ( I β€˜((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))
6554ralbii 3093 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)( I β€˜((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯)
6665anbi2i 624 . . . . . . . . 9 (((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)( I β€˜((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯) ↔ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
67 df-3an 1090 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ↔ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
6866, 67bitr4i 278 . . . . . . . 8 (((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)( I β€˜((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯) ↔ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
6968ralbii 3093 . . . . . . 7 (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)( I β€˜((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
7069rexbii 3094 . . . . . 6 (βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)( I β€˜((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
7170ralbii 3093 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)( I β€˜((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š))) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
7257, 64, 713bitr3g 313 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯)))
73 iscau3.4 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
7473adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚)) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
75 iscau3.2 . . . . . . 7 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
7675rexuz3 15242 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯)))
7774, 76syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚)) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯)))
7877ralbidv 3171 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯)))
7972, 78bitr4d 282 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯)))
8079pm5.32da 580 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))))
813, 80bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3447   class class class wbr 5109   I cid 5534  dom cdm 5637  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ↑pm cpm 8772  β„‚cc 11057  β„cr 11058   + caddc 11062  β„*cxr 11196   < clt 11197   ≀ cle 11198   / cdiv 11820  2c2 12216  β„€cz 12507  β„€β‰₯cuz 12771  β„+crp 12923   +𝑒 cxad 13039  βˆžMetcxmet 20804  Cauccau 24640
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-2 12224  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-bl 20814  df-cau 24643
This theorem is referenced by:  iscau4  24666  caucfil  24670  cmetcaulem  24675  heibor1lem  36318
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