Theorem iscau3 25258

Description: Express the Cauchy sequence property in the more conventional three-quantifier form. (Contributed by NM, 19-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscau3.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
iscau3.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
iscau3.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
iscau3	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑚,𝑥,𝐷   𝑗,𝐹,𝑘,𝑚,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥   𝑗,𝑋,𝑘,𝑚,𝑥   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝑀(𝑥,𝑘,𝑚)   𝑍(𝑚)

Proof of Theorem iscau3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscau3.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2		iscau2 25257	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))))
4	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5		ssid 3945	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℤ
6		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
7		eleq1 2825	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗) → ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ↔ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋))
8		eleq1 2825	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑚) → ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ↔ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋))
9		xmetsym 24325	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)))
10	9	fveq2d 6839	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) → ( I ‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘))) = ( I ‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))))
11		xmetsym 24325	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗)) = ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚)))
12	11	fveq2d 6839	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋) → ( I ‘((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑗))) = ( I ‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))))
13		simp1 1137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
14		simp2l 1201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
15		simp3l 1203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋)
16		xmetcl 24309	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) ∈ ℝ*)
17	13, 14, 15, 16	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) ∈ ℝ*)
18		simp2r 1202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋)
19		xmetcl 24309	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚)) ∈ ℝ*)
20	13, 15, 18, 19	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚)) ∈ ℝ*)
21		simp3r 1204	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
22	21	rehalfcld 12418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ)
23	22	rexrd 11189	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ*)
24		xlt2add 13206	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚)) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑥 / 2) ∈ ℝ* ∧ (𝑥 / 2) ∈ ℝ*)) → ((((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < (𝑥 / 2) ∧ ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚)) < (𝑥 / 2)) → (((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) +𝑒 ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) < ((𝑥 / 2) +𝑒 (𝑥 / 2))))
25	17, 20, 23, 23, 24	syl22anc 839	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → ((((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < (𝑥 / 2) ∧ ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚)) < (𝑥 / 2)) → (((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) +𝑒 ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) < ((𝑥 / 2) +𝑒 (𝑥 / 2))))
26	22, 22	rexaddd 13180	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → ((𝑥 / 2) +𝑒 (𝑥 / 2)) = ((𝑥 / 2) + (𝑥 / 2)))
27	21	recnd 11167	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
28	27	2halvesd 12417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → ((𝑥 / 2) + (𝑥 / 2)) = 𝑥)
29	26, 28	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → ((𝑥 / 2) +𝑒 (𝑥 / 2)) = 𝑥)
30	29	breq2d 5098	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → ((((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) +𝑒 ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) < ((𝑥 / 2) +𝑒 (𝑥 / 2)) ↔ (((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) +𝑒 ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
31		xmettri 24329	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) ≤ (((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) +𝑒 ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))))
32	13, 14, 18, 15, 31	syl13anc 1375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) ≤ (((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) +𝑒 ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))))
33		xmetcl 24309	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) ∈ ℝ*)
34	13, 14, 18, 33	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) ∈ ℝ*)
35	17, 20	xaddcld 13247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) +𝑒 ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) ∈ ℝ*)
36	21	rexrd 11189	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
37		xrlelttr 13101	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) ∈ ℝ* ∧ (((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) +𝑒 ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) ≤ (((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) +𝑒 ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) ∧ (((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) +𝑒 ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
38	34, 35, 36, 37	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → ((((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) ≤ (((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) +𝑒 ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) ∧ (((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) +𝑒 ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
39	32, 38	mpand 696	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → ((((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) +𝑒 ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥 → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
40	30, 39	sylbid 240	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → ((((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) +𝑒 ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) < ((𝑥 / 2) +𝑒 (𝑥 / 2)) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
41	25, 40	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → ((((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < (𝑥 / 2) ∧ ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚)) < (𝑥 / 2)) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
42		ovex 7394	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) ∈ V
43		fvi 6911	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) ∈ V → ( I ‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) = ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)))
44	42, 43	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( I ‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) = ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))
45	44	breq1i 5093	. . . . . . . . 9 ⊢ (( I ‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < (𝑥 / 2))
46		ovex 7394	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚)) ∈ V
47		fvi 6911	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚)) ∈ V → ( I ‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) = ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚)))
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( I ‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) = ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))
49	48	breq1i 5093	. . . . . . . . 9 ⊢ (( I ‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) < (𝑥 / 2) ↔ ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚)) < (𝑥 / 2))
50	45, 49	anbi12i 629	. . . . . . . 8 ⊢ ((( I ‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ ( I ‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) < (𝑥 / 2)) ↔ (((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < (𝑥 / 2) ∧ ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚)) < (𝑥 / 2)))
51		ovex 7394	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) ∈ V
52		fvi 6911	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) ∈ V → ( I ‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) = ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)))
53	51, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ( I ‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) = ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))
54	53	breq1i 5093	. . . . . . . 8 ⊢ (( I ‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)
55	41, 50, 54	3imtr4g 296	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → ((( I ‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ ( I ‘((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑚))) < (𝑥 / 2)) → ( I ‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥))
56	5, 6, 7, 8, 10, 12, 55	cau3lem 15311	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ( I ‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)( I ‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
57	4, 56	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ( I ‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)( I ‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥)))
58	44	breq1i 5093	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( I ‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)
59	58	anbi2i 624	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ( I ‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))
60		df-3an 1089	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥) ↔ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))
61	59, 60	bitr4i 278	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ( I ‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))
62	61	ralbii 3084	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ( I ‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))
63	62	rexbii 3085	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ( I ‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))
64	63	ralbii 3084	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ( I ‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))
65	54	ralbii 3084	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)( I ‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)
66	65	anbi2i 624	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)( I ‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥) ↔ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
67		df-3an 1089	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
68	66, 67	bitr4i 278	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)( I ‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
69	68	ralbii 3084	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)( I ‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
70	69	rexbii 3085	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)( I ‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
71	70	ralbii 3084	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)( I ‘((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
72	57, 64, 71	3bitr3g 313	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
73		iscau3.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
74	73	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
75		iscau3.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
76	75	rexuz3 15305	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
77	74, 76	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
78	77	ralbidv 3161	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
79	72, 78	bitr4d 282	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
80	79	pm5.32da 579	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))))
81	3, 80	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  Vcvv 3430   class class class wbr 5086   I cid 5519  dom cdm 5625  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   ↑_pm cpm 8768  ℂcc 11030  ℝcr 11031   + caddc 11035  ℝ^*cxr 11172   < clt 11173   ≤ cle 11174   / cdiv 11801  2c2 12230  ℤcz 12518  ℤ_≥cuz 12782  ℝ⁺crp 12936   +_𝑒 cxad 13055  ∞Metcxmet 21332  Cauccau 25233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-z 12519  df-uz 12783  df-rp 12937  df-xneg 13057  df-xadd 13058  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-bl 21342  df-cau 25236

This theorem is referenced by:  iscau4  25259  caucfil  25263  cmetcaulem  25268  heibor1lem  38147