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Theorem iscau3 23882
Description: Express the Cauchy sequence property in the more conventional three-quantifier form. (Contributed by NM, 19-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
iscau3.2 𝑍 = (ℤ𝑀)
iscau3.3 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
iscau3.4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
iscau3 (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑚,𝑥,𝐷   𝑗,𝐹,𝑘,𝑚,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥   𝑗,𝑋,𝑘,𝑚,𝑥   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝑀(𝑥,𝑘,𝑚)   𝑍(𝑚)

Proof of Theorem iscau3
StepHypRef Expression
1 iscau3.3 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2 iscau2 23881 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))))
31, 2syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))))
41adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5 ssid 3937 . . . . . . 7 ℤ ⊆ ℤ
6 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
7 eleq1 2877 . . . . . . 7 ((𝐹𝑘) = (𝐹𝑗) → ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ↔ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋))
8 eleq1 2877 . . . . . . 7 ((𝐹𝑘) = (𝐹𝑚) → ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ↔ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋))
9 xmetsym 22954 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘)) = ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)))
109fveq2d 6649 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) → ( I ‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘))) = ( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))))
11 xmetsym 22954 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗)) = ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚)))
1211fveq2d 6649 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋) → ( I ‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) = ( I ‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))))
13 simp1 1133 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
14 simp2l 1196 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
15 simp3l 1198 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → (𝐹𝑗) ∈ 𝑋)
16 xmetcl 22938 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) ∈ ℝ*)
1713, 14, 15, 16syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) ∈ ℝ*)
18 simp2r 1197 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → (𝐹𝑚) ∈ 𝑋)
19 xmetcl 22938 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚)) ∈ ℝ*)
2013, 15, 18, 19syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚)) ∈ ℝ*)
21 simp3r 1199 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
2221rehalfcld 11872 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ)
2322rexrd 10680 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ*)
24 xlt2add 12641 . . . . . . . . . 10 (((((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚)) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑥 / 2) ∈ ℝ* ∧ (𝑥 / 2) ∈ ℝ*)) → ((((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < (𝑥 / 2) ∧ ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚)) < (𝑥 / 2)) → (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) +𝑒 ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < ((𝑥 / 2) +𝑒 (𝑥 / 2))))
2517, 20, 23, 23, 24syl22anc 837 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → ((((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < (𝑥 / 2) ∧ ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚)) < (𝑥 / 2)) → (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) +𝑒 ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < ((𝑥 / 2) +𝑒 (𝑥 / 2))))
2622, 22rexaddd 12615 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → ((𝑥 / 2) +𝑒 (𝑥 / 2)) = ((𝑥 / 2) + (𝑥 / 2)))
2721recnd 10658 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
28272halvesd 11871 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → ((𝑥 / 2) + (𝑥 / 2)) = 𝑥)
2926, 28eqtrd 2833 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → ((𝑥 / 2) +𝑒 (𝑥 / 2)) = 𝑥)
3029breq2d 5042 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → ((((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) +𝑒 ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < ((𝑥 / 2) +𝑒 (𝑥 / 2)) ↔ (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) +𝑒 ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
31 xmettri 22958 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋)) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) ≤ (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) +𝑒 ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))))
3213, 14, 18, 15, 31syl13anc 1369 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) ≤ (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) +𝑒 ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))))
33 xmetcl 22938 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) ∈ ℝ*)
3413, 14, 18, 33syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) ∈ ℝ*)
3517, 20xaddcld 12682 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) +𝑒 ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) ∈ ℝ*)
3621rexrd 10680 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
37 xrlelttr 12537 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) ∈ ℝ* ∧ (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) +𝑒 ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → ((((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) ≤ (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) +𝑒 ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) ∧ (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) +𝑒 ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
3834, 35, 36, 37syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → ((((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) ≤ (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) +𝑒 ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) ∧ (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) +𝑒 ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
3932, 38mpand 694 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → ((((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) +𝑒 ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥 → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
4030, 39sylbid 243 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → ((((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) +𝑒 ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < ((𝑥 / 2) +𝑒 (𝑥 / 2)) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
4125, 40syld 47 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → ((((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < (𝑥 / 2) ∧ ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚)) < (𝑥 / 2)) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
42 ovex 7168 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) ∈ V
43 fvi 6715 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) ∈ V → ( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) = ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)))
4442, 43ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) = ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))
4544breq1i 5037 . . . . . . . . 9 (( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) ↔ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < (𝑥 / 2))
46 ovex 7168 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚)) ∈ V
47 fvi 6715 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚)) ∈ V → ( I ‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) = ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚)))
4846, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ( I ‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) = ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))
4948breq1i 5037 . . . . . . . . 9 (( I ‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < (𝑥 / 2) ↔ ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚)) < (𝑥 / 2))
5045, 49anbi12i 629 . . . . . . . 8 ((( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ ( I ‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < (𝑥 / 2)) ↔ (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < (𝑥 / 2) ∧ ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚)) < (𝑥 / 2)))
51 ovex 7168 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) ∈ V
52 fvi 6715 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) ∈ V → ( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) = ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)))
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) = ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))
5453breq1i 5037 . . . . . . . 8 (( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥 ↔ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)
5541, 50, 543imtr4g 299 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ)) → ((( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ ( I ‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < (𝑥 / 2)) → ( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
565, 6, 7, 8, 10, 12, 55cau3lem 14706 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
574, 56syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
5844breq1i 5037 . . . . . . . . . 10 (( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥 ↔ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)
5958anbi2i 625 . . . . . . . . 9 (((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))
60 df-3an 1086 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥) ↔ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))
6159, 60bitr4i 281 . . . . . . . 8 (((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))
6261ralbii 3133 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))
6362rexbii 3210 . . . . . 6 (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))
6463ralbii 3133 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))
6554ralbii 3133 . . . . . . . . . 10 (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)
6665anbi2i 625 . . . . . . . . 9 (((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥) ↔ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
67 df-3an 1086 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
6866, 67bitr4i 281 . . . . . . . 8 (((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
6968ralbii 3133 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
7069rexbii 3210 . . . . . 6 (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
7170ralbii 3133 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)( I ‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
7257, 64, 713bitr3g 316 . . . 4 ((𝜑𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
73 iscau3.4 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7473adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
75 iscau3.2 . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
7675rexuz3 14700 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
7774, 76syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
7877ralbidv 3162 . . . 4 ((𝜑𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
7972, 78bitr4d 285 . . 3 ((𝜑𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
8079pm5.32da 582 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))))
813, 80bitrd 282 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2111  wral 3106  wrex 3107  Vcvv 3441   class class class wbr 5030   I cid 5424  dom cdm 5519  cfv 6324  (class class class)co 7135  pm cpm 8390  cc 10524  cr 10525   + caddc 10529  *cxr 10663   < clt 10664  cle 10665   / cdiv 11286  2c2 11680  cz 11969  cuz 12231  +crp 12377   +𝑒 cxad 12493  ∞Metcxmet 20076  Cauccau 23857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-2 11688  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-bl 20086  df-cau 23860
This theorem is referenced by:  iscau4  23883  caucfil  23887  cmetcaulem  23892  heibor1lem  35247
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