MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdcnlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metdcnlem 24672
Description: The metric function of a metric space is always continuous in the topology generated by it. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xmetdcn2.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
xmetdcn2.2 𝐶 = (dist‘ℝ*𝑠)
xmetdcn2.3 𝐾 = (MetOpen‘𝐶)
metdcn.d (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
metdcn.a (𝜑𝐴𝑋)
metdcn.b (𝜑𝐵𝑋)
metdcn.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
metdcn.y (𝜑𝑌𝑋)
metdcn.z (𝜑𝑍𝑋)
metdcn.4 (𝜑 → (𝐴𝐷𝑌) < (𝑅 / 2))
metdcn.5 (𝜑 → (𝐵𝐷𝑍) < (𝑅 / 2))
Assertion
Ref Expression
metdcnlem (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) < 𝑅)

Proof of Theorem metdcnlem
StepHypRef Expression
1 xmetdcn2.2 . . . . 5 𝐶 = (dist‘ℝ*𝑠)
21xrsxmet 24645 . . . 4 𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*)
32a1i 11 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*))
4 metdcn.d . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5 metdcn.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑋)
6 metdcn.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑋)
7 xmetcl 24157 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
84, 5, 6, 7syl3anc 1370 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
9 metdcn.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑋)
10 metdcn.z . . . 4 (𝜑𝑍𝑋)
11 xmetcl 24157 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑍𝑋) → (𝑌𝐷𝑍) ∈ ℝ*)
124, 9, 10, 11syl3anc 1370 . . 3 (𝜑 → (𝑌𝐷𝑍) ∈ ℝ*)
13 xmetcl 24157 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝐵𝑋) → (𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
144, 9, 6, 13syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
15 metdcn.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
1615rphalfcld 13035 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ+)
1716rpred 13023 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ)
18 xmetcl 24157 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ∈ ℝ*)
193, 8, 14, 18syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ∈ ℝ*)
2016rpxrd 13024 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ*)
21 xmetcl 24157 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝑌𝑋) → (𝐴𝐷𝑌) ∈ ℝ*)
224, 5, 9, 21syl3anc 1370 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐷𝑌) ∈ ℝ*)
231xmetrtri2 24182 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝑌𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ≤ (𝐴𝐷𝑌))
244, 5, 9, 6, 23syl13anc 1371 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ≤ (𝐴𝐷𝑌))
25 metdcn.4 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐷𝑌) < (𝑅 / 2))
2619, 22, 20, 24, 25xrlelttrd 13146 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) < (𝑅 / 2))
2719, 20, 26xrltled 13136 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ≤ (𝑅 / 2))
28 xmetlecl 24172 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑅 / 2) ∈ ℝ ∧ ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ≤ (𝑅 / 2))) → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ∈ ℝ)
293, 8, 14, 17, 27, 28syl122anc 1378 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ∈ ℝ)
30 xmetcl 24157 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ (𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝑍) ∈ ℝ*) → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ∈ ℝ*)
313, 14, 12, 30syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ∈ ℝ*)
32 xmetcl 24157 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵𝑋𝑍𝑋) → (𝐵𝐷𝑍) ∈ ℝ*)
334, 6, 10, 32syl3anc 1370 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝐷𝑍) ∈ ℝ*)
34 xmetsym 24173 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝐵𝑋) → (𝑌𝐷𝐵) = (𝐵𝐷𝑌))
354, 9, 6, 34syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑌𝐷𝐵) = (𝐵𝐷𝑌))
36 xmetsym 24173 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑍𝑋) → (𝑌𝐷𝑍) = (𝑍𝐷𝑌))
374, 9, 10, 36syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑌𝐷𝑍) = (𝑍𝐷𝑌))
3835, 37oveq12d 7430 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) = ((𝐵𝐷𝑌)𝐶(𝑍𝐷𝑌)))
391xmetrtri2 24182 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐵𝑋𝑍𝑋𝑌𝑋)) → ((𝐵𝐷𝑌)𝐶(𝑍𝐷𝑌)) ≤ (𝐵𝐷𝑍))
404, 6, 10, 9, 39syl13anc 1371 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵𝐷𝑌)𝐶(𝑍𝐷𝑌)) ≤ (𝐵𝐷𝑍))
4138, 40eqbrtrd 5170 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (𝐵𝐷𝑍))
42 metdcn.5 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝐷𝑍) < (𝑅 / 2))
4331, 33, 20, 41, 42xrlelttrd 13146 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) < (𝑅 / 2))
4431, 20, 43xrltled 13136 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (𝑅 / 2))
45 xmetlecl 24172 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ ((𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝑍) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑅 / 2) ∈ ℝ ∧ ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (𝑅 / 2))) → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ∈ ℝ)
463, 14, 12, 17, 44, 45syl122anc 1378 . . . 4 (𝜑 → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ∈ ℝ)
4729, 46readdcld 11250 . . 3 (𝜑 → (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) + ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))) ∈ ℝ)
48 xmettri 24177 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝑍) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ*)) → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) +𝑒 ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))))
493, 8, 12, 14, 48syl13anc 1371 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) +𝑒 ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))))
5029, 46rexaddd 13220 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) +𝑒 ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))) = (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) + ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))))
5149, 50breqtrd 5174 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) + ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))))
52 xmetlecl 24172 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝑍) ∈ ℝ*) ∧ ((((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) + ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))) ∈ ℝ ∧ ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) + ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))))) → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ∈ ℝ)
533, 8, 12, 47, 51, 52syl122anc 1378 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ∈ ℝ)
5415rpred 13023 . 2 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
5529, 46, 54, 26, 43lt2halvesd 12467 . 2 (𝜑 → (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) + ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))) < 𝑅)
5653, 47, 54, 51, 55lelttrd 11379 1 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) < 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2105   class class class wbr 5148  cfv 6543  (class class class)co 7412  cr 11115   + caddc 11119  *cxr 11254   < clt 11255  cle 11256   / cdiv 11878  2c2 12274  +crp 12981   +𝑒 cxad 13097  distcds 17213  *𝑠cxrs 17453  ∞Metcxmet 21218  MetOpencmopn 21223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-icc 13338  df-fz 13492  df-seq 13974  df-exp 14035  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-struct 17087  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-xrs 17455  df-xmet 21226
This theorem is referenced by:  xmetdcn2  24673
  Copyright terms: Public domain W3C validator