MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdcnlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metdcnlem 24351
Description: The metric function of a metric space is always continuous in the topology generated by it. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xmetdcn2.1 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
xmetdcn2.2 𝐢 = (distβ€˜β„*𝑠)
xmetdcn2.3 𝐾 = (MetOpenβ€˜πΆ)
metdcn.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
metdcn.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
metdcn.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
metdcn.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
metdcn.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
metdcn.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑋)
metdcn.4 (πœ‘ β†’ (π΄π·π‘Œ) < (𝑅 / 2))
metdcn.5 (πœ‘ β†’ (𝐡𝐷𝑍) < (𝑅 / 2))
Assertion
Ref Expression
metdcnlem (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π‘)) < 𝑅)

Proof of Theorem metdcnlem
StepHypRef Expression
1 xmetdcn2.2 . . . . 5 𝐢 = (distβ€˜β„*𝑠)
21xrsxmet 24324 . . . 4 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜β„*)
32a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜β„*))
4 metdcn.d . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
5 metdcn.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
6 metdcn.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
7 xmetcl 23836 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ*)
84, 5, 6, 7syl3anc 1371 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ*)
9 metdcn.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
10 metdcn.z . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑋)
11 xmetcl 23836 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) β†’ (π‘Œπ·π‘) ∈ ℝ*)
124, 9, 10, 11syl3anc 1371 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Œπ·π‘) ∈ ℝ*)
13 xmetcl 23836 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘Œπ·π΅) ∈ ℝ*)
144, 9, 6, 13syl3anc 1371 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Œπ·π΅) ∈ ℝ*)
15 metdcn.r . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
1615rphalfcld 13027 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑅 / 2) ∈ ℝ+)
1716rpred 13015 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑅 / 2) ∈ ℝ)
18 xmetcl 23836 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜β„*) ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ* ∧ (π‘Œπ·π΅) ∈ ℝ*) β†’ ((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π΅)) ∈ ℝ*)
193, 8, 14, 18syl3anc 1371 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π΅)) ∈ ℝ*)
2016rpxrd 13016 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑅 / 2) ∈ ℝ*)
21 xmetcl 23836 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) β†’ (π΄π·π‘Œ) ∈ ℝ*)
224, 5, 9, 21syl3anc 1371 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π΄π·π‘Œ) ∈ ℝ*)
231xmetrtri2 23861 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π΅)) ≀ (π΄π·π‘Œ))
244, 5, 9, 6, 23syl13anc 1372 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π΅)) ≀ (π΄π·π‘Œ))
25 metdcn.4 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π΄π·π‘Œ) < (𝑅 / 2))
2619, 22, 20, 24, 25xrlelttrd 13138 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π΅)) < (𝑅 / 2))
2719, 20, 26xrltled 13128 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π΅)) ≀ (𝑅 / 2))
28 xmetlecl 23851 . . . . 5 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜β„*) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ* ∧ (π‘Œπ·π΅) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑅 / 2) ∈ ℝ ∧ ((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π΅)) ≀ (𝑅 / 2))) β†’ ((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π΅)) ∈ ℝ)
293, 8, 14, 17, 27, 28syl122anc 1379 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π΅)) ∈ ℝ)
30 xmetcl 23836 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜β„*) ∧ (π‘Œπ·π΅) ∈ ℝ* ∧ (π‘Œπ·π‘) ∈ ℝ*) β†’ ((π‘Œπ·π΅)𝐢(π‘Œπ·π‘)) ∈ ℝ*)
313, 14, 12, 30syl3anc 1371 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘Œπ·π΅)𝐢(π‘Œπ·π‘)) ∈ ℝ*)
32 xmetcl 23836 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝐷𝑍) ∈ ℝ*)
334, 6, 10, 32syl3anc 1371 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐡𝐷𝑍) ∈ ℝ*)
34 xmetsym 23852 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘Œπ·π΅) = (π΅π·π‘Œ))
354, 9, 6, 34syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘Œπ·π΅) = (π΅π·π‘Œ))
36 xmetsym 23852 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) β†’ (π‘Œπ·π‘) = (π‘π·π‘Œ))
374, 9, 10, 36syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘Œπ·π‘) = (π‘π·π‘Œ))
3835, 37oveq12d 7426 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘Œπ·π΅)𝐢(π‘Œπ·π‘)) = ((π΅π·π‘Œ)𝐢(π‘π·π‘Œ)))
391xmetrtri2 23861 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋 ∧ π‘Œ ∈ 𝑋)) β†’ ((π΅π·π‘Œ)𝐢(π‘π·π‘Œ)) ≀ (𝐡𝐷𝑍))
404, 6, 10, 9, 39syl13anc 1372 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π΅π·π‘Œ)𝐢(π‘π·π‘Œ)) ≀ (𝐡𝐷𝑍))
4138, 40eqbrtrd 5170 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘Œπ·π΅)𝐢(π‘Œπ·π‘)) ≀ (𝐡𝐷𝑍))
42 metdcn.5 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐡𝐷𝑍) < (𝑅 / 2))
4331, 33, 20, 41, 42xrlelttrd 13138 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘Œπ·π΅)𝐢(π‘Œπ·π‘)) < (𝑅 / 2))
4431, 20, 43xrltled 13128 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘Œπ·π΅)𝐢(π‘Œπ·π‘)) ≀ (𝑅 / 2))
45 xmetlecl 23851 . . . . 5 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜β„*) ∧ ((π‘Œπ·π΅) ∈ ℝ* ∧ (π‘Œπ·π‘) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑅 / 2) ∈ ℝ ∧ ((π‘Œπ·π΅)𝐢(π‘Œπ·π‘)) ≀ (𝑅 / 2))) β†’ ((π‘Œπ·π΅)𝐢(π‘Œπ·π‘)) ∈ ℝ)
463, 14, 12, 17, 44, 45syl122anc 1379 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘Œπ·π΅)𝐢(π‘Œπ·π‘)) ∈ ℝ)
4729, 46readdcld 11242 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π΅)) + ((π‘Œπ·π΅)𝐢(π‘Œπ·π‘))) ∈ ℝ)
48 xmettri 23856 . . . . 5 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜β„*) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ* ∧ (π‘Œπ·π‘) ∈ ℝ* ∧ (π‘Œπ·π΅) ∈ ℝ*)) β†’ ((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π‘)) ≀ (((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π΅)) +𝑒 ((π‘Œπ·π΅)𝐢(π‘Œπ·π‘))))
493, 8, 12, 14, 48syl13anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π‘)) ≀ (((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π΅)) +𝑒 ((π‘Œπ·π΅)𝐢(π‘Œπ·π‘))))
5029, 46rexaddd 13212 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π΅)) +𝑒 ((π‘Œπ·π΅)𝐢(π‘Œπ·π‘))) = (((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π΅)) + ((π‘Œπ·π΅)𝐢(π‘Œπ·π‘))))
5149, 50breqtrd 5174 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π‘)) ≀ (((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π΅)) + ((π‘Œπ·π΅)𝐢(π‘Œπ·π‘))))
52 xmetlecl 23851 . . 3 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜β„*) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ* ∧ (π‘Œπ·π‘) ∈ ℝ*) ∧ ((((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π΅)) + ((π‘Œπ·π΅)𝐢(π‘Œπ·π‘))) ∈ ℝ ∧ ((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π‘)) ≀ (((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π΅)) + ((π‘Œπ·π΅)𝐢(π‘Œπ·π‘))))) β†’ ((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π‘)) ∈ ℝ)
533, 8, 12, 47, 51, 52syl122anc 1379 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π‘)) ∈ ℝ)
5415rpred 13015 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
5529, 46, 54, 26, 43lt2halvesd 12459 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π΅)) + ((π‘Œπ·π΅)𝐢(π‘Œπ·π‘))) < 𝑅)
5653, 47, 54, 51, 55lelttrd 11371 1 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π‘)) < 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„cr 11108   + caddc 11112  β„*cxr 11246   < clt 11247   ≀ cle 11248   / cdiv 11870  2c2 12266  β„+crp 12973   +𝑒 cxad 13089  distcds 17205  β„*𝑠cxrs 17445  βˆžMetcxmet 20928  MetOpencmopn 20933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-icc 13330  df-fz 13484  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-struct 17079  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-xrs 17447  df-xmet 20936
This theorem is referenced by:  xmetdcn2  24352
  Copyright terms: Public domain W3C validator