MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdcnlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metdcnlem 24858
Description: The metric function of a metric space is always continuous in the topology generated by it. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xmetdcn2.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
xmetdcn2.2 𝐶 = (dist‘ℝ*𝑠)
xmetdcn2.3 𝐾 = (MetOpen‘𝐶)
metdcn.d (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
metdcn.a (𝜑𝐴𝑋)
metdcn.b (𝜑𝐵𝑋)
metdcn.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
metdcn.y (𝜑𝑌𝑋)
metdcn.z (𝜑𝑍𝑋)
metdcn.4 (𝜑 → (𝐴𝐷𝑌) < (𝑅 / 2))
metdcn.5 (𝜑 → (𝐵𝐷𝑍) < (𝑅 / 2))
Assertion
Ref Expression
metdcnlem (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) < 𝑅)

Proof of Theorem metdcnlem
StepHypRef Expression
1 xmetdcn2.2 . . . . 5 𝐶 = (dist‘ℝ*𝑠)
21xrsxmet 24831 . . . 4 𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*)
32a1i 11 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*))
4 metdcn.d . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5 metdcn.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑋)
6 metdcn.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑋)
7 xmetcl 24341 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
84, 5, 6, 7syl3anc 1373 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
9 metdcn.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑋)
10 metdcn.z . . . 4 (𝜑𝑍𝑋)
11 xmetcl 24341 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑍𝑋) → (𝑌𝐷𝑍) ∈ ℝ*)
124, 9, 10, 11syl3anc 1373 . . 3 (𝜑 → (𝑌𝐷𝑍) ∈ ℝ*)
13 xmetcl 24341 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝐵𝑋) → (𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
144, 9, 6, 13syl3anc 1373 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
15 metdcn.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
1615rphalfcld 13089 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ+)
1716rpred 13077 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ)
18 xmetcl 24341 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ∈ ℝ*)
193, 8, 14, 18syl3anc 1373 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ∈ ℝ*)
2016rpxrd 13078 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ*)
21 xmetcl 24341 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝑌𝑋) → (𝐴𝐷𝑌) ∈ ℝ*)
224, 5, 9, 21syl3anc 1373 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐷𝑌) ∈ ℝ*)
231xmetrtri2 24366 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝑌𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ≤ (𝐴𝐷𝑌))
244, 5, 9, 6, 23syl13anc 1374 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ≤ (𝐴𝐷𝑌))
25 metdcn.4 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐷𝑌) < (𝑅 / 2))
2619, 22, 20, 24, 25xrlelttrd 13202 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) < (𝑅 / 2))
2719, 20, 26xrltled 13192 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ≤ (𝑅 / 2))
28 xmetlecl 24356 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑅 / 2) ∈ ℝ ∧ ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ≤ (𝑅 / 2))) → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ∈ ℝ)
293, 8, 14, 17, 27, 28syl122anc 1381 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ∈ ℝ)
30 xmetcl 24341 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ (𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝑍) ∈ ℝ*) → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ∈ ℝ*)
313, 14, 12, 30syl3anc 1373 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ∈ ℝ*)
32 xmetcl 24341 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵𝑋𝑍𝑋) → (𝐵𝐷𝑍) ∈ ℝ*)
334, 6, 10, 32syl3anc 1373 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝐷𝑍) ∈ ℝ*)
34 xmetsym 24357 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝐵𝑋) → (𝑌𝐷𝐵) = (𝐵𝐷𝑌))
354, 9, 6, 34syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑌𝐷𝐵) = (𝐵𝐷𝑌))
36 xmetsym 24357 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑍𝑋) → (𝑌𝐷𝑍) = (𝑍𝐷𝑌))
374, 9, 10, 36syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑌𝐷𝑍) = (𝑍𝐷𝑌))
3835, 37oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) = ((𝐵𝐷𝑌)𝐶(𝑍𝐷𝑌)))
391xmetrtri2 24366 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐵𝑋𝑍𝑋𝑌𝑋)) → ((𝐵𝐷𝑌)𝐶(𝑍𝐷𝑌)) ≤ (𝐵𝐷𝑍))
404, 6, 10, 9, 39syl13anc 1374 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵𝐷𝑌)𝐶(𝑍𝐷𝑌)) ≤ (𝐵𝐷𝑍))
4138, 40eqbrtrd 5165 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (𝐵𝐷𝑍))
42 metdcn.5 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝐷𝑍) < (𝑅 / 2))
4331, 33, 20, 41, 42xrlelttrd 13202 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) < (𝑅 / 2))
4431, 20, 43xrltled 13192 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (𝑅 / 2))
45 xmetlecl 24356 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ ((𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝑍) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑅 / 2) ∈ ℝ ∧ ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (𝑅 / 2))) → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ∈ ℝ)
463, 14, 12, 17, 44, 45syl122anc 1381 . . . 4 (𝜑 → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ∈ ℝ)
4729, 46readdcld 11290 . . 3 (𝜑 → (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) + ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))) ∈ ℝ)
48 xmettri 24361 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝑍) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ*)) → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) +𝑒 ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))))
493, 8, 12, 14, 48syl13anc 1374 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) +𝑒 ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))))
5029, 46rexaddd 13276 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) +𝑒 ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))) = (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) + ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))))
5149, 50breqtrd 5169 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) + ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))))
52 xmetlecl 24356 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝑍) ∈ ℝ*) ∧ ((((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) + ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))) ∈ ℝ ∧ ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) + ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))))) → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ∈ ℝ)
533, 8, 12, 47, 51, 52syl122anc 1381 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ∈ ℝ)
5415rpred 13077 . 2 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
5529, 46, 54, 26, 43lt2halvesd 12514 . 2 (𝜑 → (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) + ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))) < 𝑅)
5653, 47, 54, 51, 55lelttrd 11419 1 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) < 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154   + caddc 11158  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296   / cdiv 11920  2c2 12321  +crp 13034   +𝑒 cxad 13152  distcds 17306  *𝑠cxrs 17545  ∞Metcxmet 21349  MetOpencmopn 21354
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-icc 13394  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-xrs 17547  df-xmet 21357
This theorem is referenced by:  xmetdcn2  24859
  Copyright terms: Public domain W3C validator