MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdcnlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metdcnlem 24222
Description: The metric function of a metric space is always continuous in the topology generated by it. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xmetdcn2.1 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
xmetdcn2.2 𝐢 = (distβ€˜β„*𝑠)
xmetdcn2.3 𝐾 = (MetOpenβ€˜πΆ)
metdcn.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
metdcn.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
metdcn.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
metdcn.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
metdcn.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
metdcn.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑋)
metdcn.4 (πœ‘ β†’ (π΄π·π‘Œ) < (𝑅 / 2))
metdcn.5 (πœ‘ β†’ (𝐡𝐷𝑍) < (𝑅 / 2))
Assertion
Ref Expression
metdcnlem (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π‘)) < 𝑅)

Proof of Theorem metdcnlem
StepHypRef Expression
1 xmetdcn2.2 . . . . 5 𝐢 = (distβ€˜β„*𝑠)
21xrsxmet 24195 . . . 4 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜β„*)
32a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜β„*))
4 metdcn.d . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
5 metdcn.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
6 metdcn.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
7 xmetcl 23707 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ*)
84, 5, 6, 7syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ*)
9 metdcn.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
10 metdcn.z . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑋)
11 xmetcl 23707 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) β†’ (π‘Œπ·π‘) ∈ ℝ*)
124, 9, 10, 11syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Œπ·π‘) ∈ ℝ*)
13 xmetcl 23707 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘Œπ·π΅) ∈ ℝ*)
144, 9, 6, 13syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Œπ·π΅) ∈ ℝ*)
15 metdcn.r . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
1615rphalfcld 12977 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑅 / 2) ∈ ℝ+)
1716rpred 12965 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑅 / 2) ∈ ℝ)
18 xmetcl 23707 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜β„*) ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ* ∧ (π‘Œπ·π΅) ∈ ℝ*) β†’ ((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π΅)) ∈ ℝ*)
193, 8, 14, 18syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π΅)) ∈ ℝ*)
2016rpxrd 12966 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑅 / 2) ∈ ℝ*)
21 xmetcl 23707 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) β†’ (π΄π·π‘Œ) ∈ ℝ*)
224, 5, 9, 21syl3anc 1372 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π΄π·π‘Œ) ∈ ℝ*)
231xmetrtri2 23732 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π΅)) ≀ (π΄π·π‘Œ))
244, 5, 9, 6, 23syl13anc 1373 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π΅)) ≀ (π΄π·π‘Œ))
25 metdcn.4 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π΄π·π‘Œ) < (𝑅 / 2))
2619, 22, 20, 24, 25xrlelttrd 13088 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π΅)) < (𝑅 / 2))
2719, 20, 26xrltled 13078 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π΅)) ≀ (𝑅 / 2))
28 xmetlecl 23722 . . . . 5 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜β„*) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ* ∧ (π‘Œπ·π΅) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑅 / 2) ∈ ℝ ∧ ((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π΅)) ≀ (𝑅 / 2))) β†’ ((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π΅)) ∈ ℝ)
293, 8, 14, 17, 27, 28syl122anc 1380 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π΅)) ∈ ℝ)
30 xmetcl 23707 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜β„*) ∧ (π‘Œπ·π΅) ∈ ℝ* ∧ (π‘Œπ·π‘) ∈ ℝ*) β†’ ((π‘Œπ·π΅)𝐢(π‘Œπ·π‘)) ∈ ℝ*)
313, 14, 12, 30syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘Œπ·π΅)𝐢(π‘Œπ·π‘)) ∈ ℝ*)
32 xmetcl 23707 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝐷𝑍) ∈ ℝ*)
334, 6, 10, 32syl3anc 1372 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐡𝐷𝑍) ∈ ℝ*)
34 xmetsym 23723 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘Œπ·π΅) = (π΅π·π‘Œ))
354, 9, 6, 34syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘Œπ·π΅) = (π΅π·π‘Œ))
36 xmetsym 23723 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) β†’ (π‘Œπ·π‘) = (π‘π·π‘Œ))
374, 9, 10, 36syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘Œπ·π‘) = (π‘π·π‘Œ))
3835, 37oveq12d 7379 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘Œπ·π΅)𝐢(π‘Œπ·π‘)) = ((π΅π·π‘Œ)𝐢(π‘π·π‘Œ)))
391xmetrtri2 23732 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋 ∧ π‘Œ ∈ 𝑋)) β†’ ((π΅π·π‘Œ)𝐢(π‘π·π‘Œ)) ≀ (𝐡𝐷𝑍))
404, 6, 10, 9, 39syl13anc 1373 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π΅π·π‘Œ)𝐢(π‘π·π‘Œ)) ≀ (𝐡𝐷𝑍))
4138, 40eqbrtrd 5131 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘Œπ·π΅)𝐢(π‘Œπ·π‘)) ≀ (𝐡𝐷𝑍))
42 metdcn.5 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐡𝐷𝑍) < (𝑅 / 2))
4331, 33, 20, 41, 42xrlelttrd 13088 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘Œπ·π΅)𝐢(π‘Œπ·π‘)) < (𝑅 / 2))
4431, 20, 43xrltled 13078 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘Œπ·π΅)𝐢(π‘Œπ·π‘)) ≀ (𝑅 / 2))
45 xmetlecl 23722 . . . . 5 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜β„*) ∧ ((π‘Œπ·π΅) ∈ ℝ* ∧ (π‘Œπ·π‘) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑅 / 2) ∈ ℝ ∧ ((π‘Œπ·π΅)𝐢(π‘Œπ·π‘)) ≀ (𝑅 / 2))) β†’ ((π‘Œπ·π΅)𝐢(π‘Œπ·π‘)) ∈ ℝ)
463, 14, 12, 17, 44, 45syl122anc 1380 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘Œπ·π΅)𝐢(π‘Œπ·π‘)) ∈ ℝ)
4729, 46readdcld 11192 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π΅)) + ((π‘Œπ·π΅)𝐢(π‘Œπ·π‘))) ∈ ℝ)
48 xmettri 23727 . . . . 5 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜β„*) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ* ∧ (π‘Œπ·π‘) ∈ ℝ* ∧ (π‘Œπ·π΅) ∈ ℝ*)) β†’ ((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π‘)) ≀ (((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π΅)) +𝑒 ((π‘Œπ·π΅)𝐢(π‘Œπ·π‘))))
493, 8, 12, 14, 48syl13anc 1373 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π‘)) ≀ (((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π΅)) +𝑒 ((π‘Œπ·π΅)𝐢(π‘Œπ·π‘))))
5029, 46rexaddd 13162 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π΅)) +𝑒 ((π‘Œπ·π΅)𝐢(π‘Œπ·π‘))) = (((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π΅)) + ((π‘Œπ·π΅)𝐢(π‘Œπ·π‘))))
5149, 50breqtrd 5135 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π‘)) ≀ (((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π΅)) + ((π‘Œπ·π΅)𝐢(π‘Œπ·π‘))))
52 xmetlecl 23722 . . 3 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜β„*) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ* ∧ (π‘Œπ·π‘) ∈ ℝ*) ∧ ((((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π΅)) + ((π‘Œπ·π΅)𝐢(π‘Œπ·π‘))) ∈ ℝ ∧ ((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π‘)) ≀ (((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π΅)) + ((π‘Œπ·π΅)𝐢(π‘Œπ·π‘))))) β†’ ((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π‘)) ∈ ℝ)
533, 8, 12, 47, 51, 52syl122anc 1380 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π‘)) ∈ ℝ)
5415rpred 12965 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
5529, 46, 54, 26, 43lt2halvesd 12409 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π΅)) + ((π‘Œπ·π΅)𝐢(π‘Œπ·π‘))) < 𝑅)
5653, 47, 54, 51, 55lelttrd 11321 1 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π‘)) < 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5109  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„cr 11058   + caddc 11062  β„*cxr 11196   < clt 11197   ≀ cle 11198   / cdiv 11820  2c2 12216  β„+crp 12923   +𝑒 cxad 13039  distcds 17150  β„*𝑠cxrs 17390  βˆžMetcxmet 20804  MetOpencmopn 20809
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-icc 13280  df-fz 13434  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-struct 17027  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-xrs 17392  df-xmet 20812
This theorem is referenced by:  xmetdcn2  24223
  Copyright terms: Public domain W3C validator