Theorem metdcnlem 24776

Description: The metric function of a metric space is always continuous in the topology generated by it. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xmetdcn2.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
xmetdcn2.2	⊢ 𝐶 = (dist‘ℝ*𝑠)
xmetdcn2.3	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐶)
metdcn.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
metdcn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
metdcn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑋)
metdcn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
metdcn.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
metdcn.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑋)
metdcn.4	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝑌) < (𝑅 / 2))
metdcn.5	⊢ (𝜑 → (𝐵𝐷𝑍) < (𝑅 / 2))

Assertion

Ref	Expression
metdcnlem	⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) < 𝑅)

Proof of Theorem metdcnlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetdcn2.2	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (dist‘ℝ*𝑠)
2	1	xrsxmet 24749	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*)
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*))
4		metdcn.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5		metdcn.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
6		metdcn.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑋)
7		xmetcl 24270	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
8	4, 5, 6, 7	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
9		metdcn.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
10		metdcn.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑋)
11		xmetcl 24270	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) → (𝑌𝐷𝑍) ∈ ℝ*)
12	4, 9, 10, 11	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐷𝑍) ∈ ℝ*)
13		xmetcl 24270	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
14	4, 9, 6, 13	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
15		metdcn.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
16	15	rphalfcld 13063	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ+)
17	16	rpred 13051	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ)
18		xmetcl 24270	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ∈ ℝ*)
19	3, 8, 14, 18	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ∈ ℝ*)
20	16	rpxrd 13052	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ*)
21		xmetcl 24270	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝑌) ∈ ℝ*)
22	4, 5, 9, 21	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝑌) ∈ ℝ*)
23	1	xmetrtri2 24295	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ≤ (𝐴𝐷𝑌))
24	4, 5, 9, 6, 23	syl13anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ≤ (𝐴𝐷𝑌))
25		metdcn.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝑌) < (𝑅 / 2))
26	19, 22, 20, 24, 25	xrlelttrd 13176	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) < (𝑅 / 2))
27	19, 20, 26	xrltled 13166	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ≤ (𝑅 / 2))
28		xmetlecl 24285	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑅 / 2) ∈ ℝ ∧ ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ≤ (𝑅 / 2))) → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ∈ ℝ)
29	3, 8, 14, 17, 27, 28	syl122anc 1381	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ∈ ℝ)
30		xmetcl 24270	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ (𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝑍) ∈ ℝ*) → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ∈ ℝ*)
31	3, 14, 12, 30	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ∈ ℝ*)
32		xmetcl 24270	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) → (𝐵𝐷𝑍) ∈ ℝ*)
33	4, 6, 10, 32	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐷𝑍) ∈ ℝ*)
34		xmetsym 24286	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑌𝐷𝐵) = (𝐵𝐷𝑌))
35	4, 9, 6, 34	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐷𝐵) = (𝐵𝐷𝑌))
36		xmetsym 24286	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) → (𝑌𝐷𝑍) = (𝑍𝐷𝑌))
37	4, 9, 10, 36	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐷𝑍) = (𝑍𝐷𝑌))
38	35, 37	oveq12d 7423	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) = ((𝐵𝐷𝑌)𝐶(𝑍𝐷𝑌)))
39	1	xmetrtri2 24295	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋 ∧ 𝑌 ∈ 𝑋)) → ((𝐵𝐷𝑌)𝐶(𝑍𝐷𝑌)) ≤ (𝐵𝐷𝑍))
40	4, 6, 10, 9, 39	syl13anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵𝐷𝑌)𝐶(𝑍𝐷𝑌)) ≤ (𝐵𝐷𝑍))
41	38, 40	eqbrtrd 5141	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (𝐵𝐷𝑍))
42		metdcn.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐷𝑍) < (𝑅 / 2))
43	31, 33, 20, 41, 42	xrlelttrd 13176	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) < (𝑅 / 2))
44	31, 20, 43	xrltled 13166	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (𝑅 / 2))
45		xmetlecl 24285	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ ((𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝑍) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑅 / 2) ∈ ℝ ∧ ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (𝑅 / 2))) → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ∈ ℝ)
46	3, 14, 12, 17, 44, 45	syl122anc 1381	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ∈ ℝ)
47	29, 46	readdcld 11264	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) + ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))) ∈ ℝ)
48		xmettri 24290	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝑍) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ*)) → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) +𝑒 ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))))
49	3, 8, 12, 14, 48	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) +𝑒 ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))))
50	29, 46	rexaddd 13250	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) +𝑒 ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))) = (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) + ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))))
51	49, 50	breqtrd 5145	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) + ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))))
52		xmetlecl 24285	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝑍) ∈ ℝ*) ∧ ((((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) + ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))) ∈ ℝ ∧ ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) + ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))))) → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ∈ ℝ)
53	3, 8, 12, 47, 51, 52	syl122anc 1381	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ∈ ℝ)
54	15	rpred 13051	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
55	29, 46, 54, 26, 43	lt2halvesd 12489	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) + ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))) < 𝑅)
56	53, 47, 54, 51, 55	lelttrd 11393	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) < 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℝcr 11128   + caddc 11132  ℝ^*cxr 11268   < clt 11269   ≤ cle 11270   / cdiv 11894  2c2 12295  ℝ⁺crp 13008   +_𝑒 cxad 13126  distcds 17280  ℝ^*_𝑠cxrs 17514  ∞Metcxmet 21300  MetOpencmopn 21305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-rp 13009  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-icc 13369  df-fz 13525  df-seq 14020  df-exp 14080  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-struct 17166  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-xrs 17516  df-xmet 21308

This theorem is referenced by:  xmetdcn2  24777