Theorem metdcnlem 24793

Description: The metric function of a metric space is always continuous in the topology generated by it. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xmetdcn2.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
xmetdcn2.2	⊢ 𝐶 = (dist‘ℝ*𝑠)
xmetdcn2.3	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐶)
metdcn.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
metdcn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
metdcn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑋)
metdcn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
metdcn.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
metdcn.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑋)
metdcn.4	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝑌) < (𝑅 / 2))
metdcn.5	⊢ (𝜑 → (𝐵𝐷𝑍) < (𝑅 / 2))

Assertion

Ref	Expression
metdcnlem	⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) < 𝑅)

Proof of Theorem metdcnlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetdcn2.2	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (dist‘ℝ*𝑠)
2	1	xrsxmet 24766	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*)
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*))
4		metdcn.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5		metdcn.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
6		metdcn.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑋)
7		xmetcl 24287	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
8	4, 5, 6, 7	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
9		metdcn.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
10		metdcn.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑋)
11		xmetcl 24287	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) → (𝑌𝐷𝑍) ∈ ℝ*)
12	4, 9, 10, 11	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐷𝑍) ∈ ℝ*)
13		xmetcl 24287	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
14	4, 9, 6, 13	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
15		metdcn.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
16	15	rphalfcld 12973	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ+)
17	16	rpred 12961	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ)
18		xmetcl 24287	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ∈ ℝ*)
19	3, 8, 14, 18	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ∈ ℝ*)
20	16	rpxrd 12962	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ*)
21		xmetcl 24287	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝑌) ∈ ℝ*)
22	4, 5, 9, 21	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝑌) ∈ ℝ*)
23	1	xmetrtri2 24312	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ≤ (𝐴𝐷𝑌))
24	4, 5, 9, 6, 23	syl13anc 1375	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ≤ (𝐴𝐷𝑌))
25		metdcn.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝑌) < (𝑅 / 2))
26	19, 22, 20, 24, 25	xrlelttrd 13086	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) < (𝑅 / 2))
27	19, 20, 26	xrltled 13076	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ≤ (𝑅 / 2))
28		xmetlecl 24302	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑅 / 2) ∈ ℝ ∧ ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ≤ (𝑅 / 2))) → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ∈ ℝ)
29	3, 8, 14, 17, 27, 28	syl122anc 1382	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ∈ ℝ)
30		xmetcl 24287	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ (𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝑍) ∈ ℝ*) → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ∈ ℝ*)
31	3, 14, 12, 30	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ∈ ℝ*)
32		xmetcl 24287	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) → (𝐵𝐷𝑍) ∈ ℝ*)
33	4, 6, 10, 32	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐷𝑍) ∈ ℝ*)
34		xmetsym 24303	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑌𝐷𝐵) = (𝐵𝐷𝑌))
35	4, 9, 6, 34	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐷𝐵) = (𝐵𝐷𝑌))
36		xmetsym 24303	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) → (𝑌𝐷𝑍) = (𝑍𝐷𝑌))
37	4, 9, 10, 36	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐷𝑍) = (𝑍𝐷𝑌))
38	35, 37	oveq12d 7386	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) = ((𝐵𝐷𝑌)𝐶(𝑍𝐷𝑌)))
39	1	xmetrtri2 24312	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋 ∧ 𝑌 ∈ 𝑋)) → ((𝐵𝐷𝑌)𝐶(𝑍𝐷𝑌)) ≤ (𝐵𝐷𝑍))
40	4, 6, 10, 9, 39	syl13anc 1375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵𝐷𝑌)𝐶(𝑍𝐷𝑌)) ≤ (𝐵𝐷𝑍))
41	38, 40	eqbrtrd 5122	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (𝐵𝐷𝑍))
42		metdcn.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐷𝑍) < (𝑅 / 2))
43	31, 33, 20, 41, 42	xrlelttrd 13086	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) < (𝑅 / 2))
44	31, 20, 43	xrltled 13076	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (𝑅 / 2))
45		xmetlecl 24302	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ ((𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝑍) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑅 / 2) ∈ ℝ ∧ ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (𝑅 / 2))) → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ∈ ℝ)
46	3, 14, 12, 17, 44, 45	syl122anc 1382	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ∈ ℝ)
47	29, 46	readdcld 11173	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) + ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))) ∈ ℝ)
48		xmettri 24307	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝑍) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ*)) → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) +𝑒 ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))))
49	3, 8, 12, 14, 48	syl13anc 1375	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) +𝑒 ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))))
50	29, 46	rexaddd 13161	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) +𝑒 ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))) = (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) + ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))))
51	49, 50	breqtrd 5126	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) + ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))))
52		xmetlecl 24302	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝑍) ∈ ℝ*) ∧ ((((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) + ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))) ∈ ℝ ∧ ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) + ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))))) → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ∈ ℝ)
53	3, 8, 12, 47, 51, 52	syl122anc 1382	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ∈ ℝ)
54	15	rpred 12961	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
55	29, 46, 54, 26, 43	lt2halvesd 12401	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) + ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))) < 𝑅)
56	53, 47, 54, 51, 55	lelttrd 11303	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) < 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℝcr 11037   + caddc 11041  ℝ^*cxr 11177   < clt 11178   ≤ cle 11179   / cdiv 11806  2c2 12212  ℝ⁺crp 12917   +_𝑒 cxad 13036  distcds 17198  ℝ^*_𝑠cxrs 17433  ∞Metcxmet 21306  MetOpencmopn 21311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-icc 13280  df-fz 13436  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-struct 17086  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-xrs 17435  df-xmet 21314

This theorem is referenced by:  xmetdcn2  24794