MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdcnlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metdcnlem 24352
Description: The metric function of a metric space is always continuous in the topology generated by it. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xmetdcn2.1 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
xmetdcn2.2 𝐢 = (distβ€˜β„*𝑠)
xmetdcn2.3 𝐾 = (MetOpenβ€˜πΆ)
metdcn.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
metdcn.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
metdcn.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
metdcn.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
metdcn.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
metdcn.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑋)
metdcn.4 (πœ‘ β†’ (π΄π·π‘Œ) < (𝑅 / 2))
metdcn.5 (πœ‘ β†’ (𝐡𝐷𝑍) < (𝑅 / 2))
Assertion
Ref Expression
metdcnlem (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π‘)) < 𝑅)

Proof of Theorem metdcnlem
StepHypRef Expression
1 xmetdcn2.2 . . . . 5 𝐢 = (distβ€˜β„*𝑠)
21xrsxmet 24325 . . . 4 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜β„*)
32a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜β„*))
4 metdcn.d . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
5 metdcn.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
6 metdcn.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
7 xmetcl 23837 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ*)
84, 5, 6, 7syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ*)
9 metdcn.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
10 metdcn.z . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑋)
11 xmetcl 23837 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) β†’ (π‘Œπ·π‘) ∈ ℝ*)
124, 9, 10, 11syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Œπ·π‘) ∈ ℝ*)
13 xmetcl 23837 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘Œπ·π΅) ∈ ℝ*)
144, 9, 6, 13syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Œπ·π΅) ∈ ℝ*)
15 metdcn.r . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
1615rphalfcld 13028 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑅 / 2) ∈ ℝ+)
1716rpred 13016 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑅 / 2) ∈ ℝ)
18 xmetcl 23837 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜β„*) ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ* ∧ (π‘Œπ·π΅) ∈ ℝ*) β†’ ((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π΅)) ∈ ℝ*)
193, 8, 14, 18syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π΅)) ∈ ℝ*)
2016rpxrd 13017 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑅 / 2) ∈ ℝ*)
21 xmetcl 23837 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) β†’ (π΄π·π‘Œ) ∈ ℝ*)
224, 5, 9, 21syl3anc 1372 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π΄π·π‘Œ) ∈ ℝ*)
231xmetrtri2 23862 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π΅)) ≀ (π΄π·π‘Œ))
244, 5, 9, 6, 23syl13anc 1373 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π΅)) ≀ (π΄π·π‘Œ))
25 metdcn.4 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π΄π·π‘Œ) < (𝑅 / 2))
2619, 22, 20, 24, 25xrlelttrd 13139 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π΅)) < (𝑅 / 2))
2719, 20, 26xrltled 13129 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π΅)) ≀ (𝑅 / 2))
28 xmetlecl 23852 . . . . 5 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜β„*) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ* ∧ (π‘Œπ·π΅) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑅 / 2) ∈ ℝ ∧ ((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π΅)) ≀ (𝑅 / 2))) β†’ ((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π΅)) ∈ ℝ)
293, 8, 14, 17, 27, 28syl122anc 1380 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π΅)) ∈ ℝ)
30 xmetcl 23837 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜β„*) ∧ (π‘Œπ·π΅) ∈ ℝ* ∧ (π‘Œπ·π‘) ∈ ℝ*) β†’ ((π‘Œπ·π΅)𝐢(π‘Œπ·π‘)) ∈ ℝ*)
313, 14, 12, 30syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘Œπ·π΅)𝐢(π‘Œπ·π‘)) ∈ ℝ*)
32 xmetcl 23837 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝐷𝑍) ∈ ℝ*)
334, 6, 10, 32syl3anc 1372 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐡𝐷𝑍) ∈ ℝ*)
34 xmetsym 23853 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘Œπ·π΅) = (π΅π·π‘Œ))
354, 9, 6, 34syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘Œπ·π΅) = (π΅π·π‘Œ))
36 xmetsym 23853 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) β†’ (π‘Œπ·π‘) = (π‘π·π‘Œ))
374, 9, 10, 36syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘Œπ·π‘) = (π‘π·π‘Œ))
3835, 37oveq12d 7427 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘Œπ·π΅)𝐢(π‘Œπ·π‘)) = ((π΅π·π‘Œ)𝐢(π‘π·π‘Œ)))
391xmetrtri2 23862 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋 ∧ π‘Œ ∈ 𝑋)) β†’ ((π΅π·π‘Œ)𝐢(π‘π·π‘Œ)) ≀ (𝐡𝐷𝑍))
404, 6, 10, 9, 39syl13anc 1373 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π΅π·π‘Œ)𝐢(π‘π·π‘Œ)) ≀ (𝐡𝐷𝑍))
4138, 40eqbrtrd 5171 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘Œπ·π΅)𝐢(π‘Œπ·π‘)) ≀ (𝐡𝐷𝑍))
42 metdcn.5 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐡𝐷𝑍) < (𝑅 / 2))
4331, 33, 20, 41, 42xrlelttrd 13139 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘Œπ·π΅)𝐢(π‘Œπ·π‘)) < (𝑅 / 2))
4431, 20, 43xrltled 13129 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘Œπ·π΅)𝐢(π‘Œπ·π‘)) ≀ (𝑅 / 2))
45 xmetlecl 23852 . . . . 5 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜β„*) ∧ ((π‘Œπ·π΅) ∈ ℝ* ∧ (π‘Œπ·π‘) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑅 / 2) ∈ ℝ ∧ ((π‘Œπ·π΅)𝐢(π‘Œπ·π‘)) ≀ (𝑅 / 2))) β†’ ((π‘Œπ·π΅)𝐢(π‘Œπ·π‘)) ∈ ℝ)
463, 14, 12, 17, 44, 45syl122anc 1380 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘Œπ·π΅)𝐢(π‘Œπ·π‘)) ∈ ℝ)
4729, 46readdcld 11243 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π΅)) + ((π‘Œπ·π΅)𝐢(π‘Œπ·π‘))) ∈ ℝ)
48 xmettri 23857 . . . . 5 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜β„*) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ* ∧ (π‘Œπ·π‘) ∈ ℝ* ∧ (π‘Œπ·π΅) ∈ ℝ*)) β†’ ((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π‘)) ≀ (((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π΅)) +𝑒 ((π‘Œπ·π΅)𝐢(π‘Œπ·π‘))))
493, 8, 12, 14, 48syl13anc 1373 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π‘)) ≀ (((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π΅)) +𝑒 ((π‘Œπ·π΅)𝐢(π‘Œπ·π‘))))
5029, 46rexaddd 13213 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π΅)) +𝑒 ((π‘Œπ·π΅)𝐢(π‘Œπ·π‘))) = (((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π΅)) + ((π‘Œπ·π΅)𝐢(π‘Œπ·π‘))))
5149, 50breqtrd 5175 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π‘)) ≀ (((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π΅)) + ((π‘Œπ·π΅)𝐢(π‘Œπ·π‘))))
52 xmetlecl 23852 . . 3 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜β„*) ∧ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ* ∧ (π‘Œπ·π‘) ∈ ℝ*) ∧ ((((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π΅)) + ((π‘Œπ·π΅)𝐢(π‘Œπ·π‘))) ∈ ℝ ∧ ((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π‘)) ≀ (((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π΅)) + ((π‘Œπ·π΅)𝐢(π‘Œπ·π‘))))) β†’ ((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π‘)) ∈ ℝ)
533, 8, 12, 47, 51, 52syl122anc 1380 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π‘)) ∈ ℝ)
5415rpred 13016 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
5529, 46, 54, 26, 43lt2halvesd 12460 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π΅)) + ((π‘Œπ·π΅)𝐢(π‘Œπ·π‘))) < 𝑅)
5653, 47, 54, 51, 55lelttrd 11372 1 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝐡)𝐢(π‘Œπ·π‘)) < 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„cr 11109   + caddc 11113  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249   / cdiv 11871  2c2 12267  β„+crp 12974   +𝑒 cxad 13090  distcds 17206  β„*𝑠cxrs 17446  βˆžMetcxmet 20929  MetOpencmopn 20934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-icc 13331  df-fz 13485  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-xrs 17448  df-xmet 20937
This theorem is referenced by:  xmetdcn2  24353
  Copyright terms: Public domain W3C validator