Theorem metdcnlem 25156

Description: The metric function of a metric space is always continuous in the topology generated by it. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xmetdcn2.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
xmetdcn2.2	⊢ 𝐶 = (dist‘ℝ*𝑠)
xmetdcn2.3	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐶)
metdcn.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
metdcn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
metdcn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑋)
metdcn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
metdcn.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
metdcn.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑋)
metdcn.4	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝑌) < (𝑅 / 2))
metdcn.5	⊢ (𝜑 → (𝐵𝐷𝑍) < (𝑅 / 2))

Assertion

Ref	Expression
metdcnlem	⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) < 𝑅)

Proof of Theorem metdcnlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetdcn2.2	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (dist‘ℝ*𝑠)
2	1	xrsxmet 25129	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*)
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*))
4		metdcn.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5		metdcn.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
6		metdcn.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑋)
7		xmetcl 24650	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
8	4, 5, 6, 7	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
9		metdcn.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
10		metdcn.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑋)
11		xmetcl 24650	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) → (𝑌𝐷𝑍) ∈ ℝ*)
12	4, 9, 10, 11	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐷𝑍) ∈ ℝ*)
13		xmetcl 24650	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
14	4, 9, 6, 13	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
15		metdcn.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
16	15	rphalfcld 13176	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ+)
17	16	rpred 13164	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ)
18		xmetcl 24650	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ∈ ℝ*)
19	3, 8, 14, 18	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ∈ ℝ*)
20	16	rpxrd 13165	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ*)
21		xmetcl 24650	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝑌) ∈ ℝ*)
22	4, 5, 9, 21	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝑌) ∈ ℝ*)
23	1	xmetrtri2 24675	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ≤ (𝐴𝐷𝑌))
24	4, 5, 9, 6, 23	syl13anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ≤ (𝐴𝐷𝑌))
25		metdcn.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝑌) < (𝑅 / 2))
26	19, 22, 20, 24, 25	xrlelttrd 13289	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) < (𝑅 / 2))
27	19, 20, 26	xrltled 13279	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ≤ (𝑅 / 2))
28		xmetlecl 24665	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑅 / 2) ∈ ℝ ∧ ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ≤ (𝑅 / 2))) → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ∈ ℝ)
29	3, 8, 14, 17, 27, 28	syl122anc 1406	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ∈ ℝ)
30		xmetcl 24650	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ (𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝑍) ∈ ℝ*) → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ∈ ℝ*)
31	3, 14, 12, 30	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ∈ ℝ*)
32		xmetcl 24650	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) → (𝐵𝐷𝑍) ∈ ℝ*)
33	4, 6, 10, 32	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐷𝑍) ∈ ℝ*)
34		xmetsym 24666	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑌𝐷𝐵) = (𝐵𝐷𝑌))
35	4, 9, 6, 34	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐷𝐵) = (𝐵𝐷𝑌))
36		xmetsym 24666	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) → (𝑌𝐷𝑍) = (𝑍𝐷𝑌))
37	4, 9, 10, 36	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐷𝑍) = (𝑍𝐷𝑌))
38	35, 37	oveq12d 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) = ((𝐵𝐷𝑌)𝐶(𝑍𝐷𝑌)))
39	1	xmetrtri2 24675	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋 ∧ 𝑌 ∈ 𝑋)) → ((𝐵𝐷𝑌)𝐶(𝑍𝐷𝑌)) ≤ (𝐵𝐷𝑍))
40	4, 6, 10, 9, 39	syl13anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵𝐷𝑌)𝐶(𝑍𝐷𝑌)) ≤ (𝐵𝐷𝑍))
41	38, 40	eqbrtrd 5127	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (𝐵𝐷𝑍))
42		metdcn.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐷𝑍) < (𝑅 / 2))
43	31, 33, 20, 41, 42	xrlelttrd 13289	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) < (𝑅 / 2))
44	31, 20, 43	xrltled 13279	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (𝑅 / 2))
45		xmetlecl 24665	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ ((𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝑍) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑅 / 2) ∈ ℝ ∧ ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (𝑅 / 2))) → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ∈ ℝ)
46	3, 14, 12, 17, 44, 45	syl122anc 1406	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ∈ ℝ)
47	29, 46	readdcld 11338	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) + ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))) ∈ ℝ)
48		xmettri 24670	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝑍) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ*)) → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) +𝑒 ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))))
49	3, 8, 12, 14, 48	syl13anc 1399	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) +𝑒 ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))))
50	29, 46	rexaddd 13364	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) +𝑒 ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))) = (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) + ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))))
51	49, 50	breqtrd 5131	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) + ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))))
52		xmetlecl 24665	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝑍) ∈ ℝ*) ∧ ((((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) + ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))) ∈ ℝ ∧ ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) + ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))))) → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ∈ ℝ)
53	3, 8, 12, 47, 51, 52	syl122anc 1406	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ∈ ℝ)
54	15	rpred 13164	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
55	29, 46, 54, 26, 43	lt2halvesd 12594	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) + ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))) < 𝑅)
56	53, 47, 54, 51, 55	lelttrd 11468	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) < 𝑅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11199   + caddc 11203  ℝ^*cxr 11342   < clt 11343   ≤ cle 11344   / cdiv 11973  2c2 12397  ℝ⁺crp 13120   +_𝑒 cxad 13239  distcds 17437  ℝ^*_𝑠cxrs 17672  ∞Metcxmet 21663  MetOpencmopn 21668

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-icc 13483  df-fz 13640  df-seq 14145  df-exp 14205  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-struct 17325  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-xrs 17674  df-xmet 21671

This theorem is used by:  xmetdcn2  25157