Theorem metdcnlem 24781

Description: The metric function of a metric space is always continuous in the topology generated by it. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xmetdcn2.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
xmetdcn2.2	⊢ 𝐶 = (dist‘ℝ*𝑠)
xmetdcn2.3	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐶)
metdcn.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
metdcn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
metdcn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑋)
metdcn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
metdcn.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
metdcn.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑋)
metdcn.4	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝑌) < (𝑅 / 2))
metdcn.5	⊢ (𝜑 → (𝐵𝐷𝑍) < (𝑅 / 2))

Assertion

Ref	Expression
metdcnlem	⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) < 𝑅)

Proof of Theorem metdcnlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetdcn2.2	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (dist‘ℝ*𝑠)
2	1	xrsxmet 24754	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*)
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*))
4		metdcn.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5		metdcn.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
6		metdcn.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑋)
7		xmetcl 24275	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
8	4, 5, 6, 7	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
9		metdcn.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
10		metdcn.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑋)
11		xmetcl 24275	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) → (𝑌𝐷𝑍) ∈ ℝ*)
12	4, 9, 10, 11	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐷𝑍) ∈ ℝ*)
13		xmetcl 24275	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
14	4, 9, 6, 13	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
15		metdcn.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
16	15	rphalfcld 12961	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ+)
17	16	rpred 12949	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ)
18		xmetcl 24275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ∈ ℝ*)
19	3, 8, 14, 18	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ∈ ℝ*)
20	16	rpxrd 12950	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ*)
21		xmetcl 24275	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝑌) ∈ ℝ*)
22	4, 5, 9, 21	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝑌) ∈ ℝ*)
23	1	xmetrtri2 24300	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ≤ (𝐴𝐷𝑌))
24	4, 5, 9, 6, 23	syl13anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ≤ (𝐴𝐷𝑌))
25		metdcn.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝑌) < (𝑅 / 2))
26	19, 22, 20, 24, 25	xrlelttrd 13074	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) < (𝑅 / 2))
27	19, 20, 26	xrltled 13064	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ≤ (𝑅 / 2))
28		xmetlecl 24290	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑅 / 2) ∈ ℝ ∧ ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ≤ (𝑅 / 2))) → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ∈ ℝ)
29	3, 8, 14, 17, 27, 28	syl122anc 1381	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ∈ ℝ)
30		xmetcl 24275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ (𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝑍) ∈ ℝ*) → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ∈ ℝ*)
31	3, 14, 12, 30	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ∈ ℝ*)
32		xmetcl 24275	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) → (𝐵𝐷𝑍) ∈ ℝ*)
33	4, 6, 10, 32	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐷𝑍) ∈ ℝ*)
34		xmetsym 24291	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑌𝐷𝐵) = (𝐵𝐷𝑌))
35	4, 9, 6, 34	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐷𝐵) = (𝐵𝐷𝑌))
36		xmetsym 24291	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) → (𝑌𝐷𝑍) = (𝑍𝐷𝑌))
37	4, 9, 10, 36	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐷𝑍) = (𝑍𝐷𝑌))
38	35, 37	oveq12d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) = ((𝐵𝐷𝑌)𝐶(𝑍𝐷𝑌)))
39	1	xmetrtri2 24300	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋 ∧ 𝑌 ∈ 𝑋)) → ((𝐵𝐷𝑌)𝐶(𝑍𝐷𝑌)) ≤ (𝐵𝐷𝑍))
40	4, 6, 10, 9, 39	syl13anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵𝐷𝑌)𝐶(𝑍𝐷𝑌)) ≤ (𝐵𝐷𝑍))
41	38, 40	eqbrtrd 5120	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (𝐵𝐷𝑍))
42		metdcn.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐷𝑍) < (𝑅 / 2))
43	31, 33, 20, 41, 42	xrlelttrd 13074	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) < (𝑅 / 2))
44	31, 20, 43	xrltled 13064	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (𝑅 / 2))
45		xmetlecl 24290	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ ((𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝑍) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑅 / 2) ∈ ℝ ∧ ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (𝑅 / 2))) → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ∈ ℝ)
46	3, 14, 12, 17, 44, 45	syl122anc 1381	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ∈ ℝ)
47	29, 46	readdcld 11161	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) + ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))) ∈ ℝ)
48		xmettri 24295	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝑍) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ*)) → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) +𝑒 ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))))
49	3, 8, 12, 14, 48	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) +𝑒 ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))))
50	29, 46	rexaddd 13149	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) +𝑒 ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))) = (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) + ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))))
51	49, 50	breqtrd 5124	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) + ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))))
52		xmetlecl 24290	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝑍) ∈ ℝ*) ∧ ((((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) + ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))) ∈ ℝ ∧ ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) + ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))))) → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ∈ ℝ)
53	3, 8, 12, 47, 51, 52	syl122anc 1381	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ∈ ℝ)
54	15	rpred 12949	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
55	29, 46, 54, 26, 43	lt2halvesd 12389	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) + ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))) < 𝑅)
56	53, 47, 54, 51, 55	lelttrd 11291	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) < 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℝcr 11025   + caddc 11029  ℝ^*cxr 11165   < clt 11166   ≤ cle 11167   / cdiv 11794  2c2 12200  ℝ⁺crp 12905   +_𝑒 cxad 13024  distcds 17186  ℝ^*_𝑠cxrs 17421  ∞Metcxmet 21294  MetOpencmopn 21299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-rp 12906  df-xneg 13026  df-xadd 13027  df-xmul 13028  df-icc 13268  df-fz 13424  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-struct 17074  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-xrs 17423  df-xmet 21302

This theorem is referenced by:  xmetdcn2  24782