Theorem metdcnlem 24672

Description: The metric function of a metric space is always continuous in the topology generated by it. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xmetdcn2.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
xmetdcn2.2	⊢ 𝐶 = (dist‘ℝ*𝑠)
xmetdcn2.3	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐶)
metdcn.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
metdcn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
metdcn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑋)
metdcn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
metdcn.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
metdcn.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑋)
metdcn.4	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝑌) < (𝑅 / 2))
metdcn.5	⊢ (𝜑 → (𝐵𝐷𝑍) < (𝑅 / 2))

Assertion

Ref	Expression
metdcnlem	⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) < 𝑅)

Proof of Theorem metdcnlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetdcn2.2	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (dist‘ℝ*𝑠)
2	1	xrsxmet 24645	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*)
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*))
4		metdcn.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5		metdcn.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
6		metdcn.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑋)
7		xmetcl 24157	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
8	4, 5, 6, 7	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
9		metdcn.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
10		metdcn.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑋)
11		xmetcl 24157	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) → (𝑌𝐷𝑍) ∈ ℝ*)
12	4, 9, 10, 11	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐷𝑍) ∈ ℝ*)
13		xmetcl 24157	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
14	4, 9, 6, 13	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
15		metdcn.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
16	15	rphalfcld 13035	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ+)
17	16	rpred 13023	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ)
18		xmetcl 24157	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ∈ ℝ*)
19	3, 8, 14, 18	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ∈ ℝ*)
20	16	rpxrd 13024	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ*)
21		xmetcl 24157	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝑌) ∈ ℝ*)
22	4, 5, 9, 21	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝑌) ∈ ℝ*)
23	1	xmetrtri2 24182	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ≤ (𝐴𝐷𝑌))
24	4, 5, 9, 6, 23	syl13anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ≤ (𝐴𝐷𝑌))
25		metdcn.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝑌) < (𝑅 / 2))
26	19, 22, 20, 24, 25	xrlelttrd 13146	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) < (𝑅 / 2))
27	19, 20, 26	xrltled 13136	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ≤ (𝑅 / 2))
28		xmetlecl 24172	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑅 / 2) ∈ ℝ ∧ ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ≤ (𝑅 / 2))) → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ∈ ℝ)
29	3, 8, 14, 17, 27, 28	syl122anc 1378	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ∈ ℝ)
30		xmetcl 24157	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ (𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝑍) ∈ ℝ*) → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ∈ ℝ*)
31	3, 14, 12, 30	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ∈ ℝ*)
32		xmetcl 24157	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) → (𝐵𝐷𝑍) ∈ ℝ*)
33	4, 6, 10, 32	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐷𝑍) ∈ ℝ*)
34		xmetsym 24173	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑌𝐷𝐵) = (𝐵𝐷𝑌))
35	4, 9, 6, 34	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐷𝐵) = (𝐵𝐷𝑌))
36		xmetsym 24173	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) → (𝑌𝐷𝑍) = (𝑍𝐷𝑌))
37	4, 9, 10, 36	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐷𝑍) = (𝑍𝐷𝑌))
38	35, 37	oveq12d 7430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) = ((𝐵𝐷𝑌)𝐶(𝑍𝐷𝑌)))
39	1	xmetrtri2 24182	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋 ∧ 𝑌 ∈ 𝑋)) → ((𝐵𝐷𝑌)𝐶(𝑍𝐷𝑌)) ≤ (𝐵𝐷𝑍))
40	4, 6, 10, 9, 39	syl13anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵𝐷𝑌)𝐶(𝑍𝐷𝑌)) ≤ (𝐵𝐷𝑍))
41	38, 40	eqbrtrd 5170	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (𝐵𝐷𝑍))
42		metdcn.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐷𝑍) < (𝑅 / 2))
43	31, 33, 20, 41, 42	xrlelttrd 13146	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) < (𝑅 / 2))
44	31, 20, 43	xrltled 13136	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (𝑅 / 2))
45		xmetlecl 24172	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ ((𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝑍) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑅 / 2) ∈ ℝ ∧ ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (𝑅 / 2))) → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ∈ ℝ)
46	3, 14, 12, 17, 44, 45	syl122anc 1378	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ∈ ℝ)
47	29, 46	readdcld 11250	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) + ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))) ∈ ℝ)
48		xmettri 24177	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝑍) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ*)) → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) +𝑒 ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))))
49	3, 8, 12, 14, 48	syl13anc 1371	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) +𝑒 ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))))
50	29, 46	rexaddd 13220	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) +𝑒 ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))) = (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) + ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))))
51	49, 50	breqtrd 5174	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) + ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))))
52		xmetlecl 24172	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝑍) ∈ ℝ*) ∧ ((((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) + ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))) ∈ ℝ ∧ ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) + ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))))) → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ∈ ℝ)
53	3, 8, 12, 47, 51, 52	syl122anc 1378	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ∈ ℝ)
54	15	rpred 13023	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
55	29, 46, 54, 26, 43	lt2halvesd 12467	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) + ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))) < 𝑅)
56	53, 47, 54, 51, 55	lelttrd 11379	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) < 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℝcr 11115   + caddc 11119  ℝ^*cxr 11254   < clt 11255   ≤ cle 11256   / cdiv 11878  2c2 12274  ℝ⁺crp 12981   +_𝑒 cxad 13097  distcds 17213  ℝ^*_𝑠cxrs 17453  ∞Metcxmet 21218  MetOpencmopn 21223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-icc 13338  df-fz 13492  df-seq 13974  df-exp 14035  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-struct 17087  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-xrs 17455  df-xmet 21226

This theorem is referenced by:  xmetdcn2  24673