Theorem xmetrtri 22962

Description: One half of the reverse triangle inequality for the distance function of an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmetrtri	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶)) ≤ (𝐴𝐷𝐵))

Proof of Theorem xmetrtri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3ancomb 1096	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋))
2		xmettri 22958	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝐷𝐶) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐵𝐷𝐶)))
3	1, 2	sylan2b 596	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝐷𝐶) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐵𝐷𝐶)))
4		xmetcl 22938	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐶) ∈ ℝ*)
5	4	3adant3r2 1180	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝐷𝐶) ∈ ℝ*)
6		xmetcl 22938	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐵𝐷𝐶) ∈ ℝ*)
7	6	3adant3r1 1179	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵𝐷𝐶) ∈ ℝ*)
8		xmetcl 22938	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
9	8	3adant3r3 1181	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
10		xmetge0 22951	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐶))
11	10	3adant3r2 1180	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐶))
12		xmetge0 22951	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝐵𝐷𝐶))
13	12	3adant3r1 1179	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (𝐵𝐷𝐶))
14		ge0nemnf 12554	. . . 4 ⊢ (((𝐵𝐷𝐶) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐵𝐷𝐶)) → (𝐵𝐷𝐶) ≠ -∞)
15	7, 13, 14	syl2anc 587	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵𝐷𝐶) ≠ -∞)
16		xmetge0 22951	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))
17	16	3adant3r3 1181	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))
18		xlesubadd 12644	. . 3 ⊢ ((((𝐴𝐷𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝐷𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ (𝐴𝐷𝐶) ∧ (𝐵𝐷𝐶) ≠ -∞ ∧ 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))) → (((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶)) ≤ (𝐴𝐷𝐵) ↔ (𝐴𝐷𝐶) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐵𝐷𝐶))))
19	5, 7, 9, 11, 15, 17, 18	syl33anc 1382	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶)) ≤ (𝐴𝐷𝐵) ↔ (𝐴𝐷𝐶) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐵𝐷𝐶))))
20	3, 19	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶)) ≤ (𝐴𝐷𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  0cc0 10526  -∞cmnf 10662  ℝ^*cxr 10663   ≤ cle 10665  -_𝑒cxne 12492   +_𝑒 cxad 12493  ∞Metcxmet 20076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-2 11688  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-xmet 20084

This theorem is referenced by:  xmetrtri2  22963