MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmetrtri Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem xmetrtri 23787
Description: One half of the reverse triangle inequality for the distance function of an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmetrtri ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝐷𝐢) +𝑒 -𝑒(𝐡𝐷𝐢)) ≀ (𝐴𝐷𝐡))
Proof of Theorem xmetrtri
StepHypRef Expression
1 3ancomb 1099 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋))
2 xmettri 23783 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝐷𝐢) ≀ ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 (𝐡𝐷𝐢)))
31, 2sylan2b 594 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝐷𝐢) ≀ ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 (𝐡𝐷𝐢)))
4 xmetcl 23763 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐢) ∈ ℝ*)
543adant3r2 1183 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝐷𝐢) ∈ ℝ*)
6 xmetcl 23763 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝐷𝐢) ∈ ℝ*)
763adant3r1 1182 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐡𝐷𝐢) ∈ ℝ*)
8 xmetcl 23763 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ*)
983adant3r3 1184 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ*)
10 xmetge0 23776 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝐴𝐷𝐢))
11103adant3r2 1183 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ (𝐴𝐷𝐢))
12 xmetge0 23776 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝐡𝐷𝐢))
13123adant3r1 1182 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ (𝐡𝐷𝐢))
14 ge0nemnf 13133 . . . 4 (((𝐡𝐷𝐢) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (𝐡𝐷𝐢)) β†’ (𝐡𝐷𝐢) β‰  -∞)
157, 13, 14syl2anc 584 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐡𝐷𝐢) β‰  -∞)
16 xmetge0 23776 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝐴𝐷𝐡))
17163adant3r3 1184 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ (𝐴𝐷𝐡))
18 xlesubadd 13223 . . 3 ((((𝐴𝐷𝐢) ∈ ℝ* ∧ (𝐡𝐷𝐢) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ*) ∧ (0 ≀ (𝐴𝐷𝐢) ∧ (𝐡𝐷𝐢) β‰  -∞ ∧ 0 ≀ (𝐴𝐷𝐡))) β†’ (((𝐴𝐷𝐢) +𝑒 -𝑒(𝐡𝐷𝐢)) ≀ (𝐴𝐷𝐡) ↔ (𝐴𝐷𝐢) ≀ ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 (𝐡𝐷𝐢))))
195, 7, 9, 11, 15, 17, 18syl33anc 1385 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (((𝐴𝐷𝐢) +𝑒 -𝑒(𝐡𝐷𝐢)) ≀ (𝐴𝐷𝐡) ↔ (𝐴𝐷𝐢) ≀ ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 (𝐡𝐷𝐢))))
203, 19mpbird 256 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝐷𝐢) +𝑒 -𝑒(𝐡𝐷𝐢)) ≀ (𝐴𝐷𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2939   class class class wbr 5140  β€˜cfv 6531  (class class class)co 7392  0cc0 11091  -∞cmnf 11227  β„*cxr 11228   ≀ cle 11230  -𝑒cxne 13070   +𝑒 cxad 13071  βˆžMetcxmet 20860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5291  ax-nul 5298  ax-pow 5355  ax-pr 5419  ax-un 7707  ax-cnex 11147  ax-resscn 11148  ax-1cn 11149  ax-icn 11150  ax-addcl 11151  ax-addrcl 11152  ax-mulcl 11153  ax-mulrcl 11154  ax-mulcom 11155  ax-addass 11156  ax-mulass 11157  ax-distr 11158  ax-i2m1 11159  ax-1ne0 11160  ax-1rid 11161  ax-rnegex 11162  ax-rrecex 11163  ax-cnre 11164  ax-pre-lttri 11165  ax-pre-lttrn 11166  ax-pre-ltadd 11167  ax-pre-mulgt0 11168
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3474  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4991  df-br 5141  df-opab 5203  df-mpt 5224  df-id 5566  df-po 5580  df-so 5581  df-xp 5674  df-rel 5675  df-cnv 5676  df-co 5677  df-dm 5678  df-rn 5679  df-res 5680  df-ima 5681  df-iota 6483  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7348  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-1st 7956  df-2nd 7957  df-er 8685  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11231  df-mnf 11232  df-xr 11233  df-ltxr 11234  df-le 11235  df-sub 11427  df-neg 11428  df-div 11853  df-2 12256  df-rp 12956  df-xneg 13073  df-xadd 13074  df-xmul 13075  df-xmet 20868
This theorem is referenced by:  xmetrtri2  23788
  Copyright terms: Public domain W3C validator