Theorem xmetrtri 24365

Description: One half of the reverse triangle inequality for the distance function of an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmetrtri	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶)) ≤ (𝐴𝐷𝐵))

Proof of Theorem xmetrtri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3ancomb 1099	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋))
2		xmettri 24361	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝐷𝐶) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐵𝐷𝐶)))
3	1, 2	sylan2b 594	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝐷𝐶) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐵𝐷𝐶)))
4		xmetcl 24341	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐶) ∈ ℝ*)
5	4	3adant3r2 1184	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝐷𝐶) ∈ ℝ*)
6		xmetcl 24341	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐵𝐷𝐶) ∈ ℝ*)
7	6	3adant3r1 1183	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵𝐷𝐶) ∈ ℝ*)
8		xmetcl 24341	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
9	8	3adant3r3 1185	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
10		xmetge0 24354	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐶))
11	10	3adant3r2 1184	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐶))
12		xmetge0 24354	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝐵𝐷𝐶))
13	12	3adant3r1 1183	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (𝐵𝐷𝐶))
14		ge0nemnf 13215	. . . 4 ⊢ (((𝐵𝐷𝐶) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐵𝐷𝐶)) → (𝐵𝐷𝐶) ≠ -∞)
15	7, 13, 14	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵𝐷𝐶) ≠ -∞)
16		xmetge0 24354	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))
17	16	3adant3r3 1185	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))
18		xlesubadd 13305	. . 3 ⊢ ((((𝐴𝐷𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝐷𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ (𝐴𝐷𝐶) ∧ (𝐵𝐷𝐶) ≠ -∞ ∧ 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))) → (((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶)) ≤ (𝐴𝐷𝐵) ↔ (𝐴𝐷𝐶) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐵𝐷𝐶))))
19	5, 7, 9, 11, 15, 17, 18	syl33anc 1387	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶)) ≤ (𝐴𝐷𝐵) ↔ (𝐴𝐷𝐶) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐵𝐷𝐶))))
20	3, 19	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶)) ≤ (𝐴𝐷𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  -∞cmnf 11293  ℝ^*cxr 11294   ≤ cle 11296  -_𝑒cxne 13151   +_𝑒 cxad 13152  ∞Metcxmet 21349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-2 12329  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-xmet 21357

This theorem is referenced by:  xmetrtri2  24366