MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmetrtri Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem xmetrtri 24182
Description: One half of the reverse triangle inequality for the distance function of an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmetrtri ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝐷𝐢) +𝑒 -𝑒(𝐡𝐷𝐢)) ≀ (𝐴𝐷𝐡))
Proof of Theorem xmetrtri
StepHypRef Expression
1 3ancomb 1096 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋))
2 xmettri 24178 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝐷𝐢) ≀ ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 (𝐡𝐷𝐢)))
31, 2sylan2b 593 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝐷𝐢) ≀ ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 (𝐡𝐷𝐢)))
4 xmetcl 24158 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐢) ∈ ℝ*)
543adant3r2 1180 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝐷𝐢) ∈ ℝ*)
6 xmetcl 24158 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝐷𝐢) ∈ ℝ*)
763adant3r1 1179 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐡𝐷𝐢) ∈ ℝ*)
8 xmetcl 24158 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ*)
983adant3r3 1181 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ*)
10 xmetge0 24171 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝐴𝐷𝐢))
11103adant3r2 1180 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ (𝐴𝐷𝐢))
12 xmetge0 24171 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝐡𝐷𝐢))
13123adant3r1 1179 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ (𝐡𝐷𝐢))
14 ge0nemnf 13148 . . . 4 (((𝐡𝐷𝐢) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (𝐡𝐷𝐢)) β†’ (𝐡𝐷𝐢) β‰  -∞)
157, 13, 14syl2anc 583 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐡𝐷𝐢) β‰  -∞)
16 xmetge0 24171 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝐴𝐷𝐡))
17163adant3r3 1181 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ (𝐴𝐷𝐡))
18 xlesubadd 13238 . . 3 ((((𝐴𝐷𝐢) ∈ ℝ* ∧ (𝐡𝐷𝐢) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ*) ∧ (0 ≀ (𝐴𝐷𝐢) ∧ (𝐡𝐷𝐢) β‰  -∞ ∧ 0 ≀ (𝐴𝐷𝐡))) β†’ (((𝐴𝐷𝐢) +𝑒 -𝑒(𝐡𝐷𝐢)) ≀ (𝐴𝐷𝐡) ↔ (𝐴𝐷𝐢) ≀ ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 (𝐡𝐷𝐢))))
195, 7, 9, 11, 15, 17, 18syl33anc 1382 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (((𝐴𝐷𝐢) +𝑒 -𝑒(𝐡𝐷𝐢)) ≀ (𝐴𝐷𝐡) ↔ (𝐴𝐷𝐢) ≀ ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 (𝐡𝐷𝐢))))
203, 19mpbird 257 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝐷𝐢) +𝑒 -𝑒(𝐡𝐷𝐢)) ≀ (𝐴𝐷𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932   class class class wbr 5138  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  0cc0 11105  -∞cmnf 11242  β„*cxr 11243   ≀ cle 11245  -𝑒cxne 13085   +𝑒 cxad 13086  βˆžMetcxmet 21212
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-po 5578  df-so 5579  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-er 8698  df-map 8817  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-2 12271  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-xmet 21220
This theorem is referenced by:  xmetrtri2  24183
  Copyright terms: Public domain W3C validator