Theorem ncfin 6248

Description: The cardinality of a set is a natural iff the set is finite. (Contributed by SF, 19-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ncfin.1	⊢ A ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ncfin	⊢ ( Nc A ∈ Nn ↔ A ∈ Fin )

Proof of Theorem ncfin

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ncfin.1	. . . . 5 ⊢ A ∈ V
2	1	ncid 6124	. . . 4 ⊢ A ∈ Nc A
3		eleq2 2414	. . . . 5 ⊢ (n = Nc A → (A ∈ n ↔ A ∈ Nc A))
4	3	rspcev 2956	. . . 4 ⊢ (( Nc A ∈ Nn ∧ A ∈ Nc A) → ∃n ∈ Nn A ∈ n)
5	2, 4	mpan2 652	. . 3 ⊢ ( Nc A ∈ Nn → ∃n ∈ Nn A ∈ n)
6		eqcom 2355	. . . . . . . . 9 ⊢ ( Nc A = n ↔ n = Nc A)
7		nnnc 6147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (n ∈ Nn → n ∈ NC )
8		ncseqnc 6129	. . . . . . . . . 10 ⊢ (n ∈ NC → (n = Nc A ↔ A ∈ n))
9	7, 8	syl 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (n ∈ Nn → (n = Nc A ↔ A ∈ n))
10	6, 9	syl5bb 248	. . . . . . . 8 ⊢ (n ∈ Nn → ( Nc A = n ↔ A ∈ n))
11	10	biimpar 471	. . . . . . 7 ⊢ ((n ∈ Nn ∧ A ∈ n) → Nc A = n)
12	11	eleq1d 2419	. . . . . 6 ⊢ ((n ∈ Nn ∧ A ∈ n) → ( Nc A ∈ Nn ↔ n ∈ Nn ))
13	12	exbiri 605	. . . . 5 ⊢ (n ∈ Nn → (A ∈ n → (n ∈ Nn → Nc A ∈ Nn )))
14	13	pm2.43a 45	. . . 4 ⊢ (n ∈ Nn → (A ∈ n → Nc A ∈ Nn ))
15	14	rexlimiv 2733	. . 3 ⊢ (∃n ∈ Nn A ∈ n → Nc A ∈ Nn )
16	5, 15	impbii 180	. 2 ⊢ ( Nc A ∈ Nn ↔ ∃n ∈ Nn A ∈ n)
17		elfin 4421	. 2 ⊢ (A ∈ Fin ↔ ∃n ∈ Nn A ∈ n)
18	16, 17	bitr4i 243	1 ⊢ ( Nc A ∈ Nn ↔ A ∈ Fin )

Syntax hints:   ↔ wb 176   ∧ wa 358   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  ∃wrex 2616  Vcvv 2860   Nn cnnc 4374   Fin cfin 4377   NC cncs 6089   Nc cnc 6092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-1st 4724  df-swap 4725  df-sset 4726  df-co 4727  df-ima 4728  df-si 4729  df-id 4768  df-xp 4785  df-cnv 4786  df-rn 4787  df-dm 4788  df-res 4789  df-fun 4790  df-fn 4791  df-f 4792  df-f1 4793  df-fo 4794  df-f1o 4795  df-fv 4796  df-2nd 4798  df-txp 5737  df-ins2 5751  df-ins3 5753  df-image 5755  df-ins4 5757  df-si3 5759  df-funs 5761  df-fns 5763  df-trans 5900  df-sym 5909  df-er 5910  df-ec 5948  df-qs 5952  df-en 6030  df-ncs 6099  df-nc 6102

This theorem is referenced by: (None)