New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  spacis GIF version

Theorem spacis 6288
 Description: Induction scheme for the special set generator. (Contributed by SF, 13-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
spacis.1 {x φ} V
spacis.2 (x = M → (φψ))
spacis.3 (x = y → (φχ))
spacis.4 (x = (2cc y) → (φθ))
spacis.5 (x = N → (φτ))
spacis.6 (M NCψ)
spacis.7 (((M NC y ( SpacM)) ((yc 0c) NC χ)) → θ)
Assertion
Ref Expression
spacis ((M NC N ( SpacM)) → τ)
Distinct variable groups:   χ,x   x,M,y   x,N   φ,y   ψ,x   τ,x   θ,x   x,y
Allowed substitution hints:   φ(x)   ψ(y)   χ(y)   θ(y)   τ(y)   N(y)

Proof of Theorem spacis
StepHypRef Expression
1 id 19 . . . 4 (M NCM NC )
2 spacis.1 . . . . 5 {x φ} V
32a1i 10 . . . 4 (M NC → {x φ} V)
4 spacis.6 . . . . 5 (M NCψ)
5 spacis.2 . . . . . 6 (x = M → (φψ))
65elabg 2986 . . . . 5 (M NC → (M {x φ} ↔ ψ))
74, 6mpbird 223 . . . 4 (M NCM {x φ})
8 ancom 437 . . . . . . 7 ((y {x φ} (yc 0c) NC ) ↔ ((yc 0c) NC y {x φ}))
9 vex 2862 . . . . . . . . 9 y V
10 spacis.3 . . . . . . . . 9 (x = y → (φχ))
119, 10elab 2985 . . . . . . . 8 (y {x φ} ↔ χ)
1211anbi2i 675 . . . . . . 7 (((yc 0c) NC y {x φ}) ↔ ((yc 0c) NC χ))
138, 12bitri 240 . . . . . 6 ((y {x φ} (yc 0c) NC ) ↔ ((yc 0c) NC χ))
14 spacis.7 . . . . . . . 8 (((M NC y ( SpacM)) ((yc 0c) NC χ)) → θ)
15 ovex 5551 . . . . . . . . 9 (2cc y) V
16 spacis.4 . . . . . . . . 9 (x = (2cc y) → (φθ))
1715, 16elab 2985 . . . . . . . 8 ((2cc y) {x φ} ↔ θ)
1814, 17sylibr 203 . . . . . . 7 (((M NC y ( SpacM)) ((yc 0c) NC χ)) → (2cc y) {x φ})
1918ex 423 . . . . . 6 ((M NC y ( SpacM)) → (((yc 0c) NC χ) → (2cc y) {x φ}))
2013, 19syl5bi 208 . . . . 5 ((M NC y ( SpacM)) → ((y {x φ} (yc 0c) NC ) → (2cc y) {x φ}))
2120ralrimiva 2697 . . . 4 (M NCy ( SpacM)((y {x φ} (yc 0c) NC ) → (2cc y) {x φ}))
22 spacind 6287 . . . 4 (((M NC {x φ} V) (M {x φ} y ( SpacM)((y {x φ} (yc 0c) NC ) → (2cc y) {x φ}))) → ( SpacM) {x φ})
231, 3, 7, 21, 22syl22anc 1183 . . 3 (M NC → ( SpacM) {x φ})
2423sselda 3273 . 2 ((M NC N ( SpacM)) → N {x φ})
25 spacis.5 . . . 4 (x = N → (φτ))
2625elabg 2986 . . 3 (N ( SpacM) → (N {x φ} ↔ τ))
2726adantl 452 . 2 ((M NC N ( SpacM)) → (N {x φ} ↔ τ))
2824, 27mpbid 201 1 ((M NC N ( SpacM)) → τ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  {cab 2339  ∀wral 2614  Vcvv 2859   ⊆ wss 3257  0cc0c 4374   ‘cfv 4781  (class class class)co 5525   NC cncs 6088  2cc2c 6094   ↑c cce 6096   Spac cspac 6273 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-si 4728  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-f1 4792  df-fo 4793  df-f1o 4794  df-fv 4795  df-2nd 4797  df-ov 5526  df-oprab 5528  df-mpt 5652  df-mpt2 5654  df-txp 5736  df-fix 5740  df-compose 5748  df-ins2 5750  df-ins3 5752  df-image 5754  df-ins4 5756  df-si3 5758  df-funs 5760  df-fns 5762  df-pw1fn 5766  df-fullfun 5768  df-clos1 5873  df-trans 5899  df-sym 5908  df-er 5909  df-ec 5947  df-qs 5951  df-map 6001  df-en 6029  df-ncs 6098  df-nc 6101  df-2c 6104  df-ce 6106  df-spac 6274 This theorem is referenced by:  nchoicelem4  6292
 Copyright terms: Public domain W3C validator