Theorem spacis 6289

Description: Induction scheme for the special set generator. (Contributed by SF, 13-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
spacis.1	⊢ {x ∣ φ} ∈ V
spacis.2	⊢ (x = M → (φ ↔ ψ))
spacis.3	⊢ (x = y → (φ ↔ χ))
spacis.4	⊢ (x = (2c ↑c y) → (φ ↔ θ))
spacis.5	⊢ (x = N → (φ ↔ τ))
spacis.6	⊢ (M ∈ NC → ψ)
spacis.7	⊢ (((M ∈ NC ∧ y ∈ ( Spac ‘M)) ∧ ((y ↑c 0c) ∈ NC ∧ χ)) → θ)

Assertion

Ref	Expression
spacis	⊢ ((M ∈ NC ∧ N ∈ ( Spac ‘M)) → τ)

Distinct variable groups:   χ,x   x,M,y   x,N   φ,y   ψ,x   τ,x   θ,x   x,y

Allowed substitution hints:   φ(x)   ψ(y)   χ(y)   θ(y)   τ(y)   N(y)

Proof of Theorem spacis

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . 4 ⊢ (M ∈ NC → M ∈ NC )
2		spacis.1	. . . . 5 ⊢ {x ∣ φ} ∈ V
3	2	a1i 10	. . . 4 ⊢ (M ∈ NC → {x ∣ φ} ∈ V)
4		spacis.6	. . . . 5 ⊢ (M ∈ NC → ψ)
5		spacis.2	. . . . . 6 ⊢ (x = M → (φ ↔ ψ))
6	5	elabg 2987	. . . . 5 ⊢ (M ∈ NC → (M ∈ {x ∣ φ} ↔ ψ))
7	4, 6	mpbird 223	. . . 4 ⊢ (M ∈ NC → M ∈ {x ∣ φ})
8		ancom 437	. . . . . . 7 ⊢ ((y ∈ {x ∣ φ} ∧ (y ↑c 0c) ∈ NC ) ↔ ((y ↑c 0c) ∈ NC ∧ y ∈ {x ∣ φ}))
9		vex 2863	. . . . . . . . 9 ⊢ y ∈ V
10		spacis.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = y → (φ ↔ χ))
11	9, 10	elab 2986	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ {x ∣ φ} ↔ χ)
12	11	anbi2i 675	. . . . . . 7 ⊢ (((y ↑c 0c) ∈ NC ∧ y ∈ {x ∣ φ}) ↔ ((y ↑c 0c) ∈ NC ∧ χ))
13	8, 12	bitri 240	. . . . . 6 ⊢ ((y ∈ {x ∣ φ} ∧ (y ↑c 0c) ∈ NC ) ↔ ((y ↑c 0c) ∈ NC ∧ χ))
14		spacis.7	. . . . . . . 8 ⊢ (((M ∈ NC ∧ y ∈ ( Spac ‘M)) ∧ ((y ↑c 0c) ∈ NC ∧ χ)) → θ)
15		ovex 5552	. . . . . . . . 9 ⊢ (2c ↑c y) ∈ V
16		spacis.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = (2c ↑c y) → (φ ↔ θ))
17	15, 16	elab 2986	. . . . . . . 8 ⊢ ((2c ↑c y) ∈ {x ∣ φ} ↔ θ)
18	14, 17	sylibr 203	. . . . . . 7 ⊢ (((M ∈ NC ∧ y ∈ ( Spac ‘M)) ∧ ((y ↑c 0c) ∈ NC ∧ χ)) → (2c ↑c y) ∈ {x ∣ φ})
19	18	ex 423	. . . . . 6 ⊢ ((M ∈ NC ∧ y ∈ ( Spac ‘M)) → (((y ↑c 0c) ∈ NC ∧ χ) → (2c ↑c y) ∈ {x ∣ φ}))
20	13, 19	syl5bi 208	. . . . 5 ⊢ ((M ∈ NC ∧ y ∈ ( Spac ‘M)) → ((y ∈ {x ∣ φ} ∧ (y ↑c 0c) ∈ NC ) → (2c ↑c y) ∈ {x ∣ φ}))
21	20	ralrimiva 2698	. . . 4 ⊢ (M ∈ NC → ∀y ∈ ( Spac ‘M)((y ∈ {x ∣ φ} ∧ (y ↑c 0c) ∈ NC ) → (2c ↑c y) ∈ {x ∣ φ}))
22		spacind 6288	. . . 4 ⊢ (((M ∈ NC ∧ {x ∣ φ} ∈ V) ∧ (M ∈ {x ∣ φ} ∧ ∀y ∈ ( Spac ‘M)((y ∈ {x ∣ φ} ∧ (y ↑c 0c) ∈ NC ) → (2c ↑c y) ∈ {x ∣ φ}))) → ( Spac ‘M) ⊆ {x ∣ φ})
23	1, 3, 7, 21, 22	syl22anc 1183	. . 3 ⊢ (M ∈ NC → ( Spac ‘M) ⊆ {x ∣ φ})
24	23	sselda 3274	. 2 ⊢ ((M ∈ NC ∧ N ∈ ( Spac ‘M)) → N ∈ {x ∣ φ})
25		spacis.5	. . . 4 ⊢ (x = N → (φ ↔ τ))
26	25	elabg 2987	. . 3 ⊢ (N ∈ ( Spac ‘M) → (N ∈ {x ∣ φ} ↔ τ))
27	26	adantl 452	. 2 ⊢ ((M ∈ NC ∧ N ∈ ( Spac ‘M)) → (N ∈ {x ∣ φ} ↔ τ))
28	24, 27	mpbid 201	1 ⊢ ((M ∈ NC ∧ N ∈ ( Spac ‘M)) → τ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  {cab 2339  ∀wral 2615  Vcvv 2860   ⊆ wss 3258  0_cc0c 4375   ‘cfv 4782  (class class class)co 5526   NC cncs 6089  2_cc2c 6095   ↑_c cce 6097   Sp_ac cspac 6274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-1st 4724  df-swap 4725  df-sset 4726  df-co 4727  df-ima 4728  df-si 4729  df-id 4768  df-xp 4785  df-cnv 4786  df-rn 4787  df-dm 4788  df-res 4789  df-fun 4790  df-fn 4791  df-f 4792  df-f1 4793  df-fo 4794  df-f1o 4795  df-fv 4796  df-2nd 4798  df-ov 5527  df-oprab 5529  df-mpt 5653  df-mpt2 5655  df-txp 5737  df-fix 5741  df-compose 5749  df-ins2 5751  df-ins3 5753  df-image 5755  df-ins4 5757  df-si3 5759  df-funs 5761  df-fns 5763  df-pw1fn 5767  df-fullfun 5769  df-clos1 5874  df-trans 5900  df-sym 5909  df-er 5910  df-ec 5948  df-qs 5952  df-map 6002  df-en 6030  df-ncs 6099  df-nc 6102  df-2c 6105  df-ce 6107  df-spac 6275

This theorem is referenced by:  nchoicelem4  6293