Theorem 1loopgrvd2fi 16229

Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 4: an edge from a vertex to itself contributes two to the vertex's degree. I. e. in a graph (simple pseudograph) with one edge which is a loop, the vertex connected with itself by the loop has degree 2. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.) (Revised by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1loopgruspgr.v	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1loopgruspgr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
1loopgruspgr.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑉)
1loopgruspgr.i	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
1loopgrvd2fi.fi	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
1loopgrvd2fi	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = 2)

Proof of Theorem 1loopgrvd2fi

Dummy variables 𝑎 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2231	. . 3 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
3		1loopgruspgr.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
4	3	dmeqd 4939	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
5		1loopgruspgr.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑉)
6		snexg 4280	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → {𝑁} ∈ V)
7	5, 6	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑁} ∈ V)
8		dmsnopg 5215	. . . . . 6 ⊢ ({𝑁} ∈ V → dom {⟨𝐴, {𝑁}⟩} = {𝐴})
9	7, 8	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom {⟨𝐴, {𝑁}⟩} = {𝐴})
10	4, 9	eqtrd 2264	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴})
11		1loopgruspgr.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
12		snfig 7032	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → {𝐴} ∈ Fin)
13	11, 12	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ∈ Fin)
14	10, 13	eqeltrd 2308	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) ∈ Fin)
15		1loopgruspgr.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
16		1loopgrvd2fi.fi	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
17	15, 16	eqeltrd 2308	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
18	5, 15	eleqtrrd 2311	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))
19	15, 11, 5, 3	1loopgruspgr 16227	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
20		eqid 2231	. . 3 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
21	1, 2, 14, 17, 18, 19, 20	vtxduspgrfvedgfi 16225	. 2 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = ((♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) + (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}})))
22		eqid 2231	. . . . . . . 8 ⊢ {{𝑁}} = {{𝑁}}
23		sneq 3684	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = {𝑁} → {𝑎} = {{𝑁}})
24	23	eqeq2d 2243	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = {𝑁} → ({{𝑁}} = {𝑎} ↔ {{𝑁}} = {{𝑁}}))
25	24	spcegv 2895	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑁} ∈ V → ({{𝑁}} = {{𝑁}} → ∃𝑎{{𝑁}} = {𝑎}))
26	7, 22, 25	mpisyl 1492	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎{{𝑁}} = {𝑎})
27		snidg 3702	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝑁 ∈ {𝑁})
28	5, 27	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ {𝑁})
29	28	iftrued 3616	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {{𝑁}})
30	29	eqeq1d 2240	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎} ↔ {{𝑁}} = {𝑎}))
31	30	exbidv 1873	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎} ↔ ∃𝑎{{𝑁}} = {𝑎}))
32	26, 31	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎})
33	15, 11, 5, 3	1loopgredg 16228	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Edg‘𝐺) = {{𝑁}})
34	33	rabeqdv 2797	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = {𝑒 ∈ {{𝑁}} ∣ 𝑁 ∈ 𝑒})
35		eleq2 2295	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = {𝑁} → (𝑁 ∈ 𝑒 ↔ 𝑁 ∈ {𝑁}))
36	35	rabsnif 3742	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑒 ∈ {{𝑁}} ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅)
37	34, 36	eqtrdi 2280	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅))
38	37	eqeq1d 2240	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ({𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = {𝑎} ↔ if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎}))
39	38	exbidv 1873	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = {𝑎} ↔ ∃𝑎if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎}))
40	32, 39	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = {𝑎})
41		en1 7016	. . . . 5 ⊢ ({𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ≈ 1o ↔ ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = {𝑎})
42	40, 41	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ≈ 1o)
43		en1hash 11108	. . . 4 ⊢ ({𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ≈ 1o → (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) = 1)
44	42, 43	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) = 1)
45		eqid 2231	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑁} = {𝑁}
46	45	iftruei 3615	. . . . . . . . 9 ⊢ if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {{𝑁}}
47	46	eqeq1i 2239	. . . . . . . 8 ⊢ (if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎} ↔ {{𝑁}} = {𝑎})
48	47	exbii 1654	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑎if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎} ↔ ∃𝑎{{𝑁}} = {𝑎})
49	26, 48	sylibr 134	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎})
50	33	rabeqdv 2797	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑒 ∈ {{𝑁}} ∣ 𝑒 = {𝑁}})
51		eqeq1 2238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = {𝑁} → (𝑒 = {𝑁} ↔ {𝑁} = {𝑁}))
52	51	rabsnif 3742	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑒 ∈ {{𝑁}} ∣ 𝑒 = {𝑁}} = if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅)
53	50, 52	eqtrdi 2280	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅))
54	53	eqeq1d 2240	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ({𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑎} ↔ if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎}))
55	54	exbidv 1873	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑎} ↔ ∃𝑎if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎}))
56	49, 55	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑎})
57		en1 7016	. . . . 5 ⊢ ({𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} ≈ 1o ↔ ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑎})
58	56, 57	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} ≈ 1o)
59		en1hash 11108	. . . 4 ⊢ ({𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} ≈ 1o → (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}}) = 1)
60	58, 59	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}}) = 1)
61	44, 60	oveq12d 6046	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) + (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}})) = (1 + 1))
62		1p1e2 9302	. . 3 ⊢ (1 + 1) = 2
63	62	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 + 1) = 2)
64	21, 61, 63	3eqtrd 2268	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = 2)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2202  {crab 2515  Vcvv 2803  ∅c0 3496  ifcif 3607  {csn 3673  ⟨cop 3676   class class class wbr 4093  dom cdm 4731  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  1_oc1o 6618   ≈ cen 6950  Fincfn 6952  1c1 8076   + caddc 8078  2c2 9236  ♯chash 11083  Vtxcvtx 15936  iEdgciedg 15937  Edgcedg 15981  VtxDegcvtxdg 16210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-2o 6626  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-5 9247  df-6 9248  df-7 9249  df-8 9250  df-9 9251  df-n0 9445  df-z 9524  df-dec 9656  df-uz 9800  df-xadd 10052  df-fz 10289  df-ihash 11084  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-edgf 15929  df-vtx 15938  df-iedg 15939  df-edg 15982  df-uhgrm 15993  df-ushgrm 15994  df-upgren 16017  df-uspgren 16079  df-vtxdg 16211

This theorem is referenced by:  eupth2lem3lem3fi  16394