Theorem 1loopgrvd2fi 16460

Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 4: an edge from a vertex to itself contributes two to the vertex's degree. I. e. in a graph (simple pseudograph) with one edge which is a loop, the vertex connected with itself by the loop has degree 2. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.) (Revised by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1loopgruspgr.v	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1loopgruspgr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
1loopgruspgr.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑉)
1loopgruspgr.i	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
1loopgrvd2fi.fi	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
1loopgrvd2fi	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = 2)

Proof of Theorem 1loopgrvd2fi

Dummy variables 𝑎 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2238	. . 3 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
3		1loopgruspgr.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
4	3	dmeqd 4978	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
5		1loopgruspgr.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑉)
6		snexg 4316	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → {𝑁} ∈ V)
7	5, 6	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑁} ∈ V)
8		dmsnopg 5254	. . . . . 6 ⊢ ({𝑁} ∈ V → dom {⟨𝐴, {𝑁}⟩} = {𝐴})
9	7, 8	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom {⟨𝐴, {𝑁}⟩} = {𝐴})
10	4, 9	eqtrd 2271	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴})
11		1loopgruspgr.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
12		snfig 7093	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → {𝐴} ∈ Fin)
13	11, 12	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ∈ Fin)
14	10, 13	eqeltrd 2315	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) ∈ Fin)
15		1loopgruspgr.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
16		1loopgrvd2fi.fi	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
17	15, 16	eqeltrd 2315	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
18	5, 15	eleqtrrd 2318	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))
19	15, 11, 5, 3	1loopgruspgr 16458	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
20		eqid 2238	. . 3 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
21	1, 2, 14, 17, 18, 19, 20	vtxduspgrfvedgfi 16456	. 2 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = ((♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) + (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}})))
22		eqid 2238	. . . . . . . 8 ⊢ {{𝑁}} = {{𝑁}}
23		sneq 3716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = {𝑁} → {𝑎} = {{𝑁}})
24	23	eqeq2d 2250	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = {𝑁} → ({{𝑁}} = {𝑎} ↔ {{𝑁}} = {{𝑁}}))
25	24	spcegv 2913	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑁} ∈ V → ({{𝑁}} = {{𝑁}} → ∃𝑎{{𝑁}} = {𝑎}))
26	7, 22, 25	mpisyl 1496	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎{{𝑁}} = {𝑎})
27		snidg 3734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝑁 ∈ {𝑁})
28	5, 27	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ {𝑁})
29	28	iftrued 3644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {{𝑁}})
30	29	eqeq1d 2247	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎} ↔ {{𝑁}} = {𝑎}))
31	30	exbidv 1878	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎} ↔ ∃𝑎{{𝑁}} = {𝑎}))
32	26, 31	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎})
33	15, 11, 5, 3	1loopgredg 16459	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Edg‘𝐺) = {{𝑁}})
34	33	rabeqdv 2815	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = {𝑒 ∈ {{𝑁}} ∣ 𝑁 ∈ 𝑒})
35		eleq2 2302	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = {𝑁} → (𝑁 ∈ 𝑒 ↔ 𝑁 ∈ {𝑁}))
36	35	rabsnif 3774	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑒 ∈ {{𝑁}} ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅)
37	34, 36	eqtrdi 2287	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅))
38	37	eqeq1d 2247	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ({𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = {𝑎} ↔ if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎}))
39	38	exbidv 1878	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = {𝑎} ↔ ∃𝑎if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎}))
40	32, 39	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = {𝑎})
41		en1 7076	. . . . 5 ⊢ ({𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ≈ 1o ↔ ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = {𝑎})
42	40, 41	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ≈ 1o)
43		en1hash 11217	. . . 4 ⊢ ({𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ≈ 1o → (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) = 1)
44	42, 43	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) = 1)
45		eqid 2238	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑁} = {𝑁}
46	45	iftruei 3643	. . . . . . . . 9 ⊢ if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {{𝑁}}
47	46	eqeq1i 2246	. . . . . . . 8 ⊢ (if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎} ↔ {{𝑁}} = {𝑎})
48	47	exbii 1658	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑎if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎} ↔ ∃𝑎{{𝑁}} = {𝑎})
49	26, 48	sylibr 134	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎})
50	33	rabeqdv 2815	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑒 ∈ {{𝑁}} ∣ 𝑒 = {𝑁}})
51		eqeq1 2245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = {𝑁} → (𝑒 = {𝑁} ↔ {𝑁} = {𝑁}))
52	51	rabsnif 3774	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑒 ∈ {{𝑁}} ∣ 𝑒 = {𝑁}} = if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅)
53	50, 52	eqtrdi 2287	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅))
54	53	eqeq1d 2247	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ({𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑎} ↔ if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎}))
55	54	exbidv 1878	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑎} ↔ ∃𝑎if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎}))
56	49, 55	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑎})
57		en1 7076	. . . . 5 ⊢ ({𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} ≈ 1o ↔ ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑎})
58	56, 57	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} ≈ 1o)
59		en1hash 11217	. . . 4 ⊢ ({𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} ≈ 1o → (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}}) = 1)
60	58, 59	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}}) = 1)
61	44, 60	oveq12d 6093	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) + (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}})) = (1 + 1))
62		1p1e2 9400	. . 3 ⊢ (1 + 1) = 2
63	62	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 + 1) = 2)
64	21, 61, 63	3eqtrd 2275	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = 2)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  {crab 2532  Vcvv 2821  ∅c0 3520  ifcif 3635  {csn 3705  ⟨cop 3708   class class class wbr 4125  dom cdm 4769  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  1_oc1o 6670   ≈ cen 7010  Fincfn 7012  1c1 8170   + caddc 8172  2c2 9334  ♯chash 11192  Vtxcvtx 16167  iEdgciedg 16168  Edgcedg 16212  VtxDegcvtxdg 16441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-1o 6677  df-2o 6678  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-7 9347  df-8 9348  df-9 9349  df-n0 9543  df-z 9624  df-dec 9757  df-uz 9901  df-xadd 10154  df-fz 10391  df-ihash 11193  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-edgf 16160  df-vtx 16169  df-iedg 16170  df-edg 16213  df-uhgrm 16224  df-ushgrm 16225  df-upgren 16248  df-uspgren 16310  df-vtxdg 16442

This theorem is referenced by:  eupth2lem3lem3fi  16625