Theorem 1loopgrvd2fi 16751

Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 4: an edge from a vertex to itself contributes two to the vertex's degree. I. e. in a graph (simple pseudograph) with one edge which is a loop, the vertex connected with itself by the loop has degree 2. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.) (Revised by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1loopgruspgr.v	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1loopgruspgr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
1loopgruspgr.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑉)
1loopgruspgr.i	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
1loopgrvd2fi.fi	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
1loopgrvd2fi	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = 2)

Proof of Theorem 1loopgrvd2fi

Dummy variables 𝑎 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2238	. . 3 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
3		1loopgruspgr.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
4	3	dmeqd 4985	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
5		1loopgruspgr.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑉)
6		snexg 4323	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → {𝑁} ∈ V)
7	5, 6	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑁} ∈ V)
8		dmsnopg 5262	. . . . . 6 ⊢ ({𝑁} ∈ V → dom {⟨𝐴, {𝑁}⟩} = {𝐴})
9	7, 8	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom {⟨𝐴, {𝑁}⟩} = {𝐴})
10	4, 9	eqtrd 2271	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴})
11		1loopgruspgr.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
12		snfig 7107	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → {𝐴} ∈ Fin)
13	11, 12	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ∈ Fin)
14	10, 13	eqeltrd 2315	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) ∈ Fin)
15		1loopgruspgr.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
16		1loopgrvd2fi.fi	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
17	15, 16	eqeltrd 2315	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
18	5, 15	eleqtrrd 2318	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))
19	15, 11, 5, 3	1loopgruspgr 16749	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
20		eqid 2238	. . 3 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
21	1, 2, 14, 17, 18, 19, 20	vtxduspgrfvedgfi 16747	. 2 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = ((♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) + (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}})))
22		eqid 2238	. . . . . . . 8 ⊢ {{𝑁}} = {{𝑁}}
23		sneq 3720	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = {𝑁} → {𝑎} = {{𝑁}})
24	23	eqeq2d 2250	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = {𝑁} → ({{𝑁}} = {𝑎} ↔ {{𝑁}} = {{𝑁}}))
25	24	spcegv 2913	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑁} ∈ V → ({{𝑁}} = {{𝑁}} → ∃𝑎{{𝑁}} = {𝑎}))
26	7, 22, 25	mpisyl 1496	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎{{𝑁}} = {𝑎})
27		snidg 3738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝑁 ∈ {𝑁})
28	5, 27	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ {𝑁})
29	28	iftrued 3647	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {{𝑁}})
30	29	eqeq1d 2247	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎} ↔ {{𝑁}} = {𝑎}))
31	30	exbidv 1878	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎} ↔ ∃𝑎{{𝑁}} = {𝑎}))
32	26, 31	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎})
33	15, 11, 5, 3	1loopgredg 16750	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Edg‘𝐺) = {{𝑁}})
34	33	rabeqdv 2815	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = {𝑒 ∈ {{𝑁}} ∣ 𝑁 ∈ 𝑒})
35		eleq2 2302	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = {𝑁} → (𝑁 ∈ 𝑒 ↔ 𝑁 ∈ {𝑁}))
36	35	rabsnif 3778	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑒 ∈ {{𝑁}} ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅)
37	34, 36	eqtrdi 2287	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅))
38	37	eqeq1d 2247	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ({𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = {𝑎} ↔ if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎}))
39	38	exbidv 1878	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = {𝑎} ↔ ∃𝑎if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎}))
40	32, 39	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = {𝑎})
41		en1 7090	. . . . 5 ⊢ ({𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ≈ 1o ↔ ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = {𝑎})
42	40, 41	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ≈ 1o)
43		en1hash 11261	. . . 4 ⊢ ({𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ≈ 1o → (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) = 1)
44	42, 43	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) = 1)
45		eqid 2238	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑁} = {𝑁}
46	45	iftruei 3646	. . . . . . . . 9 ⊢ if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {{𝑁}}
47	46	eqeq1i 2246	. . . . . . . 8 ⊢ (if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎} ↔ {{𝑁}} = {𝑎})
48	47	exbii 1658	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑎if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎} ↔ ∃𝑎{{𝑁}} = {𝑎})
49	26, 48	sylibr 134	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎})
50	33	rabeqdv 2815	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑒 ∈ {{𝑁}} ∣ 𝑒 = {𝑁}})
51		eqeq1 2245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = {𝑁} → (𝑒 = {𝑁} ↔ {𝑁} = {𝑁}))
52	51	rabsnif 3778	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑒 ∈ {{𝑁}} ∣ 𝑒 = {𝑁}} = if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅)
53	50, 52	eqtrdi 2287	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅))
54	53	eqeq1d 2247	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ({𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑎} ↔ if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎}))
55	54	exbidv 1878	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑎} ↔ ∃𝑎if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎}))
56	49, 55	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑎})
57		en1 7090	. . . . 5 ⊢ ({𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} ≈ 1o ↔ ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑎})
58	56, 57	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} ≈ 1o)
59		en1hash 11261	. . . 4 ⊢ ({𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} ≈ 1o → (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}}) = 1)
60	58, 59	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}}) = 1)
61	44, 60	oveq12d 6106	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) + (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}})) = (1 + 1))
62		1p1e2 9430	. . 3 ⊢ (1 + 1) = 2
63	62	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 + 1) = 2)
64	21, 61, 63	3eqtrd 2275	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = 2)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  {crab 2532  Vcvv 2821  ∅c0 3520  ifcif 3638  {csn 3709  ⟨cop 3712   class class class wbr 4131  dom cdm 4776  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  1_oc1o 6684   ≈ cen 7024  Fincfn 7026  1c1 8186   + caddc 8188  2c2 9364  ♯chash 11236  Vtxcvtx 16458  iEdgciedg 16459  Edgcedg 16503  VtxDegcvtxdg 16732

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-2o 6692  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9656  df-dec 9789  df-uz 9938  df-xadd 10192  df-fz 10429  df-ihash 11237  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-edgf 16451  df-vtx 16460  df-iedg 16461  df-edg 16504  df-uhgrm 16515  df-ushgrm 16516  df-upgren 16539  df-uspgren 16601  df-vtxdg 16733

This theorem is used by:  eupth2lem3lem3fi  16916