Theorem 1loopgrvd2fi 16300

Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 4: an edge from a vertex to itself contributes two to the vertex's degree. I. e. in a graph (simple pseudograph) with one edge which is a loop, the vertex connected with itself by the loop has degree 2. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.) (Revised by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1loopgruspgr.v	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1loopgruspgr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
1loopgruspgr.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑉)
1loopgruspgr.i	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
1loopgrvd2fi.fi	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
1loopgrvd2fi	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = 2)

Proof of Theorem 1loopgrvd2fi

Dummy variables 𝑎 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2232	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2232	. . 3 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
3		1loopgruspgr.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
4	3	dmeqd 4958	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
5		1loopgruspgr.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑉)
6		snexg 4297	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → {𝑁} ∈ V)
7	5, 6	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑁} ∈ V)
8		dmsnopg 5234	. . . . . 6 ⊢ ({𝑁} ∈ V → dom {⟨𝐴, {𝑁}⟩} = {𝐴})
9	7, 8	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom {⟨𝐴, {𝑁}⟩} = {𝐴})
10	4, 9	eqtrd 2265	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴})
11		1loopgruspgr.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
12		snfig 7056	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → {𝐴} ∈ Fin)
13	11, 12	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ∈ Fin)
14	10, 13	eqeltrd 2309	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) ∈ Fin)
15		1loopgruspgr.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
16		1loopgrvd2fi.fi	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
17	15, 16	eqeltrd 2309	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
18	5, 15	eleqtrrd 2312	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))
19	15, 11, 5, 3	1loopgruspgr 16298	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
20		eqid 2232	. . 3 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
21	1, 2, 14, 17, 18, 19, 20	vtxduspgrfvedgfi 16296	. 2 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = ((♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) + (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}})))
22		eqid 2232	. . . . . . . 8 ⊢ {{𝑁}} = {{𝑁}}
23		sneq 3700	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = {𝑁} → {𝑎} = {{𝑁}})
24	23	eqeq2d 2244	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = {𝑁} → ({{𝑁}} = {𝑎} ↔ {{𝑁}} = {{𝑁}}))
25	24	spcegv 2905	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑁} ∈ V → ({{𝑁}} = {{𝑁}} → ∃𝑎{{𝑁}} = {𝑎}))
26	7, 22, 25	mpisyl 1492	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎{{𝑁}} = {𝑎})
27		snidg 3718	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝑁 ∈ {𝑁})
28	5, 27	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ {𝑁})
29	28	iftrued 3629	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {{𝑁}})
30	29	eqeq1d 2241	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎} ↔ {{𝑁}} = {𝑎}))
31	30	exbidv 1874	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎} ↔ ∃𝑎{{𝑁}} = {𝑎}))
32	26, 31	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎})
33	15, 11, 5, 3	1loopgredg 16299	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Edg‘𝐺) = {{𝑁}})
34	33	rabeqdv 2807	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = {𝑒 ∈ {{𝑁}} ∣ 𝑁 ∈ 𝑒})
35		eleq2 2296	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = {𝑁} → (𝑁 ∈ 𝑒 ↔ 𝑁 ∈ {𝑁}))
36	35	rabsnif 3758	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑒 ∈ {{𝑁}} ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅)
37	34, 36	eqtrdi 2281	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅))
38	37	eqeq1d 2241	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ({𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = {𝑎} ↔ if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎}))
39	38	exbidv 1874	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = {𝑎} ↔ ∃𝑎if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎}))
40	32, 39	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = {𝑎})
41		en1 7039	. . . . 5 ⊢ ({𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ≈ 1o ↔ ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = {𝑎})
42	40, 41	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ≈ 1o)
43		en1hash 11163	. . . 4 ⊢ ({𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ≈ 1o → (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) = 1)
44	42, 43	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) = 1)
45		eqid 2232	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑁} = {𝑁}
46	45	iftruei 3628	. . . . . . . . 9 ⊢ if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {{𝑁}}
47	46	eqeq1i 2240	. . . . . . . 8 ⊢ (if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎} ↔ {{𝑁}} = {𝑎})
48	47	exbii 1654	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑎if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎} ↔ ∃𝑎{{𝑁}} = {𝑎})
49	26, 48	sylibr 134	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎})
50	33	rabeqdv 2807	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑒 ∈ {{𝑁}} ∣ 𝑒 = {𝑁}})
51		eqeq1 2239	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = {𝑁} → (𝑒 = {𝑁} ↔ {𝑁} = {𝑁}))
52	51	rabsnif 3758	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑒 ∈ {{𝑁}} ∣ 𝑒 = {𝑁}} = if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅)
53	50, 52	eqtrdi 2281	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅))
54	53	eqeq1d 2241	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ({𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑎} ↔ if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎}))
55	54	exbidv 1874	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑎} ↔ ∃𝑎if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎}))
56	49, 55	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑎})
57		en1 7039	. . . . 5 ⊢ ({𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} ≈ 1o ↔ ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑎})
58	56, 57	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} ≈ 1o)
59		en1hash 11163	. . . 4 ⊢ ({𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} ≈ 1o → (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}}) = 1)
60	58, 59	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}}) = 1)
61	44, 60	oveq12d 6068	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) + (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}})) = (1 + 1))
62		1p1e2 9354	. . 3 ⊢ (1 + 1) = 2
63	62	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 + 1) = 2)
64	21, 61, 63	3eqtrd 2269	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = 2)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2203  {crab 2524  Vcvv 2813  ∅c0 3508  ifcif 3620  {csn 3689  ⟨cop 3692   class class class wbr 4109  dom cdm 4749  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  1_oc1o 6640   ≈ cen 6973  Fincfn 6975  1c1 8128   + caddc 8130  2c2 9288  ♯chash 11138  Vtxcvtx 16007  iEdgciedg 16008  Edgcedg 16052  VtxDegcvtxdg 16281

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-1o 6647  df-2o 6648  df-er 6767  df-en 6976  df-dom 6977  df-fin 6978  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-7 9301  df-8 9302  df-9 9303  df-n0 9497  df-z 9578  df-dec 9710  df-uz 9854  df-xadd 10106  df-fz 10343  df-ihash 11139  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-edgf 16000  df-vtx 16009  df-iedg 16010  df-edg 16053  df-uhgrm 16064  df-ushgrm 16065  df-upgren 16088  df-uspgren 16150  df-vtxdg 16282

This theorem is referenced by:  eupth2lem3lem3fi  16465