Theorem 1loopgrvd2fi 16155

Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 4: an edge from a vertex to itself contributes two to the vertex's degree. I. e. in a graph (simple pseudograph) with one edge which is a loop, the vertex connected with itself by the loop has degree 2. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.) (Revised by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1loopgruspgr.v	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1loopgruspgr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
1loopgruspgr.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑉)
1loopgruspgr.i	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
1loopgrvd2fi.fi	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
1loopgrvd2fi	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = 2)

Proof of Theorem 1loopgrvd2fi

Dummy variables 𝑎 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2231	. . 3 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
3		1loopgruspgr.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
4	3	dmeqd 4933	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
5		1loopgruspgr.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑉)
6		snexg 4274	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → {𝑁} ∈ V)
7	5, 6	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑁} ∈ V)
8		dmsnopg 5208	. . . . . 6 ⊢ ({𝑁} ∈ V → dom {⟨𝐴, {𝑁}⟩} = {𝐴})
9	7, 8	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom {⟨𝐴, {𝑁}⟩} = {𝐴})
10	4, 9	eqtrd 2264	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴})
11		1loopgruspgr.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
12		snfig 6988	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → {𝐴} ∈ Fin)
13	11, 12	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ∈ Fin)
14	10, 13	eqeltrd 2308	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) ∈ Fin)
15		1loopgruspgr.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
16		1loopgrvd2fi.fi	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
17	15, 16	eqeltrd 2308	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
18	5, 15	eleqtrrd 2311	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))
19	15, 11, 5, 3	1loopgruspgr 16153	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
20		eqid 2231	. . 3 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
21	1, 2, 14, 17, 18, 19, 20	vtxduspgrfvedgfi 16151	. 2 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = ((♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) + (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}})))
22		eqid 2231	. . . . . . . 8 ⊢ {{𝑁}} = {{𝑁}}
23		sneq 3680	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = {𝑁} → {𝑎} = {{𝑁}})
24	23	eqeq2d 2243	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = {𝑁} → ({{𝑁}} = {𝑎} ↔ {{𝑁}} = {{𝑁}}))
25	24	spcegv 2894	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑁} ∈ V → ({{𝑁}} = {{𝑁}} → ∃𝑎{{𝑁}} = {𝑎}))
26	7, 22, 25	mpisyl 1491	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎{{𝑁}} = {𝑎})
27		snidg 3698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝑁 ∈ {𝑁})
28	5, 27	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ {𝑁})
29	28	iftrued 3612	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {{𝑁}})
30	29	eqeq1d 2240	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎} ↔ {{𝑁}} = {𝑎}))
31	30	exbidv 1873	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎} ↔ ∃𝑎{{𝑁}} = {𝑎}))
32	26, 31	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎})
33	15, 11, 5, 3	1loopgredg 16154	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Edg‘𝐺) = {{𝑁}})
34	33	rabeqdv 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = {𝑒 ∈ {{𝑁}} ∣ 𝑁 ∈ 𝑒})
35		eleq2 2295	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = {𝑁} → (𝑁 ∈ 𝑒 ↔ 𝑁 ∈ {𝑁}))
36	35	rabsnif 3738	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑒 ∈ {{𝑁}} ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅)
37	34, 36	eqtrdi 2280	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅))
38	37	eqeq1d 2240	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ({𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = {𝑎} ↔ if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎}))
39	38	exbidv 1873	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = {𝑎} ↔ ∃𝑎if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎}))
40	32, 39	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = {𝑎})
41		en1 6972	. . . . 5 ⊢ ({𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ≈ 1o ↔ ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = {𝑎})
42	40, 41	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ≈ 1o)
43		en1hash 11061	. . . 4 ⊢ ({𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ≈ 1o → (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) = 1)
44	42, 43	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) = 1)
45		eqid 2231	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑁} = {𝑁}
46	45	iftruei 3611	. . . . . . . . 9 ⊢ if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {{𝑁}}
47	46	eqeq1i 2239	. . . . . . . 8 ⊢ (if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎} ↔ {{𝑁}} = {𝑎})
48	47	exbii 1653	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑎if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎} ↔ ∃𝑎{{𝑁}} = {𝑎})
49	26, 48	sylibr 134	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎})
50	33	rabeqdv 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑒 ∈ {{𝑁}} ∣ 𝑒 = {𝑁}})
51		eqeq1 2238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = {𝑁} → (𝑒 = {𝑁} ↔ {𝑁} = {𝑁}))
52	51	rabsnif 3738	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑒 ∈ {{𝑁}} ∣ 𝑒 = {𝑁}} = if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅)
53	50, 52	eqtrdi 2280	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅))
54	53	eqeq1d 2240	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ({𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑎} ↔ if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎}))
55	54	exbidv 1873	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑎} ↔ ∃𝑎if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎}))
56	49, 55	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑎})
57		en1 6972	. . . . 5 ⊢ ({𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} ≈ 1o ↔ ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑎})
58	56, 57	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} ≈ 1o)
59		en1hash 11061	. . . 4 ⊢ ({𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} ≈ 1o → (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}}) = 1)
60	58, 59	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}}) = 1)
61	44, 60	oveq12d 6035	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) + (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}})) = (1 + 1))
62		1p1e2 9259	. . 3 ⊢ (1 + 1) = 2
63	62	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 + 1) = 2)
64	21, 61, 63	3eqtrd 2268	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = 2)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397  ∃wex 1540   ∈ wcel 2202  {crab 2514  Vcvv 2802  ∅c0 3494  ifcif 3605  {csn 3669  ⟨cop 3672   class class class wbr 4088  dom cdm 4725  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017  1_oc1o 6574   ≈ cen 6906  Fincfn 6908  1c1 8032   + caddc 8034  2c2 9193  ♯chash 11036  Vtxcvtx 15862  iEdgciedg 15863  Edgcedg 15907  VtxDegcvtxdg 16136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-1o 6581  df-2o 6582  df-er 6701  df-en 6909  df-dom 6910  df-fin 6911  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-7 9206  df-8 9207  df-9 9208  df-n0 9402  df-z 9479  df-dec 9611  df-uz 9755  df-xadd 10007  df-fz 10243  df-ihash 11037  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-edgf 15855  df-vtx 15864  df-iedg 15865  df-edg 15908  df-uhgrm 15919  df-ushgrm 15920  df-upgren 15943  df-uspgren 16005  df-vtxdg 16137

This theorem is referenced by: (None)