Theorem ccatval2 11029

Description: Value of a symbol in the right half of a concatenated word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ccatval2	⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝐼) = (𝑇‘(𝐼 − (♯‘𝑆))))

Proof of Theorem ccatval2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdfin 10988	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → 𝑆 ∈ Fin)
2		wrdfin 10988	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → 𝑇 ∈ Fin)
3		ccatfvalfi 11023	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑇 ∈ Fin) → (𝑆 ++ 𝑇) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))
5	4	3adant3 1019	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (𝑆 ++ 𝑇) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))
6		eleq1 2267	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) ↔ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆))))
7		fveq2 5570	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (𝑆‘𝑥) = (𝑆‘𝐼))
8		fvoveq1 5957	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))) = (𝑇‘(𝐼 − (♯‘𝑆))))
9	6, 7, 8	ifbieq12d 3596	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆)))) = if(𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝐼), (𝑇‘(𝐼 − (♯‘𝑆)))))
10		fzodisj 10283	. . . . . 6 ⊢ ((0..^(♯‘𝑆)) ∩ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) = ∅
11		minel 3521	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∧ ((0..^(♯‘𝑆)) ∩ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) = ∅) → ¬ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆)))
12	10, 11	mpan2 425	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) → ¬ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆)))
13	12	3ad2ant3 1022	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → ¬ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆)))
14	13	iffalsed 3580	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → if(𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝐼), (𝑇‘(𝐼 − (♯‘𝑆)))) = (𝑇‘(𝐼 − (♯‘𝑆))))
15	9, 14	sylan9eqr 2259	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) ∧ 𝑥 = 𝐼) → if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆)))) = (𝑇‘(𝐼 − (♯‘𝑆))))
16	1	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → 𝑆 ∈ Fin)
17		hashcl 10907	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Fin → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
18		fzoss1 10276	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘0) → ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ⊆ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
19		nn0uz 9665	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
20	18, 19	eleq2s 2299	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ⊆ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
21	16, 17, 20	3syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ⊆ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
22	21	sseld 3191	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝐼 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) → 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))))
23	22	3impia 1202	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
24		simp2 1000	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → 𝑇 ∈ Word 𝐵)
25		elfzoelz 10251	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) → 𝐼 ∈ ℤ)
26	25	3ad2ant3 1022	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → 𝐼 ∈ ℤ)
27		lencl 10973	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
28	27	nn0zd 9475	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
29	28	3ad2ant1 1020	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
30	26, 29	zsubcld 9482	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (𝐼 − (♯‘𝑆)) ∈ ℤ)
31		fvexg 5589	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ (𝐼 − (♯‘𝑆)) ∈ ℤ) → (𝑇‘(𝐼 − (♯‘𝑆))) ∈ V)
32	24, 30, 31	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (𝑇‘(𝐼 − (♯‘𝑆))) ∈ V)
33	5, 15, 23, 32	fvmptd 5654	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝐼) = (𝑇‘(𝐼 − (♯‘𝑆))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  Vcvv 2771   ∩ cin 3164   ⊆ wss 3165  ∅c0 3459  ifcif 3570   ↦ cmpt 4104  ‘cfv 5268  (class class class)co 5934  Fincfn 6817  0cc0 7907   + caddc 7910   − cmin 8225  ℕ₀cn0 9277  ℤcz 9354  ℤ_≥cuz 9630  ..^cfzo 10246  ♯chash 10901  Word cword 10969   ++ cconcat 11021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-iinf 4634  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-addcom 8007  ax-addass 8009  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-cnre 8018  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-ltwlin 8020  ax-pre-lttrn 8021  ax-pre-apti 8022  ax-pre-ltadd 8023

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4338  df-iord 4411  df-on 4413  df-ilim 4414  df-suc 4416  df-iom 4637  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-f1 5273  df-fo 5274  df-f1o 5275  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-1st 6216  df-2nd 6217  df-recs 6381  df-frec 6467  df-1o 6492  df-er 6610  df-en 6818  df-dom 6819  df-fin 6820  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-xr 8093  df-ltxr 8094  df-le 8095  df-sub 8227  df-neg 8228  df-inn 9019  df-n0 9278  df-z 9355  df-uz 9631  df-fz 10113  df-fzo 10247  df-ihash 10902  df-word 10970  df-concat 11022

This theorem is referenced by:  ccatval3  11030  ccatsymb  11033  ccatval21sw  11036  ccatlid  11037  ccatass  11039  ccatrn  11040  lswccatn0lsw  11042