Theorem ccatval2 11174

Description: Value of a symbol in the right half of a concatenated word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ccatval2	⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝐼) = (𝑇‘(𝐼 − (♯‘𝑆))))

Proof of Theorem ccatval2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdfin 11131	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → 𝑆 ∈ Fin)
2		wrdfin 11131	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → 𝑇 ∈ Fin)
3		ccatfvalfi 11168	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑇 ∈ Fin) → (𝑆 ++ 𝑇) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))
5	4	3adant3 1043	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (𝑆 ++ 𝑇) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))
6		eleq1 2294	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) ↔ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆))))
7		fveq2 5639	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (𝑆‘𝑥) = (𝑆‘𝐼))
8		fvoveq1 6040	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))) = (𝑇‘(𝐼 − (♯‘𝑆))))
9	6, 7, 8	ifbieq12d 3632	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆)))) = if(𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝐼), (𝑇‘(𝐼 − (♯‘𝑆)))))
10		fzodisj 10414	. . . . . 6 ⊢ ((0..^(♯‘𝑆)) ∩ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) = ∅
11		minel 3556	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∧ ((0..^(♯‘𝑆)) ∩ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) = ∅) → ¬ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆)))
12	10, 11	mpan2 425	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) → ¬ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆)))
13	12	3ad2ant3 1046	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → ¬ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆)))
14	13	iffalsed 3615	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → if(𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝐼), (𝑇‘(𝐼 − (♯‘𝑆)))) = (𝑇‘(𝐼 − (♯‘𝑆))))
15	9, 14	sylan9eqr 2286	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) ∧ 𝑥 = 𝐼) → if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆)))) = (𝑇‘(𝐼 − (♯‘𝑆))))
16	1	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → 𝑆 ∈ Fin)
17		hashcl 11042	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Fin → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
18		fzoss1 10407	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘0) → ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ⊆ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
19		nn0uz 9790	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
20	18, 19	eleq2s 2326	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ⊆ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
21	16, 17, 20	3syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ⊆ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
22	21	sseld 3226	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝐼 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) → 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))))
23	22	3impia 1226	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
24		simp2 1024	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → 𝑇 ∈ Word 𝐵)
25		elfzoelz 10381	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) → 𝐼 ∈ ℤ)
26	25	3ad2ant3 1046	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → 𝐼 ∈ ℤ)
27		lencl 11116	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
28	27	nn0zd 9599	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
29	28	3ad2ant1 1044	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
30	26, 29	zsubcld 9606	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (𝐼 − (♯‘𝑆)) ∈ ℤ)
31		fvexg 5658	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ (𝐼 − (♯‘𝑆)) ∈ ℤ) → (𝑇‘(𝐼 − (♯‘𝑆))) ∈ V)
32	24, 30, 31	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (𝑇‘(𝐼 − (♯‘𝑆))) ∈ V)
33	5, 15, 23, 32	fvmptd 5727	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝐼) = (𝑇‘(𝐼 − (♯‘𝑆))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802   ∩ cin 3199   ⊆ wss 3200  ∅c0 3494  ifcif 3605   ↦ cmpt 4150  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017  Fincfn 6908  0cc0 8031   + caddc 8034   − cmin 8349  ℕ₀cn0 9401  ℤcz 9478  ℤ_≥cuz 9754  ..^cfzo 10376  ♯chash 11036  Word cword 11112   ++ cconcat 11166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-1o 6581  df-er 6701  df-en 6909  df-dom 6910  df-fin 6911  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-ihash 11037  df-word 11113  df-concat 11167

This theorem is referenced by:  ccatval3  11175  ccatsymb  11178  ccatval21sw  11181  ccatlid  11182  ccatass  11184  ccatrn  11185  lswccatn0lsw  11187  ccats1val2  11216  ccatswrd  11250  ccatpfx  11281  pfxccatin12lem2  11311  pfxccatin12  11313  clwwlkccatlem  16250