ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  climrecvg1n GIF version

Theorem climrecvg1n 10798
Description: A Cauchy sequence of real numbers converges, existence version. The rate of convergence is fixed: all terms after the nth term must be within 𝐶 / 𝑛 of the nth term, where 𝐶 is a constant multiplier. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climrecvg1n.f (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
climrecvg1n.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
climrecvg1n.cau (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))
Assertion
Ref Expression
climrecvg1n (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝐶,𝑘,𝑛   𝑘,𝐹,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛

Proof of Theorem climrecvg1n
Dummy variables 𝑒 𝑖 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climrecvg1n.f . . 3 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
2 climrecvg1n.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
3 climrecvg1n.cau . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))
43r19.21bi 2462 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))
54r19.21bi 2462 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))
61ad2antrr 473 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
7 eluznn 9148 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
87adantll 461 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
96, 8ffvelrnd 5449 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
10 simplr 498 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ)
116, 10ffvelrnd 5449 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
122ad2antrr 473 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝐶 ∈ ℝ+)
1310nnrpd 9233 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
1412, 13rpdivcld 9252 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐶 / 𝑛) ∈ ℝ+)
1514rpred 9234 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐶 / 𝑛) ∈ ℝ)
169, 11, 15absdifltd 10672 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛) ↔ (((𝐹𝑛) − (𝐶 / 𝑛)) < (𝐹𝑘) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛)))))
175, 16mpbid 146 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (((𝐹𝑛) − (𝐶 / 𝑛)) < (𝐹𝑘) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
1811, 15, 9ltsubaddd 8079 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (((𝐹𝑛) − (𝐶 / 𝑛)) < (𝐹𝑘) ↔ (𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / 𝑛))))
1918anbi1d 454 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((((𝐹𝑛) − (𝐶 / 𝑛)) < (𝐹𝑘) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛))) ↔ ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛)))))
2017, 19mpbid 146 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
2120ralrimiva 2447 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
2221ralrimiva 2447 . . 3 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
231, 2, 22cvg1n 10480 . 2 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑗) + 𝑒)))
241adantr 271 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
2524ad3antrrr 477 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
26 eluznn 9148 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑗 ∈ ℕ)
2726adantll 461 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑗 ∈ ℕ)
2825, 27ffvelrnd 5449 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
29 simpr 109 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
3029ad3antrrr 477 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑦 ∈ ℝ)
31 simpllr 502 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
3231rpred 9234 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑒 ∈ ℝ)
3328, 30, 32absdifltd 10672 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → ((abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < 𝑒 ↔ ((𝑦𝑒) < (𝐹𝑗) ∧ (𝐹𝑗) < (𝑦 + 𝑒))))
3430, 32, 28ltsubaddd 8079 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → ((𝑦𝑒) < (𝐹𝑗) ↔ 𝑦 < ((𝐹𝑗) + 𝑒)))
3534anbi1d 454 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → (((𝑦𝑒) < (𝐹𝑗) ∧ (𝐹𝑗) < (𝑦 + 𝑒)) ↔ (𝑦 < ((𝐹𝑗) + 𝑒) ∧ (𝐹𝑗) < (𝑦 + 𝑒))))
3633, 35bitrd 187 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → ((abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < 𝑒 ↔ (𝑦 < ((𝐹𝑗) + 𝑒) ∧ (𝐹𝑗) < (𝑦 + 𝑒))))
37 ancom 263 . . . . . . . 8 ((𝑦 < ((𝐹𝑗) + 𝑒) ∧ (𝐹𝑗) < (𝑦 + 𝑒)) ↔ ((𝐹𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑗) + 𝑒)))
3836, 37syl6bb 195 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → ((abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < 𝑒 ↔ ((𝐹𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑗) + 𝑒))))
3938ralbidva 2377 . . . . . 6 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < 𝑒 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑗) + 𝑒))))
4039rexbidva 2378 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < 𝑒 ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑗) + 𝑒))))
4140ralbidva 2377 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < 𝑒 ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑗) + 𝑒))))
42 nnuz 9115 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
43 1zzd 8838 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℤ)
44 nnex 8489 . . . . . . . 8 ℕ ∈ V
4544a1i 9 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ℕ ∈ V)
46 reex 7537 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
4746a1i 9 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ℝ ∈ V)
48 fex2 5192 . . . . . . 7 ((𝐹:ℕ⟶ℝ ∧ ℕ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
4924, 45, 47, 48syl3anc 1175 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ V)
50 eqidd 2090 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) = (𝐹𝑗))
5129recnd 7577 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
5224ffvelrnda 5448 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
5352recnd 7577 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
5442, 43, 49, 50, 51, 53clim2c 10733 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦 ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < 𝑒))
55 climrel 10729 . . . . . 6 Rel ⇝
5655releldmi 4687 . . . . 5 (𝐹𝑦𝐹 ∈ dom ⇝ )
5754, 56syl6bir 163 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < 𝑒𝐹 ∈ dom ⇝ ))
5841, 57sylbird 169 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑗) + 𝑒)) → 𝐹 ∈ dom ⇝ ))
5958impr 372 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑗) + 𝑒)))) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
6023, 59rexlimddv 2494 1 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wcel 1439  wral 2360  wrex 2361  Vcvv 2620   class class class wbr 3851  dom cdm 4452  wf 5024  cfv 5028  (class class class)co 5666  cr 7410  1c1 7412   + caddc 7414   < clt 7583  cmin 7714   / cdiv 8200  cn 8483  cuz 9080  +crp 9195  abscabs 10491  cli 10727
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-mulrcl 7505  ax-addcom 7506  ax-mulcom 7507  ax-addass 7508  ax-mulass 7509  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-1rid 7513  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-precex 7516  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-apti 7521  ax-pre-ltadd 7522  ax-pre-mulgt0 7523  ax-pre-mulext 7524  ax-arch 7525  ax-caucvg 7526
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-if 3398  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-frec 6170  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-reap 8113  df-ap 8120  df-div 8201  df-inn 8484  df-2 8542  df-3 8543  df-4 8544  df-n0 8735  df-z 8812  df-uz 9081  df-rp 9196  df-iseq 9914  df-seq3 9915  df-exp 10016  df-cj 10337  df-re 10338  df-im 10339  df-rsqrt 10492  df-abs 10493  df-clim 10728
This theorem is referenced by:  climcvg1nlem  10799
  Copyright terms: Public domain W3C validator