ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  climrecvg1n GIF version

Theorem climrecvg1n 11358
Description: A Cauchy sequence of real numbers converges, existence version. The rate of convergence is fixed: all terms after the nth term must be within 𝐢 / 𝑛 of the nth term, where 𝐢 is a constant multiplier. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climrecvg1n.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„)
climrecvg1n.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
climrecvg1n.cau (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘›))) < (𝐢 / 𝑛))
Assertion
Ref Expression
climrecvg1n (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝐢,π‘˜,𝑛   π‘˜,𝐹,𝑛   πœ‘,π‘˜,𝑛

Proof of Theorem climrecvg1n
Dummy variables 𝑒 𝑖 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climrecvg1n.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„)
2 climrecvg1n.c . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
3 climrecvg1n.cau . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘›))) < (𝐢 / 𝑛))
43r19.21bi 2565 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘›))) < (𝐢 / 𝑛))
54r19.21bi 2565 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘›))) < (𝐢 / 𝑛))
61ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„)
7 eluznn 9602 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
87adantll 476 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
96, 8ffvelcdmd 5654 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
10 simplr 528 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
116, 10ffvelcdmd 5654 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
122ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
1310nnrpd 9696 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
1412, 13rpdivcld 9716 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ (𝐢 / 𝑛) ∈ ℝ+)
1514rpred 9698 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ (𝐢 / 𝑛) ∈ ℝ)
169, 11, 15absdifltd 11189 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘›))) < (𝐢 / 𝑛) ↔ (((πΉβ€˜π‘›) βˆ’ (𝐢 / 𝑛)) < (πΉβ€˜π‘˜) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < ((πΉβ€˜π‘›) + (𝐢 / 𝑛)))))
175, 16mpbid 147 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ (((πΉβ€˜π‘›) βˆ’ (𝐢 / 𝑛)) < (πΉβ€˜π‘˜) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < ((πΉβ€˜π‘›) + (𝐢 / 𝑛))))
1811, 15, 9ltsubaddd 8500 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ (((πΉβ€˜π‘›) βˆ’ (𝐢 / 𝑛)) < (πΉβ€˜π‘˜) ↔ (πΉβ€˜π‘›) < ((πΉβ€˜π‘˜) + (𝐢 / 𝑛))))
1918anbi1d 465 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘›) βˆ’ (𝐢 / 𝑛)) < (πΉβ€˜π‘˜) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < ((πΉβ€˜π‘›) + (𝐢 / 𝑛))) ↔ ((πΉβ€˜π‘›) < ((πΉβ€˜π‘˜) + (𝐢 / 𝑛)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < ((πΉβ€˜π‘›) + (𝐢 / 𝑛)))))
2017, 19mpbid 147 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) < ((πΉβ€˜π‘˜) + (𝐢 / 𝑛)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < ((πΉβ€˜π‘›) + (𝐢 / 𝑛))))
2120ralrimiva 2550 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((πΉβ€˜π‘›) < ((πΉβ€˜π‘˜) + (𝐢 / 𝑛)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < ((πΉβ€˜π‘›) + (𝐢 / 𝑛))))
2221ralrimiva 2550 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((πΉβ€˜π‘›) < ((πΉβ€˜π‘˜) + (𝐢 / 𝑛)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < ((πΉβ€˜π‘›) + (𝐢 / 𝑛))))
231, 2, 22cvg1n 10997 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘– ∈ β„• βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)((πΉβ€˜π‘—) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((πΉβ€˜π‘—) + 𝑒)))
241adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„)
2524ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„)
26 eluznn 9602 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
2726adantll 476 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
2825, 27ffvelcdmd 5654 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ)
29 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
3029ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
31 simpllr 534 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ 𝑒 ∈ ℝ+)
3231rpred 9698 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ 𝑒 ∈ ℝ)
3328, 30, 32absdifltd 11189 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘—) βˆ’ 𝑦)) < 𝑒 ↔ ((𝑦 βˆ’ 𝑒) < (πΉβ€˜π‘—) ∧ (πΉβ€˜π‘—) < (𝑦 + 𝑒))))
3430, 32, 28ltsubaddd 8500 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ ((𝑦 βˆ’ 𝑒) < (πΉβ€˜π‘—) ↔ 𝑦 < ((πΉβ€˜π‘—) + 𝑒)))
3534anbi1d 465 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ (((𝑦 βˆ’ 𝑒) < (πΉβ€˜π‘—) ∧ (πΉβ€˜π‘—) < (𝑦 + 𝑒)) ↔ (𝑦 < ((πΉβ€˜π‘—) + 𝑒) ∧ (πΉβ€˜π‘—) < (𝑦 + 𝑒))))
3633, 35bitrd 188 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘—) βˆ’ 𝑦)) < 𝑒 ↔ (𝑦 < ((πΉβ€˜π‘—) + 𝑒) ∧ (πΉβ€˜π‘—) < (𝑦 + 𝑒))))
37 ancom 266 . . . . . . . 8 ((𝑦 < ((πΉβ€˜π‘—) + 𝑒) ∧ (πΉβ€˜π‘—) < (𝑦 + 𝑒)) ↔ ((πΉβ€˜π‘—) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((πΉβ€˜π‘—) + 𝑒)))
3836, 37bitrdi 196 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘—) βˆ’ 𝑦)) < 𝑒 ↔ ((πΉβ€˜π‘—) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((πΉβ€˜π‘—) + 𝑒))))
3938ralbidva 2473 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘—) βˆ’ 𝑦)) < 𝑒 ↔ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)((πΉβ€˜π‘—) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((πΉβ€˜π‘—) + 𝑒))))
4039rexbidva 2474 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘– ∈ β„• βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘—) βˆ’ 𝑦)) < 𝑒 ↔ βˆƒπ‘– ∈ β„• βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)((πΉβ€˜π‘—) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((πΉβ€˜π‘—) + 𝑒))))
4140ralbidva 2473 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘– ∈ β„• βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘—) βˆ’ 𝑦)) < 𝑒 ↔ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘– ∈ β„• βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)((πΉβ€˜π‘—) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((πΉβ€˜π‘—) + 𝑒))))
42 nnuz 9565 . . . . . 6 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
43 1zzd 9282 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 1 ∈ β„€)
44 nnex 8927 . . . . . . . 8 β„• ∈ V
4544a1i 9 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ β„• ∈ V)
46 reex 7947 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
4746a1i 9 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ℝ ∈ V)
48 fex2 5386 . . . . . . 7 ((𝐹:β„•βŸΆβ„ ∧ β„• ∈ V ∧ ℝ ∈ V) β†’ 𝐹 ∈ V)
4924, 45, 47, 48syl3anc 1238 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝐹 ∈ V)
50 eqidd 2178 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘—) = (πΉβ€˜π‘—))
5129recnd 7988 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
5224ffvelcdmda 5653 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ)
5352recnd 7988 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ β„‚)
5442, 43, 49, 50, 51, 53clim2c 11294 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝐹 ⇝ 𝑦 ↔ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘– ∈ β„• βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘—) βˆ’ 𝑦)) < 𝑒))
55 climrel 11290 . . . . . 6 Rel ⇝
5655releldmi 4868 . . . . 5 (𝐹 ⇝ 𝑦 β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
5754, 56syl6bir 164 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘– ∈ β„• βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘—) βˆ’ 𝑦)) < 𝑒 β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ ))
5841, 57sylbird 170 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘– ∈ β„• βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)((πΉβ€˜π‘—) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((πΉβ€˜π‘—) + 𝑒)) β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ ))
5958impr 379 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘– ∈ β„• βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)((πΉβ€˜π‘—) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((πΉβ€˜π‘—) + 𝑒)))) β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
6023, 59rexlimddv 2599 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  βˆƒwrex 2456  Vcvv 2739   class class class wbr 4005  dom cdm 4628  βŸΆwf 5214  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  β„cr 7812  1c1 7814   + caddc 7816   < clt 7994   βˆ’ cmin 8130   / cdiv 8631  β„•cn 8921  β„€β‰₯cuz 9530  β„+crp 9655  abscabs 11008   ⇝ cli 11288
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-rp 9656  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-clim 11289
This theorem is referenced by:  climcvg1nlem  11359
  Copyright terms: Public domain W3C validator