Theorem climrecvg1n 11971

Description: A Cauchy sequence of real numbers converges, existence version. The rate of convergence is fixed: all terms after the nth term must be within 𝐶 / 𝑛 of the nth term, where 𝐶 is a constant multiplier. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climrecvg1n.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
climrecvg1n.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
climrecvg1n.cau	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))

Assertion

Ref	Expression
climrecvg1n	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝐶,𝑘,𝑛   𝑘,𝐹,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛

Proof of Theorem climrecvg1n

Dummy variables 𝑒 𝑖 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climrecvg1n.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
2		climrecvg1n.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
3		climrecvg1n.cau	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))
4	3	r19.21bi 2621	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))
5	4	r19.21bi 2621	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))
6	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
7		eluznn 9878	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
8	7	adantll 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
9	6, 8	ffvelcdmd 5791	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
10		simplr 529	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ)
11	6, 10	ffvelcdmd 5791	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
12	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝐶 ∈ ℝ+)
13	10	nnrpd 9973	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
14	12, 13	rpdivcld 9993	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐶 / 𝑛) ∈ ℝ+)
15	14	rpred 9975	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐶 / 𝑛) ∈ ℝ)
16	9, 11, 15	absdifltd 11801	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛) ↔ (((𝐹‘𝑛) − (𝐶 / 𝑛)) < (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (𝐶 / 𝑛)))))
17	5, 16	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (((𝐹‘𝑛) − (𝐶 / 𝑛)) < (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
18	11, 15, 9	ltsubaddd 8763	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (((𝐹‘𝑛) − (𝐶 / 𝑛)) < (𝐹‘𝑘) ↔ (𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / 𝑛))))
19	18	anbi1d 465	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((((𝐹‘𝑛) − (𝐶 / 𝑛)) < (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (𝐶 / 𝑛))) ↔ ((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (𝐶 / 𝑛)))))
20	17, 19	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
21	20	ralrimiva 2606	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
22	21	ralrimiva 2606	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
23	1, 2, 22	cvg1n 11609	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑗) + 𝑒)))
24	1	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
25	24	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
26		eluznn 9878	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑗 ∈ ℕ)
27	26	adantll 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑗 ∈ ℕ)
28	25, 27	ffvelcdmd 5791	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)
29		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
30	29	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑦 ∈ ℝ)
31		simpllr 536	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
32	31	rpred 9975	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑒 ∈ ℝ)
33	28, 30, 32	absdifltd 11801	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → ((abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < 𝑒 ↔ ((𝑦 − 𝑒) < (𝐹‘𝑗) ∧ (𝐹‘𝑗) < (𝑦 + 𝑒))))
34	30, 32, 28	ltsubaddd 8763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → ((𝑦 − 𝑒) < (𝐹‘𝑗) ↔ 𝑦 < ((𝐹‘𝑗) + 𝑒)))
35	34	anbi1d 465	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → (((𝑦 − 𝑒) < (𝐹‘𝑗) ∧ (𝐹‘𝑗) < (𝑦 + 𝑒)) ↔ (𝑦 < ((𝐹‘𝑗) + 𝑒) ∧ (𝐹‘𝑗) < (𝑦 + 𝑒))))
36	33, 35	bitrd 188	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → ((abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < 𝑒 ↔ (𝑦 < ((𝐹‘𝑗) + 𝑒) ∧ (𝐹‘𝑗) < (𝑦 + 𝑒))))
37		ancom 266	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 < ((𝐹‘𝑗) + 𝑒) ∧ (𝐹‘𝑗) < (𝑦 + 𝑒)) ↔ ((𝐹‘𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑗) + 𝑒)))
38	36, 37	bitrdi 196	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → ((abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < 𝑒 ↔ ((𝐹‘𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑗) + 𝑒))))
39	38	ralbidva 2529	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < 𝑒 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑗) + 𝑒))))
40	39	rexbidva 2530	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < 𝑒 ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑗) + 𝑒))))
41	40	ralbidva 2529	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < 𝑒 ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑗) + 𝑒))))
42		nnuz 9836	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
43		1zzd 9550	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℤ)
44		nnex 9191	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ∈ V
45	44	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ℕ ∈ V)
46		reex 8209	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ V
47	46	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ℝ ∈ V)
48		fex2 5511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℝ ∧ ℕ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
49	24, 45, 47, 48	syl3anc 1274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ V)
50		eqidd 2232	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑗) = (𝐹‘𝑗))
51	29	recnd 8250	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
52	24	ffvelcdmda 5790	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)
53	52	recnd 8250	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ)
54	42, 43, 49, 50, 51, 53	clim2c 11907	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹 ⇝ 𝑦 ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < 𝑒))
55		climrel 11903	. . . . . 6 ⊢ Rel ⇝
56	55	releldmi 4977	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝑦 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
57	54, 56	biimtrrdi 164	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < 𝑒 → 𝐹 ∈ dom ⇝ ))
58	41, 57	sylbird 170	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑗) + 𝑒)) → 𝐹 ∈ dom ⇝ ))
59	58	impr 379	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑗) + 𝑒)))) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
60	23, 59	rexlimddv 2656	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2202  ∀wral 2511  ∃wrex 2512  Vcvv 2803   class class class wbr 4093  dom cdm 4731  ⟶wf 5329  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  ℝcr 8074  1c1 8076   + caddc 8078   < clt 8256   − cmin 8392   / cdiv 8894  ℕcn 9185  ℤ_≥cuz 9799  ℝ⁺crp 9932  abscabs 11620   ⇝ cli 11901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-div 8895  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-rp 9933  df-seqfrec 10756  df-exp 10847  df-cj 11465  df-re 11466  df-im 11467  df-rsqrt 11621  df-abs 11622  df-clim 11902

This theorem is referenced by:  climcvg1nlem  11972