Theorem climrecvg1n 12133

Description: A Cauchy sequence of real numbers converges, existence version. The rate of convergence is fixed: all terms after the nth term must be within 𝐶 / 𝑛 of the nth term, where 𝐶 is a constant multiplier. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climrecvg1n.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
climrecvg1n.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
climrecvg1n.cau	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))

Assertion

Ref	Expression
climrecvg1n	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝐶,𝑘,𝑛   𝑘,𝐹,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛

Proof of Theorem climrecvg1n

Dummy variables 𝑒 𝑖 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climrecvg1n.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
2		climrecvg1n.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
3		climrecvg1n.cau	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))
4	3	r19.21bi 2638	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))
5	4	r19.21bi 2638	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))
6	1	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
7		eluznn 10010	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
8	7	adantll 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
9	6, 8	ffvelcdmd 5844	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
10		simplr 533	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ)
11	6, 10	ffvelcdmd 5844	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
12	2	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝐶 ∈ ℝ+)
13	10	nnrpd 10106	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
14	12, 13	rpdivcld 10126	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐶 / 𝑛) ∈ ℝ+)
15	14	rpred 10108	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐶 / 𝑛) ∈ ℝ)
16	9, 11, 15	absdifltd 11961	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛) ↔ (((𝐹‘𝑛) − (𝐶 / 𝑛)) < (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (𝐶 / 𝑛)))))
17	5, 16	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (((𝐹‘𝑛) − (𝐶 / 𝑛)) < (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
18	11, 15, 9	ltsubaddd 8871	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (((𝐹‘𝑛) − (𝐶 / 𝑛)) < (𝐹‘𝑘) ↔ (𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / 𝑛))))
19	18	anbi1d 469	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((((𝐹‘𝑛) − (𝐶 / 𝑛)) < (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (𝐶 / 𝑛))) ↔ ((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (𝐶 / 𝑛)))))
20	17, 19	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
21	20	ralrimiva 2623	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
22	21	ralrimiva 2623	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
23	1, 2, 22	cvg1n 11768	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑗) + 𝑒)))
24	1	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
25	24	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
26		eluznn 10010	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑗 ∈ ℕ)
27	26	adantll 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑗 ∈ ℕ)
28	25, 27	ffvelcdmd 5844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)
29		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
30	29	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑦 ∈ ℝ)
31		simpllr 540	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
32	31	rpred 10108	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑒 ∈ ℝ)
33	28, 30, 32	absdifltd 11961	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → ((abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < 𝑒 ↔ ((𝑦 − 𝑒) < (𝐹‘𝑗) ∧ (𝐹‘𝑗) < (𝑦 + 𝑒))))
34	30, 32, 28	ltsubaddd 8871	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → ((𝑦 − 𝑒) < (𝐹‘𝑗) ↔ 𝑦 < ((𝐹‘𝑗) + 𝑒)))
35	34	anbi1d 469	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → (((𝑦 − 𝑒) < (𝐹‘𝑗) ∧ (𝐹‘𝑗) < (𝑦 + 𝑒)) ↔ (𝑦 < ((𝐹‘𝑗) + 𝑒) ∧ (𝐹‘𝑗) < (𝑦 + 𝑒))))
36	33, 35	bitrd 188	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → ((abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < 𝑒 ↔ (𝑦 < ((𝐹‘𝑗) + 𝑒) ∧ (𝐹‘𝑗) < (𝑦 + 𝑒))))
37		ancom 266	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 < ((𝐹‘𝑗) + 𝑒) ∧ (𝐹‘𝑗) < (𝑦 + 𝑒)) ↔ ((𝐹‘𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑗) + 𝑒)))
38	36, 37	bitrdi 196	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → ((abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < 𝑒 ↔ ((𝐹‘𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑗) + 𝑒))))
39	38	ralbidva 2546	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < 𝑒 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑗) + 𝑒))))
40	39	rexbidva 2547	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < 𝑒 ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑗) + 𝑒))))
41	40	ralbidva 2546	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < 𝑒 ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑗) + 𝑒))))
42		nnuz 9968	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
43		1zzd 9676	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℤ)
44		nnex 9313	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ∈ V
45	44	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ℕ ∈ V)
46		reex 8314	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ V
47	46	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ℝ ∈ V)
48		fex2 5556	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℝ ∧ ℕ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
49	24, 45, 47, 48	syl3anc 1278	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ V)
50		eqidd 2239	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑗) = (𝐹‘𝑗))
51	29	recnd 8355	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
52	24	ffvelcdmda 5843	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)
53	52	recnd 8355	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ)
54	42, 43, 49, 50, 51, 53	clim2c 12069	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹 ⇝ 𝑦 ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < 𝑒))
55		climrel 12065	. . . . . 6 ⊢ Rel ⇝
56	55	releldmi 5021	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝑦 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
57	54, 56	biimtrrdi 164	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < 𝑒 → 𝐹 ∈ dom ⇝ ))
58	41, 57	sylbird 170	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑗) + 𝑒)) → 𝐹 ∈ dom ⇝ ))
59	58	impr 379	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑗) + 𝑒)))) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
60	23, 59	rexlimddv 2673	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529  Vcvv 2821   class class class wbr 4130  dom cdm 4774  ⟶wf 5373  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℝcr 8179  1c1 8181   + caddc 8183   < clt 8361   − cmin 8499   / cdiv 9005  ℕcn 9307  ℤ_≥cuz 9931  ℝ⁺crp 10065  abscabs 11779   ⇝ cli 12063

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298  ax-arch 8299  ax-caucvg 8300

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-rp 10066  df-seqfrec 10900  df-exp 10991  df-cj 11623  df-re 11624  df-im 11625  df-rsqrt 11780  df-abs 11781  df-clim 12064

This theorem is used by:  climcvg1nlem  12134