Theorem climrecvg1n 11340

Description: A Cauchy sequence of real numbers converges, existence version. The rate of convergence is fixed: all terms after the nth term must be within 𝐶 / 𝑛 of the nth term, where 𝐶 is a constant multiplier. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climrecvg1n.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
climrecvg1n.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
climrecvg1n.cau	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))

Assertion

Ref	Expression
climrecvg1n	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝐶,𝑘,𝑛   𝑘,𝐹,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛

Proof of Theorem climrecvg1n

Dummy variables 𝑒 𝑖 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climrecvg1n.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
2		climrecvg1n.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
3		climrecvg1n.cau	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))
4	3	r19.21bi 2565	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))
5	4	r19.21bi 2565	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))
6	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
7		eluznn 9589	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
8	7	adantll 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
9	6, 8	ffvelcdmd 5648	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
10		simplr 528	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ)
11	6, 10	ffvelcdmd 5648	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
12	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝐶 ∈ ℝ+)
13	10	nnrpd 9681	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
14	12, 13	rpdivcld 9701	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐶 / 𝑛) ∈ ℝ+)
15	14	rpred 9683	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐶 / 𝑛) ∈ ℝ)
16	9, 11, 15	absdifltd 11171	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛) ↔ (((𝐹‘𝑛) − (𝐶 / 𝑛)) < (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (𝐶 / 𝑛)))))
17	5, 16	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (((𝐹‘𝑛) − (𝐶 / 𝑛)) < (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
18	11, 15, 9	ltsubaddd 8488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (((𝐹‘𝑛) − (𝐶 / 𝑛)) < (𝐹‘𝑘) ↔ (𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / 𝑛))))
19	18	anbi1d 465	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((((𝐹‘𝑛) − (𝐶 / 𝑛)) < (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (𝐶 / 𝑛))) ↔ ((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (𝐶 / 𝑛)))))
20	17, 19	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
21	20	ralrimiva 2550	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
22	21	ralrimiva 2550	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
23	1, 2, 22	cvg1n 10979	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑗) + 𝑒)))
24	1	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
25	24	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
26		eluznn 9589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑗 ∈ ℕ)
27	26	adantll 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑗 ∈ ℕ)
28	25, 27	ffvelcdmd 5648	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)
29		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
30	29	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑦 ∈ ℝ)
31		simpllr 534	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
32	31	rpred 9683	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑒 ∈ ℝ)
33	28, 30, 32	absdifltd 11171	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → ((abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < 𝑒 ↔ ((𝑦 − 𝑒) < (𝐹‘𝑗) ∧ (𝐹‘𝑗) < (𝑦 + 𝑒))))
34	30, 32, 28	ltsubaddd 8488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → ((𝑦 − 𝑒) < (𝐹‘𝑗) ↔ 𝑦 < ((𝐹‘𝑗) + 𝑒)))
35	34	anbi1d 465	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → (((𝑦 − 𝑒) < (𝐹‘𝑗) ∧ (𝐹‘𝑗) < (𝑦 + 𝑒)) ↔ (𝑦 < ((𝐹‘𝑗) + 𝑒) ∧ (𝐹‘𝑗) < (𝑦 + 𝑒))))
36	33, 35	bitrd 188	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → ((abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < 𝑒 ↔ (𝑦 < ((𝐹‘𝑗) + 𝑒) ∧ (𝐹‘𝑗) < (𝑦 + 𝑒))))
37		ancom 266	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 < ((𝐹‘𝑗) + 𝑒) ∧ (𝐹‘𝑗) < (𝑦 + 𝑒)) ↔ ((𝐹‘𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑗) + 𝑒)))
38	36, 37	bitrdi 196	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → ((abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < 𝑒 ↔ ((𝐹‘𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑗) + 𝑒))))
39	38	ralbidva 2473	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < 𝑒 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑗) + 𝑒))))
40	39	rexbidva 2474	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < 𝑒 ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑗) + 𝑒))))
41	40	ralbidva 2473	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < 𝑒 ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑗) + 𝑒))))
42		nnuz 9552	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
43		1zzd 9269	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℤ)
44		nnex 8914	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ∈ V
45	44	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ℕ ∈ V)
46		reex 7936	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ V
47	46	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ℝ ∈ V)
48		fex2 5380	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℝ ∧ ℕ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
49	24, 45, 47, 48	syl3anc 1238	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ V)
50		eqidd 2178	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑗) = (𝐹‘𝑗))
51	29	recnd 7976	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
52	24	ffvelcdmda 5647	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)
53	52	recnd 7976	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ)
54	42, 43, 49, 50, 51, 53	clim2c 11276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹 ⇝ 𝑦 ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < 𝑒))
55		climrel 11272	. . . . . 6 ⊢ Rel ⇝
56	55	releldmi 4862	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝑦 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
57	54, 56	syl6bir 164	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < 𝑒 → 𝐹 ∈ dom ⇝ ))
58	41, 57	sylbird 170	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑗) + 𝑒)) → 𝐹 ∈ dom ⇝ ))
59	58	impr 379	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑗) + 𝑒)))) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
60	23, 59	rexlimddv 2599	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ∃wrex 2456  Vcvv 2737   class class class wbr 4000  dom cdm 4623  ⟶wf 5208  ‘cfv 5212  (class class class)co 5869  ℝcr 7801  1c1 7803   + caddc 7805   < clt 7982   − cmin 8118   / cdiv 8618  ℕcn 8908  ℤ_≥cuz 9517  ℝ⁺crp 9640  abscabs 10990   ⇝ cli 11270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-rp 9641  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-clim 11271

This theorem is referenced by:  climcvg1nlem  11341