ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  climrecvg1n GIF version

Theorem climrecvg1n 11340
Description: A Cauchy sequence of real numbers converges, existence version. The rate of convergence is fixed: all terms after the nth term must be within 𝐶 / 𝑛 of the nth term, where 𝐶 is a constant multiplier. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climrecvg1n.f (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
climrecvg1n.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
climrecvg1n.cau (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))
Assertion
Ref Expression
climrecvg1n (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝐶,𝑘,𝑛   𝑘,𝐹,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛

Proof of Theorem climrecvg1n
Dummy variables 𝑒 𝑖 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climrecvg1n.f . . 3 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
2 climrecvg1n.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
3 climrecvg1n.cau . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))
43r19.21bi 2565 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))
54r19.21bi 2565 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))
61ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
7 eluznn 9589 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
87adantll 476 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
96, 8ffvelcdmd 5648 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
10 simplr 528 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ)
116, 10ffvelcdmd 5648 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
122ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝐶 ∈ ℝ+)
1310nnrpd 9681 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
1412, 13rpdivcld 9701 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐶 / 𝑛) ∈ ℝ+)
1514rpred 9683 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐶 / 𝑛) ∈ ℝ)
169, 11, 15absdifltd 11171 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛) ↔ (((𝐹𝑛) − (𝐶 / 𝑛)) < (𝐹𝑘) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛)))))
175, 16mpbid 147 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (((𝐹𝑛) − (𝐶 / 𝑛)) < (𝐹𝑘) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
1811, 15, 9ltsubaddd 8488 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (((𝐹𝑛) − (𝐶 / 𝑛)) < (𝐹𝑘) ↔ (𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / 𝑛))))
1918anbi1d 465 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((((𝐹𝑛) − (𝐶 / 𝑛)) < (𝐹𝑘) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛))) ↔ ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛)))))
2017, 19mpbid 147 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
2120ralrimiva 2550 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
2221ralrimiva 2550 . . 3 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
231, 2, 22cvg1n 10979 . 2 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑗) + 𝑒)))
241adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
2524ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
26 eluznn 9589 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑗 ∈ ℕ)
2726adantll 476 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑗 ∈ ℕ)
2825, 27ffvelcdmd 5648 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
29 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
3029ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑦 ∈ ℝ)
31 simpllr 534 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
3231rpred 9683 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑒 ∈ ℝ)
3328, 30, 32absdifltd 11171 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → ((abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < 𝑒 ↔ ((𝑦𝑒) < (𝐹𝑗) ∧ (𝐹𝑗) < (𝑦 + 𝑒))))
3430, 32, 28ltsubaddd 8488 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → ((𝑦𝑒) < (𝐹𝑗) ↔ 𝑦 < ((𝐹𝑗) + 𝑒)))
3534anbi1d 465 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → (((𝑦𝑒) < (𝐹𝑗) ∧ (𝐹𝑗) < (𝑦 + 𝑒)) ↔ (𝑦 < ((𝐹𝑗) + 𝑒) ∧ (𝐹𝑗) < (𝑦 + 𝑒))))
3633, 35bitrd 188 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → ((abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < 𝑒 ↔ (𝑦 < ((𝐹𝑗) + 𝑒) ∧ (𝐹𝑗) < (𝑦 + 𝑒))))
37 ancom 266 . . . . . . . 8 ((𝑦 < ((𝐹𝑗) + 𝑒) ∧ (𝐹𝑗) < (𝑦 + 𝑒)) ↔ ((𝐹𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑗) + 𝑒)))
3836, 37bitrdi 196 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → ((abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < 𝑒 ↔ ((𝐹𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑗) + 𝑒))))
3938ralbidva 2473 . . . . . 6 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < 𝑒 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑗) + 𝑒))))
4039rexbidva 2474 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < 𝑒 ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑗) + 𝑒))))
4140ralbidva 2473 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < 𝑒 ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑗) + 𝑒))))
42 nnuz 9552 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
43 1zzd 9269 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℤ)
44 nnex 8914 . . . . . . . 8 ℕ ∈ V
4544a1i 9 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ℕ ∈ V)
46 reex 7936 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
4746a1i 9 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ℝ ∈ V)
48 fex2 5380 . . . . . . 7 ((𝐹:ℕ⟶ℝ ∧ ℕ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
4924, 45, 47, 48syl3anc 1238 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ V)
50 eqidd 2178 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) = (𝐹𝑗))
5129recnd 7976 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
5224ffvelcdmda 5647 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
5352recnd 7976 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
5442, 43, 49, 50, 51, 53clim2c 11276 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦 ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < 𝑒))
55 climrel 11272 . . . . . 6 Rel ⇝
5655releldmi 4862 . . . . 5 (𝐹𝑦𝐹 ∈ dom ⇝ )
5754, 56syl6bir 164 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < 𝑒𝐹 ∈ dom ⇝ ))
5841, 57sylbird 170 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑗) + 𝑒)) → 𝐹 ∈ dom ⇝ ))
5958impr 379 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑗) + 𝑒)))) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
6023, 59rexlimddv 2599 1 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  Vcvv 2737   class class class wbr 4000  dom cdm 4623  wf 5208  cfv 5212  (class class class)co 5869  cr 7801  1c1 7803   + caddc 7805   < clt 7982  cmin 8118   / cdiv 8618  cn 8908  cuz 9517  +crp 9640  abscabs 10990  cli 11270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-rp 9641  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-clim 11271
This theorem is referenced by:  climcvg1nlem  11341
  Copyright terms: Public domain W3C validator