Theorem climrecvg1n 11530

Description: A Cauchy sequence of real numbers converges, existence version. The rate of convergence is fixed: all terms after the nth term must be within 𝐶 / 𝑛 of the nth term, where 𝐶 is a constant multiplier. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climrecvg1n.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
climrecvg1n.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
climrecvg1n.cau	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))

Assertion

Ref	Expression
climrecvg1n	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝐶,𝑘,𝑛   𝑘,𝐹,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛

Proof of Theorem climrecvg1n

Dummy variables 𝑒 𝑖 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climrecvg1n.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
2		climrecvg1n.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
3		climrecvg1n.cau	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))
4	3	r19.21bi 2585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))
5	4	r19.21bi 2585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))
6	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
7		eluznn 9691	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
8	7	adantll 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
9	6, 8	ffvelcdmd 5701	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
10		simplr 528	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ)
11	6, 10	ffvelcdmd 5701	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
12	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝐶 ∈ ℝ+)
13	10	nnrpd 9786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
14	12, 13	rpdivcld 9806	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐶 / 𝑛) ∈ ℝ+)
15	14	rpred 9788	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐶 / 𝑛) ∈ ℝ)
16	9, 11, 15	absdifltd 11360	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛) ↔ (((𝐹‘𝑛) − (𝐶 / 𝑛)) < (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (𝐶 / 𝑛)))))
17	5, 16	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (((𝐹‘𝑛) − (𝐶 / 𝑛)) < (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
18	11, 15, 9	ltsubaddd 8585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (((𝐹‘𝑛) − (𝐶 / 𝑛)) < (𝐹‘𝑘) ↔ (𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / 𝑛))))
19	18	anbi1d 465	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((((𝐹‘𝑛) − (𝐶 / 𝑛)) < (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (𝐶 / 𝑛))) ↔ ((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (𝐶 / 𝑛)))))
20	17, 19	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
21	20	ralrimiva 2570	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
22	21	ralrimiva 2570	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
23	1, 2, 22	cvg1n 11168	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑗) + 𝑒)))
24	1	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
25	24	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
26		eluznn 9691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑗 ∈ ℕ)
27	26	adantll 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑗 ∈ ℕ)
28	25, 27	ffvelcdmd 5701	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)
29		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
30	29	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑦 ∈ ℝ)
31		simpllr 534	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
32	31	rpred 9788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑒 ∈ ℝ)
33	28, 30, 32	absdifltd 11360	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → ((abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < 𝑒 ↔ ((𝑦 − 𝑒) < (𝐹‘𝑗) ∧ (𝐹‘𝑗) < (𝑦 + 𝑒))))
34	30, 32, 28	ltsubaddd 8585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → ((𝑦 − 𝑒) < (𝐹‘𝑗) ↔ 𝑦 < ((𝐹‘𝑗) + 𝑒)))
35	34	anbi1d 465	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → (((𝑦 − 𝑒) < (𝐹‘𝑗) ∧ (𝐹‘𝑗) < (𝑦 + 𝑒)) ↔ (𝑦 < ((𝐹‘𝑗) + 𝑒) ∧ (𝐹‘𝑗) < (𝑦 + 𝑒))))
36	33, 35	bitrd 188	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → ((abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < 𝑒 ↔ (𝑦 < ((𝐹‘𝑗) + 𝑒) ∧ (𝐹‘𝑗) < (𝑦 + 𝑒))))
37		ancom 266	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 < ((𝐹‘𝑗) + 𝑒) ∧ (𝐹‘𝑗) < (𝑦 + 𝑒)) ↔ ((𝐹‘𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑗) + 𝑒)))
38	36, 37	bitrdi 196	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → ((abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < 𝑒 ↔ ((𝐹‘𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑗) + 𝑒))))
39	38	ralbidva 2493	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < 𝑒 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑗) + 𝑒))))
40	39	rexbidva 2494	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < 𝑒 ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑗) + 𝑒))))
41	40	ralbidva 2493	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < 𝑒 ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑗) + 𝑒))))
42		nnuz 9654	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
43		1zzd 9370	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℤ)
44		nnex 9013	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ∈ V
45	44	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ℕ ∈ V)
46		reex 8030	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ V
47	46	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ℝ ∈ V)
48		fex2 5429	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℝ ∧ ℕ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
49	24, 45, 47, 48	syl3anc 1249	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ V)
50		eqidd 2197	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑗) = (𝐹‘𝑗))
51	29	recnd 8072	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
52	24	ffvelcdmda 5700	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)
53	52	recnd 8072	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ)
54	42, 43, 49, 50, 51, 53	clim2c 11466	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹 ⇝ 𝑦 ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < 𝑒))
55		climrel 11462	. . . . . 6 ⊢ Rel ⇝
56	55	releldmi 4906	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝑦 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
57	54, 56	biimtrrdi 164	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < 𝑒 → 𝐹 ∈ dom ⇝ ))
58	41, 57	sylbird 170	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑗) + 𝑒)) → 𝐹 ∈ dom ⇝ ))
59	58	impr 379	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑗) + 𝑒)))) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
60	23, 59	rexlimddv 2619	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  ∃wrex 2476  Vcvv 2763   class class class wbr 4034  dom cdm 4664  ⟶wf 5255  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  ℝcr 7895  1c1 7897   + caddc 7899   < clt 8078   − cmin 8214   / cdiv 8716  ℕcn 9007  ℤ_≥cuz 9618  ℝ⁺crp 9745  abscabs 11179   ⇝ cli 11460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-rp 9746  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-clim 11461

This theorem is referenced by:  climcvg1nlem  11531