Theorem eulerth 12958

Description: Euler's theorem, a generalization of Fermat's little theorem. If 𝐴 and 𝑁 are coprime, then 𝐴↑ϕ(𝑁)≡1 (mod 𝑁). This is Metamath 100 proof #10. Also called Euler-Fermat theorem, see theorem 5.17 in [ApostolNT] p. 113. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
eulerth	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))

Proof of Theorem eulerth

Dummy variables 𝑓 𝑦 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phicl 12940	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ)
2	1	nnnn0d 9573	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0)
3		hashfz1 11174	. . . . . . 7 ⊢ ((ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(ϕ‘𝑁))) = (ϕ‘𝑁))
4	2, 3	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(1...(ϕ‘𝑁))) = (ϕ‘𝑁))
5		dfphi2 12945	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) = (♯‘{𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1}))
6	4, 5	eqtrd 2267	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(1...(ϕ‘𝑁))) = (♯‘{𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1}))
7	6	3ad2ant1 1045	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (♯‘(1...(ϕ‘𝑁))) = (♯‘{𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1}))
8		1zzd 9624	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 1 ∈ ℤ)
9	1	3ad2ant1 1045	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ)
10	9	nnzd 9720	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℤ)
11	8, 10	fzfigd 10820	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (1...(ϕ‘𝑁)) ∈ Fin)
12		id 19	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
13		oveq1 6065	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (𝑘 gcd 𝑁) = (𝑦 gcd 𝑁))
14	13	eqeq1d 2243	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → ((𝑘 gcd 𝑁) = 1 ↔ (𝑦 gcd 𝑁) = 1))
15	14	cbvrabv 2814	. . . . . 6 ⊢ {𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1} = {𝑦 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑦 gcd 𝑁) = 1}
16	12, 15	eulerthlemfi 12953	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → {𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1} ∈ Fin)
17		hashen 11175	. . . . 5 ⊢ (((1...(ϕ‘𝑁)) ∈ Fin ∧ {𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1} ∈ Fin) → ((♯‘(1...(ϕ‘𝑁))) = (♯‘{𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1}) ↔ (1...(ϕ‘𝑁)) ≈ {𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1}))
18	11, 16, 17	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((♯‘(1...(ϕ‘𝑁))) = (♯‘{𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1}) ↔ (1...(ϕ‘𝑁)) ≈ {𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1}))
19	7, 18	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (1...(ϕ‘𝑁)) ≈ {𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1})
20		bren 6996	. . 3 ⊢ ((1...(ϕ‘𝑁)) ≈ {𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1} ↔ ∃𝑓 𝑓:(1...(ϕ‘𝑁))–1-1-onto→{𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1})
21	19, 20	sylib 122	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ∃𝑓 𝑓:(1...(ϕ‘𝑁))–1-1-onto→{𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1})
22		simpl 109	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑓:(1...(ϕ‘𝑁))–1-1-onto→{𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1}) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
23		simpr 110	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑓:(1...(ϕ‘𝑁))–1-1-onto→{𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1}) → 𝑓:(1...(ϕ‘𝑁))–1-1-onto→{𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1})
24	22, 15, 23	eulerthlemth 12957	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑓:(1...(ϕ‘𝑁))–1-1-onto→{𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1}) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))
25	21, 24	exlimddv 1950	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2205  {crab 2526   class class class wbr 4114  –1-1-onto→wf1o 5356  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058   ≈ cen 6986  Fincfn 6988  0cc0 8143  1c1 8144  ℕcn 9257  ℕ₀cn0 9516  ℤcz 9597  ...cfz 10364  ..^cfzo 10501   mod cmo 10711  ↑cexp 10927  ♯chash 11166   gcd cgcd 12677  ϕcphi 12934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-frec 6635  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-sup 7288  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8463  df-neg 8464  df-reap 8867  df-ap 8874  df-div 8967  df-inn 9258  df-2 9316  df-3 9317  df-4 9318  df-n0 9517  df-z 9598  df-uz 9875  df-q 9973  df-rp 10008  df-fz 10365  df-fzo 10502  df-fl 10657  df-mod 10712  df-seqfrec 10837  df-exp 10928  df-ihash 11167  df-cj 11555  df-re 11556  df-im 11557  df-rsqrt 11711  df-abs 11712  df-clim 11992  df-proddc 12265  df-dvds 12502  df-gcd 12678  df-phi 12936

This theorem is referenced by:  fermltl  12959  prmdiv  12960  odzcllem  12968  odzphi  12972  vfermltl  12977  lgslem1  16002