Theorem eulerth 12161

Description: Euler's theorem, a generalization of Fermat's little theorem. If 𝐴 and 𝑁 are coprime, then 𝐴↑ϕ(𝑁)≡1 (mod 𝑁). This is Metamath 100 proof #10. Also called Euler-Fermat theorem, see theorem 5.17 in [ApostolNT] p. 113. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
eulerth	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))

Proof of Theorem eulerth

Dummy variables 𝑓 𝑦 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phicl 12143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ)
2	1	nnnn0d 9163	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0)
3		hashfz1 10692	. . . . . . 7 ⊢ ((ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(ϕ‘𝑁))) = (ϕ‘𝑁))
4	2, 3	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(1...(ϕ‘𝑁))) = (ϕ‘𝑁))
5		dfphi2 12148	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) = (♯‘{𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1}))
6	4, 5	eqtrd 2198	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(1...(ϕ‘𝑁))) = (♯‘{𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1}))
7	6	3ad2ant1 1008	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (♯‘(1...(ϕ‘𝑁))) = (♯‘{𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1}))
8		1zzd 9214	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 1 ∈ ℤ)
9	1	3ad2ant1 1008	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ)
10	9	nnzd 9308	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℤ)
11	8, 10	fzfigd 10362	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (1...(ϕ‘𝑁)) ∈ Fin)
12		id 19	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
13		oveq1 5848	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (𝑘 gcd 𝑁) = (𝑦 gcd 𝑁))
14	13	eqeq1d 2174	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → ((𝑘 gcd 𝑁) = 1 ↔ (𝑦 gcd 𝑁) = 1))
15	14	cbvrabv 2724	. . . . . 6 ⊢ {𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1} = {𝑦 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑦 gcd 𝑁) = 1}
16	12, 15	eulerthlemfi 12156	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → {𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1} ∈ Fin)
17		hashen 10693	. . . . 5 ⊢ (((1...(ϕ‘𝑁)) ∈ Fin ∧ {𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1} ∈ Fin) → ((♯‘(1...(ϕ‘𝑁))) = (♯‘{𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1}) ↔ (1...(ϕ‘𝑁)) ≈ {𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1}))
18	11, 16, 17	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((♯‘(1...(ϕ‘𝑁))) = (♯‘{𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1}) ↔ (1...(ϕ‘𝑁)) ≈ {𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1}))
19	7, 18	mpbid 146	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (1...(ϕ‘𝑁)) ≈ {𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1})
20		bren 6709	. . 3 ⊢ ((1...(ϕ‘𝑁)) ≈ {𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1} ↔ ∃𝑓 𝑓:(1...(ϕ‘𝑁))–1-1-onto→{𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1})
21	19, 20	sylib 121	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ∃𝑓 𝑓:(1...(ϕ‘𝑁))–1-1-onto→{𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1})
22		simpl 108	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑓:(1...(ϕ‘𝑁))–1-1-onto→{𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1}) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
23		simpr 109	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑓:(1...(ϕ‘𝑁))–1-1-onto→{𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1}) → 𝑓:(1...(ϕ‘𝑁))–1-1-onto→{𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1})
24	22, 15, 23	eulerthlemth 12160	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑓:(1...(ϕ‘𝑁))–1-1-onto→{𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑘 gcd 𝑁) = 1}) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))
25	21, 24	exlimddv 1886	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 968   = wceq 1343  ∃wex 1480   ∈ wcel 2136  {crab 2447   class class class wbr 3981  –1-1-onto→wf1o 5186  ‘cfv 5187  (class class class)co 5841   ≈ cen 6700  Fincfn 6702  0cc0 7749  1c1 7750  ℕcn 8853  ℕ₀cn0 9110  ℤcz 9187  ...cfz 9940  ..^cfzo 10073   mod cmo 10253  ↑cexp 10450  ♯chash 10684   gcd cgcd 11871  ϕcphi 12137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4096  ax-sep 4099  ax-nul 4107  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-iinf 4564  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-mulrcl 7848  ax-addcom 7849  ax-mulcom 7850  ax-addass 7851  ax-mulass 7852  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-1rid 7856  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-precex 7859  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-apti 7864  ax-pre-ltadd 7865  ax-pre-mulgt0 7866  ax-pre-mulext 7867  ax-arch 7868  ax-caucvg 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rmo 2451  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-csb 3045  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-nul 3409  df-if 3520  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-iun 3867  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-tr 4080  df-id 4270  df-po 4273  df-iso 4274  df-iord 4343  df-on 4345  df-ilim 4346  df-suc 4348  df-iom 4567  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-f1 5192  df-fo 5193  df-f1o 5194  df-fv 5195  df-isom 5196  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-1st 6105  df-2nd 6106  df-recs 6269  df-irdg 6334  df-frec 6355  df-1o 6380  df-oadd 6384  df-er 6497  df-en 6703  df-dom 6704  df-fin 6705  df-sup 6945  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-reap 8469  df-ap 8476  df-div 8565  df-inn 8854  df-2 8912  df-3 8913  df-4 8914  df-n0 9111  df-z 9188  df-uz 9463  df-q 9554  df-rp 9586  df-fz 9941  df-fzo 10074  df-fl 10201  df-mod 10254  df-seqfrec 10377  df-exp 10451  df-ihash 10685  df-cj 10780  df-re 10781  df-im 10782  df-rsqrt 10936  df-abs 10937  df-clim 11216  df-proddc 11488  df-dvds 11724  df-gcd 11872  df-phi 12139

This theorem is referenced by:  fermltl  12162  prmdiv  12163  odzcllem  12170  odzphi  12174  vfermltl  12179  lgslem1  13501