Theorem gsumsncmn 14208

Description: Group sum of a singleton. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Apr-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumsncmn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumsncmn.s	⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
gsumsncmn	⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem gsumsncmn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumsncmn.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		simp1 1028	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ CMnd)
3		elsni 3727	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} → 𝑘 = 𝑀)
4		gsumsncmn.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐶)
5	3, 4	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} → 𝐴 = 𝐶)
6	5	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝐴 = 𝐶)
7		simpl3 1033	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝐶 ∈ 𝐵)
8	6, 7	eqeltrd 2315	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝐴 ∈ 𝐵)
9	8	fmpttd 5863	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴):{𝑀}⟶𝐵)
10		snfig 7103	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → {𝑀} ∈ Fin)
11	10	3ad2ant2 1050	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → {𝑀} ∈ Fin)
12		1z 9675	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
13		simp2 1029	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ 𝑉)
14		f1osng 5682	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) → {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
15	12, 13, 14	sylancr 418	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
16		fmptsn 5904	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) → {⟨1, 𝑀⟩} = (𝑥 ∈ {1} ↦ 𝑀))
17	12, 13, 16	sylancr 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → {⟨1, 𝑀⟩} = (𝑥 ∈ {1} ↦ 𝑀))
18	17	eqcomd 2244	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ {1} ↦ 𝑀) = {⟨1, 𝑀⟩})
19		hashsng 11253	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝑀}) = 1)
20	19	oveq2d 6101	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → (1...(♯‘{𝑀})) = (1...1))
21		fzsn 10483	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
22	12, 21	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (1...1) = {1}
23	20, 22	eqtrdi 2287	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → (1...(♯‘{𝑀})) = {1})
24	23	3ad2ant2 1050	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (1...(♯‘{𝑀})) = {1})
25		eqidd 2239	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → {𝑀} = {𝑀})
26	18, 24, 25	f1oeq123d 5633	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ {1} ↦ 𝑀):(1...(♯‘{𝑀}))–1-1-onto→{𝑀} ↔ {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀}))
27	15, 26	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ {1} ↦ 𝑀):(1...(♯‘{𝑀}))–1-1-onto→{𝑀})
28	1, 2, 9, 11, 27	gsumvalfi 14204	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σgz ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ∘ (𝑥 ∈ {1} ↦ 𝑀))))
29		snidg 3738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ {𝑀})
30	29	3ad2ant2 1050	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ {𝑀})
31	30	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ {1}) → 𝑀 ∈ {𝑀})
32	9, 31	cofmpt 5877	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ∘ (𝑥 ∈ {1} ↦ 𝑀)) = (𝑥 ∈ {1} ↦ ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)‘𝑀)))
33		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)
34		simp3 1030	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
35	33, 4, 30, 34	fvmptd3 5799	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)‘𝑀) = 𝐶)
36	35	mpteq2dv 4222	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ {1} ↦ ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)‘𝑀)) = (𝑥 ∈ {1} ↦ 𝐶))
37	32, 36	eqtrd 2271	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ∘ (𝑥 ∈ {1} ↦ 𝑀)) = (𝑥 ∈ {1} ↦ 𝐶))
38	37	oveq2d 6101	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σgz ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ∘ (𝑥 ∈ {1} ↦ 𝑀))) = (𝐺 Σgz (𝑥 ∈ {1} ↦ 𝐶)))
39	2	cmnmndd 14163	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Mnd)
40		1zzd 9676	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 1 ∈ ℤ)
41		eqidd 2239	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 1) → 𝐶 = 𝐶)
42		nfv 1581	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)
43		nfcv 2392	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
44	1, 39, 40, 34, 41, 42, 43	gzsumsnfd 14199	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σgz (𝑥 ∈ {1} ↦ 𝐶)) = 𝐶)
45	28, 38, 44	3eqtrd 2275	1 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {csn 3709  ⟨cop 3712   ↦ cmpt 4192   ∘ ccom 4778  –1-1-onto→wf1o 5376  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  Fincfn 7022  1c1 8181  ℤcz 9649  ...cfz 10422  ♯chash 11230  Basecbs 13404   Σ_gz cgzsu 13663  CMndccmn 14139   Σ_g cgsu 14202

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-inn 9308  df-2 9366  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-fz 10423  df-fzo 10561  df-seqfrec 10900  df-ihash 11231  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-plusg 13496  df-0g 13664  df-gzsum 13665  df-mgm 13728  df-sgrp 13769  df-mnd 13782  df-minusg 13861  df-mulg 13975  df-cmn 14141  df-gsumfi 14203

This theorem is used by: (None)