Theorem gsumsncmn 14133

Description: Group sum of a singleton. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Apr-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumsncmn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumsncmn.s	⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
gsumsncmn	⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem gsumsncmn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumsncmn.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		simp1 1028	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ CMnd)
3		elsni 3723	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} → 𝑘 = 𝑀)
4		gsumsncmn.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐶)
5	3, 4	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} → 𝐴 = 𝐶)
6	5	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝐴 = 𝐶)
7		simpl3 1033	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝐶 ∈ 𝐵)
8	6, 7	eqeltrd 2315	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝐴 ∈ 𝐵)
9	8	fmpttd 5854	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴):{𝑀}⟶𝐵)
10		snfig 7093	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → {𝑀} ∈ Fin)
11	10	3ad2ant2 1050	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → {𝑀} ∈ Fin)
12		1z 9649	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
13		simp2 1029	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ 𝑉)
14		f1osng 5677	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) → {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
15	12, 13, 14	sylancr 418	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
16		fmptsn 5895	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) → {⟨1, 𝑀⟩} = (𝑥 ∈ {1} ↦ 𝑀))
17	12, 13, 16	sylancr 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → {⟨1, 𝑀⟩} = (𝑥 ∈ {1} ↦ 𝑀))
18	17	eqcomd 2244	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ {1} ↦ 𝑀) = {⟨1, 𝑀⟩})
19		hashsng 11215	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝑀}) = 1)
20	19	oveq2d 6091	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → (1...(♯‘{𝑀})) = (1...1))
21		fzsn 10450	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
22	12, 21	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (1...1) = {1}
23	20, 22	eqtrdi 2287	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → (1...(♯‘{𝑀})) = {1})
24	23	3ad2ant2 1050	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (1...(♯‘{𝑀})) = {1})
25		eqidd 2239	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → {𝑀} = {𝑀})
26	18, 24, 25	f1oeq123d 5628	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ {1} ↦ 𝑀):(1...(♯‘{𝑀}))–1-1-onto→{𝑀} ↔ {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀}))
27	15, 26	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ {1} ↦ 𝑀):(1...(♯‘{𝑀}))–1-1-onto→{𝑀})
28	1, 2, 9, 11, 27	gsumvalfi 14129	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σgz ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ∘ (𝑥 ∈ {1} ↦ 𝑀))))
29		snidg 3734	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ {𝑀})
30	29	3ad2ant2 1050	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ {𝑀})
31	30	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ {1}) → 𝑀 ∈ {𝑀})
32	9, 31	cofmpt 5868	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ∘ (𝑥 ∈ {1} ↦ 𝑀)) = (𝑥 ∈ {1} ↦ ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)‘𝑀)))
33		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)
34		simp3 1030	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
35	33, 4, 30, 34	fvmptd3 5793	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)‘𝑀) = 𝐶)
36	35	mpteq2dv 4217	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ {1} ↦ ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)‘𝑀)) = (𝑥 ∈ {1} ↦ 𝐶))
37	32, 36	eqtrd 2271	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ∘ (𝑥 ∈ {1} ↦ 𝑀)) = (𝑥 ∈ {1} ↦ 𝐶))
38	37	oveq2d 6091	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σgz ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ∘ (𝑥 ∈ {1} ↦ 𝑀))) = (𝐺 Σgz (𝑥 ∈ {1} ↦ 𝐶)))
39	2	cmnmndd 14088	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Mnd)
40		1zzd 9650	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 1 ∈ ℤ)
41		eqidd 2239	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 1) → 𝐶 = 𝐶)
42		nfv 1581	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)
43		nfcv 2392	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
44	1, 39, 40, 34, 41, 42, 43	gzsumsnfd 14124	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σgz (𝑥 ∈ {1} ↦ 𝐶)) = 𝐶)
45	28, 38, 44	3eqtrd 2275	1 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {csn 3705  ⟨cop 3708   ↦ cmpt 4187   ∘ ccom 4773  –1-1-onto→wf1o 5371  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  Fincfn 7012  1c1 8170  ℤcz 9623  ...cfz 10390  ♯chash 11192  Basecbs 13330   Σ_gz cgzsu 13588  CMndccmn 14064   Σ_g cgsu 14127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-1o 6677  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-inn 9284  df-2 9342  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-seqfrec 10863  df-ihash 11193  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-plusg 13421  df-0g 13589  df-gzsum 13590  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-minusg 13786  df-mulg 13900  df-cmn 14066  df-gsumfi 14128

This theorem is referenced by: (None)