Theorem prmnn 12305

Description: A prime number is a positive integer. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
prmnn	⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)

Proof of Theorem prmnn

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm 12304	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 𝑧 ∥ 𝑃} ≈ 2o))
2	1	simplbi 274	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  {crab 2479   class class class wbr 4034  2_oc2o 6477   ≈ cen 6806  ℕcn 9009   ∥ cdvds 11971  ℙcprime 12302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rab 2484  df-v 2765  df-un 3161  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-br 4035  df-prm 12303

This theorem is referenced by:  prmz  12306  prmssnn  12307  nprmdvds1  12335  isprm5lem  12336  isprm5  12337  coprm  12339  euclemma  12341  prmdvdsexpr  12345  cncongrprm  12352  phiprmpw  12417  fermltl  12429  prmdiv  12430  prmdiveq  12431  prmdivdiv  12432  m1dvdsndvds  12444  vfermltl  12447  powm2modprm  12448  reumodprminv  12449  modprm0  12450  nnnn0modprm0  12451  modprmn0modprm0  12452  oddprm  12455  nnoddn2prm  12456  prm23lt5  12459  pcpremul  12489  pcdvdsb  12516  pcelnn  12517  pcidlem  12519  pcid  12520  pcdvdstr  12523  pcgcd1  12524  pcprmpw2  12529  dvdsprmpweqnn  12532  dvdsprmpweqle  12533  pcaddlem  12535  pcadd  12536  pcmptcl  12538  pcmpt  12539  pcmpt2  12540  pcfaclem  12545  pcfac  12546  pcbc  12547  expnprm  12549  oddprmdvds  12550  prmpwdvds  12551  pockthlem  12552  pockthg  12553  pockthi  12554  1arith  12563  4sqlem11  12597  4sqlem12  12598  4sqlem13m  12599  4sqlem14  12600  4sqlem17  12603  4sqlem18  12604  4sqlem19  12605  znidom  14291  wilthlem1  15324  dvdsppwf1o  15333  sgmppw  15336  0sgmppw  15337  1sgmprm  15338  mersenne  15341  perfect1  15342  perfect  15345  lgslem1  15349  lgslem4  15352  lgsval  15353  lgsval2lem  15359  lgsvalmod  15368  lgsmod  15375  lgsdirprm  15383  lgsne0  15387  lgsprme0  15391  gausslemma2dlem0c  15400  gausslemma2dlem1a  15407  gausslemma2dlem5a  15414  lgseisenlem1  15419  lgseisenlem2  15420  lgseisenlem3  15421  lgseisenlem4  15422  lgsquadlem1  15426  lgsquadlem3  15428  lgsquad2lem2  15431  lgsquad2  15432  m1lgs  15434  2lgslem1a  15437  2lgslem1c  15439  2lgs  15453  2sqlem3  15466  2sqlem8  15472