Theorem prmnn 12038

Description: A prime number is a positive integer. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
prmnn	⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)

Proof of Theorem prmnn

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm 12037	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 𝑧 ∥ 𝑃} ≈ 2o))
2	1	simplbi 272	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2136  {crab 2447   class class class wbr 3981  2_oc2o 6374   ≈ cen 6700  ℕcn 8853   ∥ cdvds 11723  ℙcprime 12035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ral 2448  df-rab 2452  df-v 2727  df-un 3119  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-br 3982  df-prm 12036

This theorem is referenced by:  prmz  12039  prmssnn  12040  nprmdvds1  12068  isprm5lem  12069  isprm5  12070  coprm  12072  euclemma  12074  prmdvdsexpr  12078  cncongrprm  12085  phiprmpw  12150  fermltl  12162  prmdiv  12163  prmdiveq  12164  prmdivdiv  12165  m1dvdsndvds  12176  vfermltl  12179  powm2modprm  12180  reumodprminv  12181  modprm0  12182  nnnn0modprm0  12183  modprmn0modprm0  12184  oddprm  12187  nnoddn2prm  12188  prm23lt5  12191  pcpremul  12221  pcdvdsb  12247  pcelnn  12248  pcidlem  12250  pcid  12251  pcdvdstr  12254  pcgcd1  12255  pcprmpw2  12260  dvdsprmpweqnn  12263  dvdsprmpweqle  12264  pcaddlem  12266  pcadd  12267  pcmptcl  12268  pcmpt  12269  pcmpt2  12270  pcfaclem  12275  pcfac  12276  pcbc  12277  expnprm  12279  oddprmdvds  12280  prmpwdvds  12281  pockthlem  12282  pockthg  12283  pockthi  12284  1arith  12293  lgslem1  13501  lgslem4  13504  lgsval  13505  lgsval2lem  13511  lgsvalmod  13520  lgsmod  13527  lgsdirprm  13535  lgsne0  13539  lgsprme0  13543  2sqlem3  13553  2sqlem8  13559