Theorem prmnn 12913

Description: A prime number is a positive integer. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
prmnn	⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)

Proof of Theorem prmnn

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm 12912	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 𝑧 ∥ 𝑃} ≈ 2o))
2	1	simplbi 274	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  {crab 2532   class class class wbr 4131  2_oc2o 6685   ≈ cen 7024  ℕcn 9313   ∥ cdvds 12579  ℙcprime 12910

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4132  df-prm 12911

This theorem is used by:  prmz  12914  prmssnn  12915  prmdcz  12934  nprmdvds1  12944  isprm5lem  12945  isprm5  12946  coprm  12948  euclemma  12950  prmdvdsexpr  12954  cncongrprm  12961  phiprmpw  13029  fermltl  13041  prmdiv  13042  prmdiveq  13043  prmdivdiv  13044  m1dvdsndvds  13056  vfermltl  13059  powm2modprm  13060  reumodprminv  13061  modprm0  13062  nnnn0modprm0  13063  modprmn0modprm0  13064  oddprm  13067  nnoddn2prm  13068  prm23lt5  13071  pcpremul  13101  pcdvdsb  13128  pcelnn  13129  pcidlem  13131  pcid  13132  pcdvdstr  13135  pcgcd1  13136  pcprmpw2  13141  dvdsprmpweqnn  13144  dvdsprmpweqle  13145  pcaddlem  13147  pcadd  13148  pcmptcl  13150  pcmpt  13151  pcmpt2  13152  pcfaclem  13157  pcfac  13158  pcbc  13159  expnprm  13161  oddprmdvds  13162  prmpwdvds  13163  pockthlem  13164  pockthg  13165  pockthi  13166  1arith  13175  4sqlem11  13209  4sqlem12  13210  4sqlem13m  13211  4sqlem14  13212  4sqlem17  13215  4sqlem18  13216  4sqlem19  13217  prmlem1a  13250  znidom  15101  zprmlogbaplem1  16215  zprmlogbaplem2  16216  zprmlogbaplem3  16217  wilthlem1  16232  chtqcl  16244  chtqval  16245  efchtqcl  16246  chtprm  16261  chtdif  16264  efchtqdvds  16265  dvdsppwf1o  16283  sgmppw  16286  0sgmppw  16287  1sgmprm  16288  chtqleppi  16294  chtublem  16295  mersenne  16297  perfect1  16298  perfect  16301  pcbcctr  16303  prmefexple  16308  bpos1lem  16309  bposlem1  16311  bposlem2  16312  bposlem6  16316  bpos  16320  lgslem1  16324  lgslem4  16327  lgsval  16328  lgsval2lem  16334  lgsvalmod  16343  lgsmod  16350  lgsdirprm  16358  lgsne0  16362  lgsprme0  16366  gausslemma2dlem0c  16375  gausslemma2dlem1a  16382  gausslemma2dlem5a  16389  lgseisenlem1  16394  lgseisenlem2  16395  lgseisenlem3  16396  lgseisenlem4  16397  lgsquadlem1  16401  lgsquadlem3  16403  lgsquad2lem2  16406  lgsquad2  16407  m1lgs  16409  2lgslem1a  16412  2lgslem1c  16414  2lgs  16428  2sqlem3  16441  2sqlem8  16447