Theorem sumrbdc 12165

Description: Rebase the starting point of a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 9-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
isummo.1	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
isummo.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
isumrb.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
isumrb.5	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
isumrb.6	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
isumrb.7	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁))
isumrb.mdc	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
isumrb.ndc	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
sumrbdc	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem sumrbdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumrb.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		seqex 10901	. . . 4 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V
4		climres 12088	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V) → ((seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
5	2, 3, 4	sylancl 417	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
6		isumrb.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁))
7		isummo.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
8		isummo.2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
9	8	adantlr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
10		isumrb.mdc	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
11	10	adantlr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
12		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
13	7, 9, 11, 12	sumrbdclem 12163	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) = seq𝑁( + , 𝐹))
14	6, 13	mpidan 427	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) = seq𝑁( + , 𝐹))
15	14	breq1d 4140	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
16	5, 15	bitr3d 190	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
17		isumrb.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
18	8	adantlr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
19		isumrb.ndc	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
20	19	adantlr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
21		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
22	7, 18, 20, 21	sumrbdclem 12163	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq𝑁( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑀)) = seq𝑀( + , 𝐹))
23	17, 22	mpidan 427	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (seq𝑁( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑀)) = seq𝑀( + , 𝐹))
24	23	breq1d 4140	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((seq𝑁( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
25		isumrb.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
26	25	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
27		seqex 10901	. . . 4 ⊢ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ V
28		climres 12088	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ V) → ((seq𝑁( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
29	26, 27, 28	sylancl 417	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((seq𝑁( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
30	24, 29	bitr3d 190	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
31		uztric 9954	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
32	25, 1, 31	syl2anc 415	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
33	16, 30, 32	mpjaodan 810	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220  ifcif 3638   class class class wbr 4130   ↦ cmpt 4192   ↾ cres 4776  ‘cfv 5377  ℂcc 8178  0cc0 8180   + caddc 8183  ℤcz 9649  ℤ_≥cuz 9931  seqcseq 10899   ⇝ cli 12063

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-inn 9308  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-fz 10423  df-fzo 10561  df-seqfrec 10900  df-clim 12064

This theorem is used by:  summodc  12169  zsumdc  12170