ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sumrbdc GIF version

Theorem sumrbdc 11342
Description: Rebase the starting point of a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 9-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
isummo.1 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
isummo.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
isumrb.4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isumrb.5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
isumrb.6 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
isumrb.7 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁))
isumrb.mdc ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑘𝐴)
isumrb.ndc ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → DECID 𝑘𝐴)
Assertion
Ref Expression
sumrbdc (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem sumrbdc
StepHypRef Expression
1 isumrb.5 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
21adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 seqex 10403 . . . 4 seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V
4 climres 11266 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V) → ((seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
52, 3, 4sylancl 411 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → ((seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
6 isumrb.7 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁))
7 isummo.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
8 isummo.2 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
98adantlr 474 . . . . . 6 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
10 isumrb.mdc . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑘𝐴)
1110adantlr 474 . . . . . 6 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑘𝐴)
12 simpr 109 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
137, 9, 11, 12sumrbdclem 11340 . . . . 5 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) = seq𝑁( + , 𝐹))
146, 13mpidan 421 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) = seq𝑁( + , 𝐹))
1514breq1d 3999 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → ((seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
165, 15bitr3d 189 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
17 isumrb.6 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
188adantlr 474 . . . . . 6 (((𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
19 isumrb.ndc . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → DECID 𝑘𝐴)
2019adantlr 474 . . . . . 6 (((𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → DECID 𝑘𝐴)
21 simpr 109 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))
227, 18, 20, 21sumrbdclem 11340 . . . . 5 (((𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀)) → (seq𝑁( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝑀)) = seq𝑀( + , 𝐹))
2317, 22mpidan 421 . . . 4 ((𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → (seq𝑁( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝑀)) = seq𝑀( + , 𝐹))
2423breq1d 3999 . . 3 ((𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → ((seq𝑁( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝑀)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
25 isumrb.4 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2625adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
27 seqex 10403 . . . 4 seq𝑁( + , 𝐹) ∈ V
28 climres 11266 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ V) → ((seq𝑁( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝑀)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
2926, 27, 28sylancl 411 . . 3 ((𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → ((seq𝑁( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝑀)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
3024, 29bitr3d 189 . 2 ((𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
31 uztric 9508 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∨ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)))
3225, 1, 31syl2anc 409 . 2 (𝜑 → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∨ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)))
3316, 30, 32mpjaodan 793 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wo 703  DECID wdc 829   = wceq 1348  wcel 2141  Vcvv 2730  wss 3121  ifcif 3526   class class class wbr 3989  cmpt 4050  cres 4613  cfv 5198  cc 7772  0cc0 7774   + caddc 7777  cz 9212  cuz 9487  seqcseq 10401  cli 11241
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-clim 11242
This theorem is referenced by:  summodc  11346  zsumdc  11347
  Copyright terms: Public domain W3C validator