ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sumrbdc GIF version

Theorem sumrbdc 11389
Description: Rebase the starting point of a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 9-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
isummo.1 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
isummo.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
isumrb.4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isumrb.5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
isumrb.6 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
isumrb.7 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁))
isumrb.mdc ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑘𝐴)
isumrb.ndc ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → DECID 𝑘𝐴)
Assertion
Ref Expression
sumrbdc (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem sumrbdc
StepHypRef Expression
1 isumrb.5 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
21adantr 276 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 seqex 10449 . . . 4 seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V
4 climres 11313 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V) → ((seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
52, 3, 4sylancl 413 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → ((seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
6 isumrb.7 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁))
7 isummo.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
8 isummo.2 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
98adantlr 477 . . . . . 6 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
10 isumrb.mdc . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑘𝐴)
1110adantlr 477 . . . . . 6 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑘𝐴)
12 simpr 110 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
137, 9, 11, 12sumrbdclem 11387 . . . . 5 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) = seq𝑁( + , 𝐹))
146, 13mpidan 423 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) = seq𝑁( + , 𝐹))
1514breq1d 4015 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → ((seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
165, 15bitr3d 190 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
17 isumrb.6 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
188adantlr 477 . . . . . 6 (((𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
19 isumrb.ndc . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → DECID 𝑘𝐴)
2019adantlr 477 . . . . . 6 (((𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → DECID 𝑘𝐴)
21 simpr 110 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))
227, 18, 20, 21sumrbdclem 11387 . . . . 5 (((𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀)) → (seq𝑁( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝑀)) = seq𝑀( + , 𝐹))
2317, 22mpidan 423 . . . 4 ((𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → (seq𝑁( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝑀)) = seq𝑀( + , 𝐹))
2423breq1d 4015 . . 3 ((𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → ((seq𝑁( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝑀)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
25 isumrb.4 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2625adantr 276 . . . 4 ((𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
27 seqex 10449 . . . 4 seq𝑁( + , 𝐹) ∈ V
28 climres 11313 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ V) → ((seq𝑁( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝑀)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
2926, 27, 28sylancl 413 . . 3 ((𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → ((seq𝑁( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝑀)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
3024, 29bitr3d 190 . 2 ((𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
31 uztric 9551 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∨ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)))
3225, 1, 31syl2anc 411 . 2 (𝜑 → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∨ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)))
3316, 30, 32mpjaodan 798 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353  wcel 2148  Vcvv 2739  wss 3131  ifcif 3536   class class class wbr 4005  cmpt 4066  cres 4630  cfv 5218  cc 7811  0cc0 7813   + caddc 7816  cz 9255  cuz 9530  seqcseq 10447  cli 11288
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-seqfrec 10448  df-clim 11289
This theorem is referenced by:  summodc  11393  zsumdc  11394
  Copyright terms: Public domain W3C validator