Theorem n2dvdsm1 12440

Description: 2 does not divide -1. That means -1 is odd. (Contributed by AV, 15-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
n2dvdsm1	⊢ ¬ 2 ∥ -1

Proof of Theorem n2dvdsm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		z0even 12438	. . 3 ⊢ 2 ∥ 0
2		ax-1cn 8103	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
3		neg1cn 9226	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
4		1pneg1e0 9232	. . . 4 ⊢ (1 + -1) = 0
5	2, 3, 4	addcomli 8302	. . 3 ⊢ (-1 + 1) = 0
6	1, 5	breqtrri 4110	. 2 ⊢ 2 ∥ (-1 + 1)
7		neg1z 9489	. . 3 ⊢ -1 ∈ ℤ
8		oddp1even 12403	. . 3 ⊢ (-1 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ -1 ↔ 2 ∥ (-1 + 1)))
9	7, 8	ax-mp 5	. 2 ⊢ (¬ 2 ∥ -1 ↔ 2 ∥ (-1 + 1))
10	6, 9	mpbir 146	1 ⊢ ¬ 2 ∥ -1

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 105   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6007  0cc0 8010  1c1 8011   + caddc 8013  -cneg 8329  2c2 9172  ℤcz 9457   ∥ cdvds 12314

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-xor 1418  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-2 9180  df-n0 9381  df-z 9458  df-dvds 12315

This theorem is referenced by:  bitsfzo  12482