Theorem nn0le2is012 9454

Description: A nonnegative integer which is less than or equal to 2 is either 0 or 1 or 2. (Contributed by AV, 16-Mar-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nn0le2is012	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 2) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))

Proof of Theorem nn0le2is012

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 9391	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
2		2z 9399	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
3		zleloe 9418	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 2 ↔ (𝑁 < 2 ∨ 𝑁 = 2)))
4	1, 2, 3	sylancl 413	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 2 ↔ (𝑁 < 2 ∨ 𝑁 = 2)))
5		zltlem1 9429	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑁 < 2 ↔ 𝑁 ≤ (2 − 1)))
6	1, 2, 5	sylancl 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 2 ↔ 𝑁 ≤ (2 − 1)))
7		2m1e1 9153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 − 1) = 1
8	7	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 − 1) = 1)
9	8	breq2d 4055	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ (2 − 1) ↔ 𝑁 ≤ 1))
10	6, 9	bitrd 188	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 2 ↔ 𝑁 ≤ 1))
11		1z 9397	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
12		zleloe 9418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 1 ↔ (𝑁 < 1 ∨ 𝑁 = 1)))
13	1, 11, 12	sylancl 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 1 ↔ (𝑁 < 1 ∨ 𝑁 = 1)))
14		nn0lt10b 9452	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 1 ↔ 𝑁 = 0))
15		3mix1 1168	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))
16	14, 15	biimtrdi 163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
17	16	com12 30	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 < 1 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
18		3mix2 1169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))
19	18	a1d 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
20	17, 19	jaoi 717	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 < 1 ∨ 𝑁 = 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
21	20	com12 30	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 < 1 ∨ 𝑁 = 1) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
22	13, 21	sylbid 150	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
23	10, 22	sylbid 150	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 2 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
24	23	com12 30	. . . . 5 ⊢ (𝑁 < 2 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
25		3mix3 1170	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 2 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))
26	25	a1d 22	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 2 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
27	24, 26	jaoi 717	. . . 4 ⊢ ((𝑁 < 2 ∨ 𝑁 = 2) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
28	27	com12 30	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 < 2 ∨ 𝑁 = 2) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
29	4, 28	sylbid 150	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 2 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
30	29	imp 124	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 2) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∨ w3o 979   = wceq 1372   ∈ wcel 2175   class class class wbr 4043  (class class class)co 5943  0cc0 7924  1c1 7925   < clt 8106   ≤ cle 8107   − cmin 8242  2c2 9086  ℕ₀cn0 9294  ℤcz 9371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-addass 8026  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-inn 9036  df-2 9094  df-n0 9295  df-z 9372

This theorem is referenced by:  xnn0le2is012  9987