ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnuz GIF version

Theorem nnuz 9368
Description: Positive integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
nnuz ℕ = (ℤ‘1)

Proof of Theorem nnuz
StepHypRef Expression
1 nnzrab 9085 . 2 ℕ = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘}
2 1z 9087 . . 3 1 ∈ ℤ
3 uzval 9335 . . 3 (1 ∈ ℤ → (ℤ‘1) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘})
42, 3ax-mp 5 . 2 (ℤ‘1) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘}
51, 4eqtr4i 2163 1 ℕ = (ℤ‘1)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1331  wcel 1480  {crab 2420   class class class wbr 3929  cfv 5123  1c1 7628  cle 7808  cn 8727  cz 9061  cuz 9333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-ltadd 7743
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-inn 8728  df-z 9062  df-uz 9334
This theorem is referenced by:  elnnuz  9369  eluz2nn  9371  uznnssnn  9379  eluznn  9401  fzssnn  9855  fseq1p1m1  9881  fz01or  9898  nnsplit  9921  elfzo1  9974  exp3vallem  10301  exp3val  10302  facnn  10480  fac0  10481  bcm1k  10513  bcval5  10516  bcpasc  10519  seq3coll  10592  recvguniq  10774  resqrexlemf  10786  climuni  11069  climrecvg1n  11124  climcvg1nlem  11125  summodclem3  11156  summodclem2a  11157  fsum3  11163  sum0  11164  isumz  11165  fsumcl2lem  11174  fsumadd  11182  fsummulc2  11224  isumnn0nn  11269  divcnv  11273  trireciplem  11276  trirecip  11277  expcnvap0  11278  expcnv  11280  geo2lim  11292  geoisum1  11295  geoisum1c  11296  cvgratnnlemnexp  11300  cvgratnnlemseq  11302  cvgratnnlemrate  11306  cvgratnn  11307  mertenslem2  11312  prodmodclem3  11351  prodmodclem2a  11352  ege2le3  11384  gcdsupex  11653  gcdsupcl  11654  lcmval  11751  lcmcllem  11755  lcmledvds  11758  isprm3  11806  phicl2  11897  phibndlem  11899  ennnfonelemjn  11922  lmtopcnp  12429  cvgcmp2nlemabs  13257  cvgcmp2n  13258  trilpolemcl  13260  trilpolemisumle  13261  trilpolemgt1  13262  trilpolemeq1  13263  trilpolemlt1  13264
  Copyright terms: Public domain W3C validator