Theorem nnuz 9699

Description: Positive integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnuz	⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)

Proof of Theorem nnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzrab 9411	. 2 ⊢ ℕ = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘}
2		1z 9413	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
3		uzval 9665	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (ℤ≥‘1) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘})
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℤ≥‘1) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘}
5	1, 4	eqtr4i 2230	1 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)

Syntax hints:   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  {crab 2489   class class class wbr 4050  ‘cfv 5279  1c1 7941   ≤ cle 8123  ℕcn 9051  ℤcz 9387  ℤ_≥cuz 9663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4169  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1cn 8033  ax-1re 8034  ax-icn 8035  ax-addcl 8036  ax-addrcl 8037  ax-mulcl 8038  ax-addcom 8040  ax-addass 8042  ax-distr 8044  ax-i2m1 8045  ax-0lt1 8046  ax-0id 8048  ax-rnegex 8049  ax-cnre 8051  ax-pre-ltirr 8052  ax-pre-ltwlin 8053  ax-pre-lttrn 8054  ax-pre-ltadd 8056

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-int 3891  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-id 4347  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fv 5287  df-riota 5911  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-pnf 8124  df-mnf 8125  df-xr 8126  df-ltxr 8127  df-le 8128  df-sub 8260  df-neg 8261  df-inn 9052  df-z 9388  df-uz 9664

This theorem is referenced by:  elnnuz  9700  eluz2nn  9702  uznnssnn  9713  eluznn  9736  fzssnn  10205  fseq1p1m1  10231  fz01or  10248  nnsplit  10274  elfzo1  10331  nninfdcex  10397  exp3vallem  10702  exp3val  10703  facnn  10889  fac0  10890  bcm1k  10922  bcval5  10925  bcpasc  10928  seq3coll  11004  recvguniq  11376  resqrexlemf  11388  climuni  11674  climrecvg1n  11729  climcvg1nlem  11730  summodclem3  11761  summodclem2a  11762  fsum3  11768  sum0  11769  isumz  11770  fsumcl2lem  11779  fsumadd  11787  fsummulc2  11829  isumnn0nn  11874  divcnv  11878  trireciplem  11881  trirecip  11882  expcnvap0  11883  expcnv  11885  geo2lim  11897  geoisum1  11900  geoisum1c  11901  cvgratnnlemnexp  11905  cvgratnnlemseq  11907  cvgratnnlemrate  11911  cvgratnn  11912  mertenslem2  11917  prodmodclem3  11956  prodmodclem2a  11957  fprodseq  11964  prod0  11966  prod1dc  11967  fprodssdc  11971  fprodmul  11972  ege2le3  12052  gcdsupex  12348  gcdsupcl  12349  nnmindc  12425  nnminle  12426  lcmval  12455  lcmcllem  12459  lcmledvds  12462  isprm3  12510  phicl2  12606  phibndlem  12608  odzcllem  12635  odzdvds  12638  pcmptcl  12735  pcmpt  12736  pockthlem  12749  pockthg  12750  1arith  12760  4sqlem13m  12796  4sqlem14  12797  4sqlem17  12800  4sqlem18  12801  ennnfonelemjn  12843  ssnnctlemct  12887  nninfdclemf  12890  nninfdclemp1  12891  mulgval  13528  mulgfng  13530  mulgnnp1  13536  mulgnnsubcl  13540  mulgnn0z  13555  mulgnndir  13557  mulgpropdg  13570  lmtopcnp  14792  lgsval  15551  lgscllem  15554  lgsval2lem  15557  lgsval4a  15569  lgsneg  15571  lgsdir  15582  lgsdilem2  15583  lgsdi  15584  lgsne0  15585  gausslemma2dlem3  15610  lgseisenlem4  15620  lgsquadlem2  15625  cvgcmp2nlemabs  16106  cvgcmp2n  16107  trilpolemcl  16111  trilpolemisumle  16112  trilpolemgt1  16113  trilpolemeq1  16114  trilpolemlt1  16115  nconstwlpolem0  16137  nconstwlpolemgt0  16138