Theorem nnuz 9522

Description: Positive integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnuz	⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)

Proof of Theorem nnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzrab 9236	. 2 ⊢ ℕ = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘}
2		1z 9238	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
3		uzval 9489	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (ℤ≥‘1) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘})
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℤ≥‘1) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘}
5	1, 4	eqtr4i 2194	1 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)

Syntax hints:   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  {crab 2452   class class class wbr 3989  ‘cfv 5198  1c1 7775   ≤ cle 7955  ℕcn 8878  ℤcz 9212  ℤ_≥cuz 9487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-z 9213  df-uz 9488

This theorem is referenced by:  elnnuz  9523  eluz2nn  9525  uznnssnn  9536  eluznn  9559  fzssnn  10024  fseq1p1m1  10050  fz01or  10067  nnsplit  10093  elfzo1  10146  exp3vallem  10477  exp3val  10478  facnn  10661  fac0  10662  bcm1k  10694  bcval5  10697  bcpasc  10700  seq3coll  10777  recvguniq  10959  resqrexlemf  10971  climuni  11256  climrecvg1n  11311  climcvg1nlem  11312  summodclem3  11343  summodclem2a  11344  fsum3  11350  sum0  11351  isumz  11352  fsumcl2lem  11361  fsumadd  11369  fsummulc2  11411  isumnn0nn  11456  divcnv  11460  trireciplem  11463  trirecip  11464  expcnvap0  11465  expcnv  11467  geo2lim  11479  geoisum1  11482  geoisum1c  11483  cvgratnnlemnexp  11487  cvgratnnlemseq  11489  cvgratnnlemrate  11493  cvgratnn  11494  mertenslem2  11499  prodmodclem3  11538  prodmodclem2a  11539  fprodseq  11546  prod0  11548  prod1dc  11549  fprodssdc  11553  fprodmul  11554  ege2le3  11634  nninfdcex  11908  gcdsupex  11912  gcdsupcl  11913  nnmindc  11989  nnminle  11990  lcmval  12017  lcmcllem  12021  lcmledvds  12024  isprm3  12072  phicl2  12168  phibndlem  12170  odzcllem  12196  odzdvds  12199  pcmptcl  12294  pcmpt  12295  pockthlem  12308  pockthg  12309  1arith  12319  ennnfonelemjn  12357  ssnnctlemct  12401  nninfdclemf  12404  nninfdclemp1  12405  lmtopcnp  13044  lgsval  13699  lgscllem  13702  lgsval2lem  13705  lgsval4a  13717  lgsneg  13719  lgsdir  13730  lgsdilem2  13731  lgsdi  13732  lgsne0  13733  cvgcmp2nlemabs  14064  cvgcmp2n  14065  trilpolemcl  14069  trilpolemisumle  14070  trilpolemgt1  14071  trilpolemeq1  14072  trilpolemlt1  14073  nconstwlpolem0  14094  nconstwlpolemgt0  14095