Theorem nnuz 9937

Description: Positive integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnuz	⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)

Proof of Theorem nnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzrab 9647	. 2 ⊢ ℕ = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘}
2		1z 9649	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
3		uzval 9902	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (ℤ≥‘1) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘})
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℤ≥‘1) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘}
5	1, 4	eqtr4i 2262	1 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)

Syntax hints:   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {crab 2532   class class class wbr 4125  ‘cfv 5372  1c1 8170   ≤ cle 8351  ℕcn 9283  ℤcz 9623  ℤ_≥cuz 9900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-z 9624  df-uz 9901

This theorem is referenced by:  elnnuz  9938  eluz2nn  9945  uznnssnn  9956  eluznn  9979  fzssnn  10452  fseq1p1m1  10479  fz01or  10496  nnsplit  10522  elfzo1  10581  nninfdcex  10650  exp3vallem  10955  exp3val  10956  facnn  11143  fac0  11144  bcm1k  11176  bcval5  11179  bcpasc  11182  seq3coll  11272  recvguniq  11739  resqrexlemf  11751  climuni  12037  climrecvg1n  12092  climcvg1nlem  12093  summodclem3  12125  summodclem2a  12126  fsum3  12132  sum0  12133  isumz  12134  fsumcl2lem  12143  fsumadd  12151  fsummulc2  12193  isumnn0nn  12238  divcnv  12242  trireciplem  12245  trirecip  12246  expcnvap0  12247  expcnv  12249  geo2lim  12261  geoisum1  12264  geoisum1c  12265  cvgratnnlemnexp  12269  cvgratnnlemseq  12271  cvgratnnlemrate  12275  cvgratnn  12276  mertenslem2  12281  prodmodclem3  12320  prodmodclem2a  12321  fprodseq  12328  prod0  12330  prod1dc  12331  fprodssdc  12335  fprodmul  12336  ege2le3  12416  gcdsupex  12712  gcdsupcl  12713  nnmindc  12789  nnminle  12790  lcmval  12819  lcmcllem  12823  lcmledvds  12826  isprm3  12874  phicl2  12970  phibndlem  12972  odzcllem  12999  odzdvds  13002  pcmptcl  13099  pcmpt  13100  pockthlem  13113  pockthg  13114  1arith  13124  4sqlem13m  13160  4sqlem14  13161  4sqlem17  13164  4sqlem18  13165  ballotfilem2  13206  ballotfilem1ri  13256  ennnfonelemjn  13271  ssnnctlemct  13315  nninfdclemf  13318  nninfdclemp1  13319  mulgval  13902  mulgfng  13904  mulgnnp1  13910  mulgnnsubcl  13914  mulgnn0z  13929  mulgnndir  13931  mulgpropdg  13944  gsump1  14134  lmtopcnp  15274  lgsval  16037  lgscllem  16040  lgsval2lem  16043  lgsval4a  16055  lgsneg  16057  lgsdir  16068  lgsdilem2  16069  lgsdi  16070  lgsne0  16071  gausslemma2dlem3  16096  lgseisenlem4  16106  lgsquadlem2  16111  cvgcmp2nlemabs  16986  cvgcmp2n  16987  trilpolemcl  16991  trilpolemisumle  16992  trilpolemgt1  16993  trilpolemeq1  16994  trilpolemlt1  16995  nconstwlpolem0  17018  nconstwlpolemgt0  17019