Theorem nnuz 9890

Description: Positive integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnuz	⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)

Proof of Theorem nnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzrab 9601	. 2 ⊢ ℕ = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘}
2		1z 9603	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
3		uzval 9855	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (ℤ≥‘1) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘})
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℤ≥‘1) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘}
5	1, 4	eqtr4i 2256	1 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)

Syntax hints:   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  {crab 2524   class class class wbr 4109  ‘cfv 5352  1c1 8128   ≤ cle 8309  ℕcn 9237  ℤcz 9577  ℤ_≥cuz 9853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-z 9578  df-uz 9854

This theorem is referenced by:  elnnuz  9891  eluz2nn  9898  uznnssnn  9909  eluznn  9932  fzssnn  10402  fseq1p1m1  10428  fz01or  10445  nnsplit  10471  elfzo1  10530  nninfdcex  10597  exp3vallem  10902  exp3val  10903  facnn  11089  fac0  11090  bcm1k  11122  bcval5  11125  bcpasc  11128  seq3coll  11214  recvguniq  11680  resqrexlemf  11692  climuni  11978  climrecvg1n  12033  climcvg1nlem  12034  summodclem3  12066  summodclem2a  12067  fsum3  12073  sum0  12074  isumz  12075  fsumcl2lem  12084  fsumadd  12092  fsummulc2  12134  isumnn0nn  12179  divcnv  12183  trireciplem  12186  trirecip  12187  expcnvap0  12188  expcnv  12190  geo2lim  12202  geoisum1  12205  geoisum1c  12206  cvgratnnlemnexp  12210  cvgratnnlemseq  12212  cvgratnnlemrate  12216  cvgratnn  12217  mertenslem2  12222  prodmodclem3  12261  prodmodclem2a  12262  fprodseq  12269  prod0  12271  prod1dc  12272  fprodssdc  12276  fprodmul  12277  ege2le3  12357  gcdsupex  12653  gcdsupcl  12654  nnmindc  12730  nnminle  12731  lcmval  12760  lcmcllem  12764  lcmledvds  12767  isprm3  12815  phicl2  12911  phibndlem  12913  odzcllem  12940  odzdvds  12943  pcmptcl  13040  pcmpt  13041  pockthlem  13054  pockthg  13055  1arith  13065  4sqlem13m  13101  4sqlem14  13102  4sqlem17  13105  4sqlem18  13106  ballotfilem2  13142  ennnfonelemjn  13153  ssnnctlemct  13197  nninfdclemf  13200  nninfdclemp1  13201  mulgval  13839  mulgfng  13841  mulgnnp1  13847  mulgnnsubcl  13851  mulgnn0z  13866  mulgnndir  13868  mulgpropdg  13881  lmtopcnp  15115  lgsval  15877  lgscllem  15880  lgsval2lem  15883  lgsval4a  15895  lgsneg  15897  lgsdir  15908  lgsdilem2  15909  lgsdi  15910  lgsne0  15911  gausslemma2dlem3  15936  lgseisenlem4  15946  lgsquadlem2  15951  cvgcmp2nlemabs  16816  cvgcmp2n  16817  trilpolemcl  16821  trilpolemisumle  16822  trilpolemgt1  16823  trilpolemeq1  16824  trilpolemlt1  16825  nconstwlpolem0  16849  nconstwlpolemgt0  16850  gfsump1  16868