ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnuz GIF version

Theorem nnuz 9023
Description: Positive integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
nnuz ℕ = (ℤ‘1)

Proof of Theorem nnuz
StepHypRef Expression
1 nnzrab 8744 . 2 ℕ = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘}
2 1z 8746 . . 3 1 ∈ ℤ
3 uzval 8990 . . 3 (1 ∈ ℤ → (ℤ‘1) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘})
42, 3ax-mp 7 . 2 (ℤ‘1) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘}
51, 4eqtr4i 2111 1 ℕ = (ℤ‘1)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1289  wcel 1438  {crab 2363   class class class wbr 3837  cfv 5002  1c1 7330  cle 7502  cn 8394  cz 8720  cuz 8988
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-addass 7426  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-ltadd 7440
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-inn 8395  df-z 8721  df-uz 8989
This theorem is referenced by:  elnnuz  9024  eluz2nn  9026  uznnssnn  9034  eluznn  9056  fseq1p1m1  9475  fz01or  9492  nnsplit  9513  elfzo1  9566  exp3vallem  9921  exp3val  9922  facnn  10100  fac0  10101  bcm1k  10133  ibcval5  10136  bcpasc  10139  iseqcoll  10212  recvguniq  10393  resqrexlemf  10405  climuni  10645  climrecvg1n  10701  climcvg1nlem  10702  isummolem3  10734  isummolem2a  10735  fisum  10742  sum0  10744  isumz  10745  fsumcl2lem  10755  fsumadd  10763  fsummulc2  10805  isumnn0nn  10849  divcnv  10852  trireciplem  10855  trirecip  10856  expcnvap0  10857  expcnv  10859  geo2lim  10871  geoisum1  10874  geoisum1c  10875  cvgratnnlemnexp  10879  cvgratnnlemseq  10881  cvgratnnlemrate  10885  cvgratnn  10886  gcdsupex  11042  gcdsupcl  11043  lcmval  11138  lcmcllem  11142  lcmledvds  11145  isprm3  11193  phicl2  11283  phibndlem  11285
  Copyright terms: Public domain W3C validator