Theorem nnuz 9497

Description: Positive integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnuz	⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)

Proof of Theorem nnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzrab 9211	. 2 ⊢ ℕ = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘}
2		1z 9213	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
3		uzval 9464	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (ℤ≥‘1) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘})
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℤ≥‘1) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘}
5	1, 4	eqtr4i 2189	1 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)

Syntax hints:   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  {crab 2447   class class class wbr 3981  ‘cfv 5187  1c1 7750   ≤ cle 7930  ℕcn 8853  ℤcz 9187  ℤ_≥cuz 9462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-addcom 7849  ax-addass 7851  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-ltadd 7865

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-id 4270  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fv 5195  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-inn 8854  df-z 9188  df-uz 9463

This theorem is referenced by:  elnnuz  9498  eluz2nn  9500  uznnssnn  9511  eluznn  9534  fzssnn  9999  fseq1p1m1  10025  fz01or  10042  nnsplit  10068  elfzo1  10121  exp3vallem  10452  exp3val  10453  facnn  10636  fac0  10637  bcm1k  10669  bcval5  10672  bcpasc  10675  seq3coll  10751  recvguniq  10933  resqrexlemf  10945  climuni  11230  climrecvg1n  11285  climcvg1nlem  11286  summodclem3  11317  summodclem2a  11318  fsum3  11324  sum0  11325  isumz  11326  fsumcl2lem  11335  fsumadd  11343  fsummulc2  11385  isumnn0nn  11430  divcnv  11434  trireciplem  11437  trirecip  11438  expcnvap0  11439  expcnv  11441  geo2lim  11453  geoisum1  11456  geoisum1c  11457  cvgratnnlemnexp  11461  cvgratnnlemseq  11463  cvgratnnlemrate  11467  cvgratnn  11468  mertenslem2  11473  prodmodclem3  11512  prodmodclem2a  11513  fprodseq  11520  prod0  11522  prod1dc  11523  fprodssdc  11527  fprodmul  11528  ege2le3  11608  nninfdcex  11882  gcdsupex  11886  gcdsupcl  11887  nnmindc  11963  nnminle  11964  lcmval  11991  lcmcllem  11995  lcmledvds  11998  isprm3  12046  phicl2  12142  phibndlem  12144  odzcllem  12170  odzdvds  12173  pcmptcl  12268  pcmpt  12269  pockthlem  12282  pockthg  12283  1arith  12293  ennnfonelemjn  12331  ssnnctlemct  12375  nninfdclemf  12378  nninfdclemp1  12379  lmtopcnp  12850  lgsval  13505  lgscllem  13508  lgsval2lem  13511  lgsval4a  13523  lgsneg  13525  lgsdir  13536  lgsdilem2  13537  lgsdi  13538  lgsne0  13539  cvgcmp2nlemabs  13871  cvgcmp2n  13872  trilpolemcl  13876  trilpolemisumle  13877  trilpolemgt1  13878  trilpolemeq1  13879  trilpolemlt1  13880  nconstwlpolem0  13901  nconstwlpolemgt0  13902