Theorem nnuz 9782

Description: Positive integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnuz	⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)

Proof of Theorem nnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzrab 9493	. 2 ⊢ ℕ = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘}
2		1z 9495	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
3		uzval 9747	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (ℤ≥‘1) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘})
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℤ≥‘1) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘}
5	1, 4	eqtr4i 2253	1 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)

Syntax hints:   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {crab 2512   class class class wbr 4086  ‘cfv 5324  1c1 8023   ≤ cle 8205  ℕcn 9133  ℤcz 9469  ℤ_≥cuz 9745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-z 9470  df-uz 9746

This theorem is referenced by:  elnnuz  9783  eluz2nn  9790  uznnssnn  9801  eluznn  9824  fzssnn  10293  fseq1p1m1  10319  fz01or  10336  nnsplit  10362  elfzo1  10420  nninfdcex  10487  exp3vallem  10792  exp3val  10793  facnn  10979  fac0  10980  bcm1k  11012  bcval5  11015  bcpasc  11018  seq3coll  11096  recvguniq  11546  resqrexlemf  11558  climuni  11844  climrecvg1n  11899  climcvg1nlem  11900  summodclem3  11931  summodclem2a  11932  fsum3  11938  sum0  11939  isumz  11940  fsumcl2lem  11949  fsumadd  11957  fsummulc2  11999  isumnn0nn  12044  divcnv  12048  trireciplem  12051  trirecip  12052  expcnvap0  12053  expcnv  12055  geo2lim  12067  geoisum1  12070  geoisum1c  12071  cvgratnnlemnexp  12075  cvgratnnlemseq  12077  cvgratnnlemrate  12081  cvgratnn  12082  mertenslem2  12087  prodmodclem3  12126  prodmodclem2a  12127  fprodseq  12134  prod0  12136  prod1dc  12137  fprodssdc  12141  fprodmul  12142  ege2le3  12222  gcdsupex  12518  gcdsupcl  12519  nnmindc  12595  nnminle  12596  lcmval  12625  lcmcllem  12629  lcmledvds  12632  isprm3  12680  phicl2  12776  phibndlem  12778  odzcllem  12805  odzdvds  12808  pcmptcl  12905  pcmpt  12906  pockthlem  12919  pockthg  12920  1arith  12930  4sqlem13m  12966  4sqlem14  12967  4sqlem17  12970  4sqlem18  12971  ennnfonelemjn  13013  ssnnctlemct  13057  nninfdclemf  13060  nninfdclemp1  13061  mulgval  13699  mulgfng  13701  mulgnnp1  13707  mulgnnsubcl  13711  mulgnn0z  13726  mulgnndir  13728  mulgpropdg  13741  lmtopcnp  14964  lgsval  15723  lgscllem  15726  lgsval2lem  15729  lgsval4a  15741  lgsneg  15743  lgsdir  15754  lgsdilem2  15755  lgsdi  15756  lgsne0  15757  gausslemma2dlem3  15782  lgseisenlem4  15792  lgsquadlem2  15797  cvgcmp2nlemabs  16572  cvgcmp2n  16573  trilpolemcl  16577  trilpolemisumle  16578  trilpolemgt1  16579  trilpolemeq1  16580  trilpolemlt1  16581  nconstwlpolem0  16603  nconstwlpolemgt0  16604