Theorem nnuz 9566

Description: Positive integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnuz	⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)

Proof of Theorem nnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzrab 9280	. 2 ⊢ ℕ = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘}
2		1z 9282	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
3		uzval 9533	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (ℤ≥‘1) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘})
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℤ≥‘1) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘}
5	1, 4	eqtr4i 2201	1 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)

Syntax hints:   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  {crab 2459   class class class wbr 4005  ‘cfv 5218  1c1 7815   ≤ cle 7996  ℕcn 8922  ℤcz 9256  ℤ_≥cuz 9531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-addcom 7914  ax-addass 7916  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-ltadd 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-inn 8923  df-z 9257  df-uz 9532

This theorem is referenced by:  elnnuz  9567  eluz2nn  9569  uznnssnn  9580  eluznn  9603  fzssnn  10071  fseq1p1m1  10097  fz01or  10114  nnsplit  10140  elfzo1  10193  exp3vallem  10524  exp3val  10525  facnn  10710  fac0  10711  bcm1k  10743  bcval5  10746  bcpasc  10749  seq3coll  10825  recvguniq  11007  resqrexlemf  11019  climuni  11304  climrecvg1n  11359  climcvg1nlem  11360  summodclem3  11391  summodclem2a  11392  fsum3  11398  sum0  11399  isumz  11400  fsumcl2lem  11409  fsumadd  11417  fsummulc2  11459  isumnn0nn  11504  divcnv  11508  trireciplem  11511  trirecip  11512  expcnvap0  11513  expcnv  11515  geo2lim  11527  geoisum1  11530  geoisum1c  11531  cvgratnnlemnexp  11535  cvgratnnlemseq  11537  cvgratnnlemrate  11541  cvgratnn  11542  mertenslem2  11547  prodmodclem3  11586  prodmodclem2a  11587  fprodseq  11594  prod0  11596  prod1dc  11597  fprodssdc  11601  fprodmul  11602  ege2le3  11682  nninfdcex  11957  gcdsupex  11961  gcdsupcl  11962  nnmindc  12038  nnminle  12039  lcmval  12066  lcmcllem  12070  lcmledvds  12073  isprm3  12121  phicl2  12217  phibndlem  12219  odzcllem  12245  odzdvds  12248  pcmptcl  12343  pcmpt  12344  pockthlem  12357  pockthg  12358  1arith  12368  ennnfonelemjn  12406  ssnnctlemct  12450  nninfdclemf  12453  nninfdclemp1  12454  mulgval  12999  mulgfng  13001  mulgnnp1  13005  mulgnnsubcl  13009  mulgnn0z  13024  mulgnndir  13026  mulgpropdg  13039  lmtopcnp  13938  lgsval  14593  lgscllem  14596  lgsval2lem  14599  lgsval4a  14611  lgsneg  14613  lgsdir  14624  lgsdilem2  14625  lgsdi  14626  lgsne0  14627  cvgcmp2nlemabs  14969  cvgcmp2n  14970  trilpolemcl  14974  trilpolemisumle  14975  trilpolemgt1  14976  trilpolemeq1  14977  trilpolemlt1  14978  nconstwlpolem0  15000  nconstwlpolemgt0  15001