Theorem nnuz 9565

Description: Positive integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnuz	⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)

Proof of Theorem nnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzrab 9279	. 2 ⊢ ℕ = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘}
2		1z 9281	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
3		uzval 9532	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (ℤ≥‘1) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘})
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℤ≥‘1) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘}
5	1, 4	eqtr4i 2201	1 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)

Syntax hints:   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  {crab 2459   class class class wbr 4005  ‘cfv 5218  1c1 7814   ≤ cle 7995  ℕcn 8921  ℤcz 9255  ℤ_≥cuz 9530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-z 9256  df-uz 9531

This theorem is referenced by:  elnnuz  9566  eluz2nn  9568  uznnssnn  9579  eluznn  9602  fzssnn  10070  fseq1p1m1  10096  fz01or  10113  nnsplit  10139  elfzo1  10192  exp3vallem  10523  exp3val  10524  facnn  10709  fac0  10710  bcm1k  10742  bcval5  10745  bcpasc  10748  seq3coll  10824  recvguniq  11006  resqrexlemf  11018  climuni  11303  climrecvg1n  11358  climcvg1nlem  11359  summodclem3  11390  summodclem2a  11391  fsum3  11397  sum0  11398  isumz  11399  fsumcl2lem  11408  fsumadd  11416  fsummulc2  11458  isumnn0nn  11503  divcnv  11507  trireciplem  11510  trirecip  11511  expcnvap0  11512  expcnv  11514  geo2lim  11526  geoisum1  11529  geoisum1c  11530  cvgratnnlemnexp  11534  cvgratnnlemseq  11536  cvgratnnlemrate  11540  cvgratnn  11541  mertenslem2  11546  prodmodclem3  11585  prodmodclem2a  11586  fprodseq  11593  prod0  11595  prod1dc  11596  fprodssdc  11600  fprodmul  11601  ege2le3  11681  nninfdcex  11956  gcdsupex  11960  gcdsupcl  11961  nnmindc  12037  nnminle  12038  lcmval  12065  lcmcllem  12069  lcmledvds  12072  isprm3  12120  phicl2  12216  phibndlem  12218  odzcllem  12244  odzdvds  12247  pcmptcl  12342  pcmpt  12343  pockthlem  12356  pockthg  12357  1arith  12367  ennnfonelemjn  12405  ssnnctlemct  12449  nninfdclemf  12452  nninfdclemp1  12453  mulgval  12991  mulgfng  12992  mulgnnp1  12996  mulgnnsubcl  13000  mulgnn0z  13015  mulgnndir  13017  mulgpropdg  13030  lmtopcnp  13789  lgsval  14444  lgscllem  14447  lgsval2lem  14450  lgsval4a  14462  lgsneg  14464  lgsdir  14475  lgsdilem2  14476  lgsdi  14477  lgsne0  14478  cvgcmp2nlemabs  14819  cvgcmp2n  14820  trilpolemcl  14824  trilpolemisumle  14825  trilpolemgt1  14826  trilpolemeq1  14827  trilpolemlt1  14828  nconstwlpolem0  14849  nconstwlpolemgt0  14850