Theorem nnuz 9770

Description: Positive integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnuz	⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)

Proof of Theorem nnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzrab 9481	. 2 ⊢ ℕ = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘}
2		1z 9483	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
3		uzval 9735	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (ℤ≥‘1) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘})
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℤ≥‘1) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘}
5	1, 4	eqtr4i 2253	1 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)

Syntax hints:   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {crab 2512   class class class wbr 4083  ‘cfv 5318  1c1 8011   ≤ cle 8193  ℕcn 9121  ℤcz 9457  ℤ_≥cuz 9733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-z 9458  df-uz 9734

This theorem is referenced by:  elnnuz  9771  eluz2nn  9773  uznnssnn  9784  eluznn  9807  fzssnn  10276  fseq1p1m1  10302  fz01or  10319  nnsplit  10345  elfzo1  10403  nninfdcex  10469  exp3vallem  10774  exp3val  10775  facnn  10961  fac0  10962  bcm1k  10994  bcval5  10997  bcpasc  11000  seq3coll  11077  recvguniq  11521  resqrexlemf  11533  climuni  11819  climrecvg1n  11874  climcvg1nlem  11875  summodclem3  11906  summodclem2a  11907  fsum3  11913  sum0  11914  isumz  11915  fsumcl2lem  11924  fsumadd  11932  fsummulc2  11974  isumnn0nn  12019  divcnv  12023  trireciplem  12026  trirecip  12027  expcnvap0  12028  expcnv  12030  geo2lim  12042  geoisum1  12045  geoisum1c  12046  cvgratnnlemnexp  12050  cvgratnnlemseq  12052  cvgratnnlemrate  12056  cvgratnn  12057  mertenslem2  12062  prodmodclem3  12101  prodmodclem2a  12102  fprodseq  12109  prod0  12111  prod1dc  12112  fprodssdc  12116  fprodmul  12117  ege2le3  12197  gcdsupex  12493  gcdsupcl  12494  nnmindc  12570  nnminle  12571  lcmval  12600  lcmcllem  12604  lcmledvds  12607  isprm3  12655  phicl2  12751  phibndlem  12753  odzcllem  12780  odzdvds  12783  pcmptcl  12880  pcmpt  12881  pockthlem  12894  pockthg  12895  1arith  12905  4sqlem13m  12941  4sqlem14  12942  4sqlem17  12945  4sqlem18  12946  ennnfonelemjn  12988  ssnnctlemct  13032  nninfdclemf  13035  nninfdclemp1  13036  mulgval  13674  mulgfng  13676  mulgnnp1  13682  mulgnnsubcl  13686  mulgnn0z  13701  mulgnndir  13703  mulgpropdg  13716  lmtopcnp  14939  lgsval  15698  lgscllem  15701  lgsval2lem  15704  lgsval4a  15716  lgsneg  15718  lgsdir  15729  lgsdilem2  15730  lgsdi  15731  lgsne0  15732  gausslemma2dlem3  15757  lgseisenlem4  15767  lgsquadlem2  15772  cvgcmp2nlemabs  16460  cvgcmp2n  16461  trilpolemcl  16465  trilpolemisumle  16466  trilpolemgt1  16467  trilpolemeq1  16468  trilpolemlt1  16469  nconstwlpolem0  16491  nconstwlpolemgt0  16492