Theorem nnuz 9836

Description: Positive integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnuz	⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)

Proof of Theorem nnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzrab 9547	. 2 ⊢ ℕ = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘}
2		1z 9549	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
3		uzval 9801	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (ℤ≥‘1) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘})
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℤ≥‘1) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘}
5	1, 4	eqtr4i 2255	1 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)

Syntax hints:   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  {crab 2515   class class class wbr 4093  ‘cfv 5333  1c1 8076   ≤ cle 8257  ℕcn 9185  ℤcz 9523  ℤ_≥cuz 9799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-z 9524  df-uz 9800

This theorem is referenced by:  elnnuz  9837  eluz2nn  9844  uznnssnn  9855  eluznn  9878  fzssnn  10348  fseq1p1m1  10374  fz01or  10391  nnsplit  10417  elfzo1  10476  nninfdcex  10543  exp3vallem  10848  exp3val  10849  facnn  11035  fac0  11036  bcm1k  11068  bcval5  11071  bcpasc  11074  seq3coll  11152  recvguniq  11618  resqrexlemf  11630  climuni  11916  climrecvg1n  11971  climcvg1nlem  11972  summodclem3  12004  summodclem2a  12005  fsum3  12011  sum0  12012  isumz  12013  fsumcl2lem  12022  fsumadd  12030  fsummulc2  12072  isumnn0nn  12117  divcnv  12121  trireciplem  12124  trirecip  12125  expcnvap0  12126  expcnv  12128  geo2lim  12140  geoisum1  12143  geoisum1c  12144  cvgratnnlemnexp  12148  cvgratnnlemseq  12150  cvgratnnlemrate  12154  cvgratnn  12155  mertenslem2  12160  prodmodclem3  12199  prodmodclem2a  12200  fprodseq  12207  prod0  12209  prod1dc  12210  fprodssdc  12214  fprodmul  12215  ege2le3  12295  gcdsupex  12591  gcdsupcl  12592  nnmindc  12668  nnminle  12669  lcmval  12698  lcmcllem  12702  lcmledvds  12705  isprm3  12753  phicl2  12849  phibndlem  12851  odzcllem  12878  odzdvds  12881  pcmptcl  12978  pcmpt  12979  pockthlem  12992  pockthg  12993  1arith  13003  4sqlem13m  13039  4sqlem14  13040  4sqlem17  13043  4sqlem18  13044  ennnfonelemjn  13086  ssnnctlemct  13130  nninfdclemf  13133  nninfdclemp1  13134  mulgval  13772  mulgfng  13774  mulgnnp1  13780  mulgnnsubcl  13784  mulgnn0z  13799  mulgnndir  13801  mulgpropdg  13814  lmtopcnp  15044  lgsval  15806  lgscllem  15809  lgsval2lem  15812  lgsval4a  15824  lgsneg  15826  lgsdir  15837  lgsdilem2  15838  lgsdi  15839  lgsne0  15840  gausslemma2dlem3  15865  lgseisenlem4  15875  lgsquadlem2  15880  cvgcmp2nlemabs  16747  cvgcmp2n  16748  trilpolemcl  16752  trilpolemisumle  16753  trilpolemgt1  16754  trilpolemeq1  16755  trilpolemlt1  16756  nconstwlpolem0  16779  nconstwlpolemgt0  16780  gfsump1  16798