Theorem nnuz 9656

Description: Positive integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnuz	⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)

Proof of Theorem nnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzrab 9369	. 2 ⊢ ℕ = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘}
2		1z 9371	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
3		uzval 9622	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (ℤ≥‘1) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘})
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℤ≥‘1) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘}
5	1, 4	eqtr4i 2220	1 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)

Syntax hints:   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  {crab 2479   class class class wbr 4034  ‘cfv 5259  1c1 7899   ≤ cle 8081  ℕcn 9009  ℤcz 9345  ℤ_≥cuz 9620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-addcom 7998  ax-addass 8000  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-ltadd 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-inn 9010  df-z 9346  df-uz 9621

This theorem is referenced by:  elnnuz  9657  eluz2nn  9659  uznnssnn  9670  eluznn  9693  fzssnn  10162  fseq1p1m1  10188  fz01or  10205  nnsplit  10231  elfzo1  10285  nninfdcex  10346  exp3vallem  10651  exp3val  10652  facnn  10838  fac0  10839  bcm1k  10871  bcval5  10874  bcpasc  10877  seq3coll  10953  recvguniq  11179  resqrexlemf  11191  climuni  11477  climrecvg1n  11532  climcvg1nlem  11533  summodclem3  11564  summodclem2a  11565  fsum3  11571  sum0  11572  isumz  11573  fsumcl2lem  11582  fsumadd  11590  fsummulc2  11632  isumnn0nn  11677  divcnv  11681  trireciplem  11684  trirecip  11685  expcnvap0  11686  expcnv  11688  geo2lim  11700  geoisum1  11703  geoisum1c  11704  cvgratnnlemnexp  11708  cvgratnnlemseq  11710  cvgratnnlemrate  11714  cvgratnn  11715  mertenslem2  11720  prodmodclem3  11759  prodmodclem2a  11760  fprodseq  11767  prod0  11769  prod1dc  11770  fprodssdc  11774  fprodmul  11775  ege2le3  11855  gcdsupex  12151  gcdsupcl  12152  nnmindc  12228  nnminle  12229  lcmval  12258  lcmcllem  12262  lcmledvds  12265  isprm3  12313  phicl2  12409  phibndlem  12411  odzcllem  12438  odzdvds  12441  pcmptcl  12538  pcmpt  12539  pockthlem  12552  pockthg  12553  1arith  12563  4sqlem13m  12599  4sqlem14  12600  4sqlem17  12603  4sqlem18  12604  ennnfonelemjn  12646  ssnnctlemct  12690  nninfdclemf  12693  nninfdclemp1  12694  mulgval  13330  mulgfng  13332  mulgnnp1  13338  mulgnnsubcl  13342  mulgnn0z  13357  mulgnndir  13359  mulgpropdg  13372  lmtopcnp  14594  lgsval  15353  lgscllem  15356  lgsval2lem  15359  lgsval4a  15371  lgsneg  15373  lgsdir  15384  lgsdilem2  15385  lgsdi  15386  lgsne0  15387  gausslemma2dlem3  15412  lgseisenlem4  15422  lgsquadlem2  15427  cvgcmp2nlemabs  15789  cvgcmp2n  15790  trilpolemcl  15794  trilpolemisumle  15795  trilpolemgt1  15796  trilpolemeq1  15797  trilpolemlt1  15798  nconstwlpolem0  15820  nconstwlpolemgt0  15821