Theorem nnuz 9791

Description: Positive integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnuz	⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)

Proof of Theorem nnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzrab 9502	. 2 ⊢ ℕ = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘}
2		1z 9504	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
3		uzval 9756	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (ℤ≥‘1) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘})
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℤ≥‘1) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘}
5	1, 4	eqtr4i 2255	1 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)

Syntax hints:   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  {crab 2514   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326  1c1 8032   ≤ cle 8214  ℕcn 9142  ℤcz 9478  ℤ_≥cuz 9754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-z 9479  df-uz 9755

This theorem is referenced by:  elnnuz  9792  eluz2nn  9799  uznnssnn  9810  eluznn  9833  fzssnn  10302  fseq1p1m1  10328  fz01or  10345  nnsplit  10371  elfzo1  10429  nninfdcex  10496  exp3vallem  10801  exp3val  10802  facnn  10988  fac0  10989  bcm1k  11021  bcval5  11024  bcpasc  11027  seq3coll  11105  recvguniq  11555  resqrexlemf  11567  climuni  11853  climrecvg1n  11908  climcvg1nlem  11909  summodclem3  11940  summodclem2a  11941  fsum3  11947  sum0  11948  isumz  11949  fsumcl2lem  11958  fsumadd  11966  fsummulc2  12008  isumnn0nn  12053  divcnv  12057  trireciplem  12060  trirecip  12061  expcnvap0  12062  expcnv  12064  geo2lim  12076  geoisum1  12079  geoisum1c  12080  cvgratnnlemnexp  12084  cvgratnnlemseq  12086  cvgratnnlemrate  12090  cvgratnn  12091  mertenslem2  12096  prodmodclem3  12135  prodmodclem2a  12136  fprodseq  12143  prod0  12145  prod1dc  12146  fprodssdc  12150  fprodmul  12151  ege2le3  12231  gcdsupex  12527  gcdsupcl  12528  nnmindc  12604  nnminle  12605  lcmval  12634  lcmcllem  12638  lcmledvds  12641  isprm3  12689  phicl2  12785  phibndlem  12787  odzcllem  12814  odzdvds  12817  pcmptcl  12914  pcmpt  12915  pockthlem  12928  pockthg  12929  1arith  12939  4sqlem13m  12975  4sqlem14  12976  4sqlem17  12979  4sqlem18  12980  ennnfonelemjn  13022  ssnnctlemct  13066  nninfdclemf  13069  nninfdclemp1  13070  mulgval  13708  mulgfng  13710  mulgnnp1  13716  mulgnnsubcl  13720  mulgnn0z  13735  mulgnndir  13737  mulgpropdg  13750  lmtopcnp  14973  lgsval  15732  lgscllem  15735  lgsval2lem  15738  lgsval4a  15750  lgsneg  15752  lgsdir  15763  lgsdilem2  15764  lgsdi  15765  lgsne0  15766  gausslemma2dlem3  15791  lgseisenlem4  15801  lgsquadlem2  15806  cvgcmp2nlemabs  16636  cvgcmp2n  16637  trilpolemcl  16641  trilpolemisumle  16642  trilpolemgt1  16643  trilpolemeq1  16644  trilpolemlt1  16645  nconstwlpolem0  16667  nconstwlpolemgt0  16668