Theorem nnuz 9628

Description: Positive integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnuz	⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)

Proof of Theorem nnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzrab 9341	. 2 ⊢ ℕ = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘}
2		1z 9343	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
3		uzval 9594	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (ℤ≥‘1) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘})
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℤ≥‘1) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘}
5	1, 4	eqtr4i 2217	1 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)

Syntax hints:   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  {crab 2476   class class class wbr 4029  ‘cfv 5254  1c1 7873   ≤ cle 8055  ℕcn 8982  ℤcz 9317  ℤ_≥cuz 9592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-z 9318  df-uz 9593

This theorem is referenced by:  elnnuz  9629  eluz2nn  9631  uznnssnn  9642  eluznn  9665  fzssnn  10134  fseq1p1m1  10160  fz01or  10177  nnsplit  10203  elfzo1  10257  exp3vallem  10611  exp3val  10612  facnn  10798  fac0  10799  bcm1k  10831  bcval5  10834  bcpasc  10837  seq3coll  10913  recvguniq  11139  resqrexlemf  11151  climuni  11436  climrecvg1n  11491  climcvg1nlem  11492  summodclem3  11523  summodclem2a  11524  fsum3  11530  sum0  11531  isumz  11532  fsumcl2lem  11541  fsumadd  11549  fsummulc2  11591  isumnn0nn  11636  divcnv  11640  trireciplem  11643  trirecip  11644  expcnvap0  11645  expcnv  11647  geo2lim  11659  geoisum1  11662  geoisum1c  11663  cvgratnnlemnexp  11667  cvgratnnlemseq  11669  cvgratnnlemrate  11673  cvgratnn  11674  mertenslem2  11679  prodmodclem3  11718  prodmodclem2a  11719  fprodseq  11726  prod0  11728  prod1dc  11729  fprodssdc  11733  fprodmul  11734  ege2le3  11814  nninfdcex  12090  gcdsupex  12094  gcdsupcl  12095  nnmindc  12171  nnminle  12172  lcmval  12201  lcmcllem  12205  lcmledvds  12208  isprm3  12256  phicl2  12352  phibndlem  12354  odzcllem  12380  odzdvds  12383  pcmptcl  12480  pcmpt  12481  pockthlem  12494  pockthg  12495  1arith  12505  4sqlem13m  12541  4sqlem14  12542  4sqlem17  12545  4sqlem18  12546  ennnfonelemjn  12559  ssnnctlemct  12603  nninfdclemf  12606  nninfdclemp1  12607  mulgval  13192  mulgfng  13194  mulgnnp1  13200  mulgnnsubcl  13204  mulgnn0z  13219  mulgnndir  13221  mulgpropdg  13234  lmtopcnp  14418  lgsval  15120  lgscllem  15123  lgsval2lem  15126  lgsval4a  15138  lgsneg  15140  lgsdir  15151  lgsdilem2  15152  lgsdi  15153  lgsne0  15154  gausslemma2dlem3  15179  lgseisenlem4  15189  cvgcmp2nlemabs  15522  cvgcmp2n  15523  trilpolemcl  15527  trilpolemisumle  15528  trilpolemgt1  15529  trilpolemeq1  15530  trilpolemlt1  15531  nconstwlpolem0  15553  nconstwlpolemgt0  15554