Theorem nnuz 9908

Description: Positive integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnuz	⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)

Proof of Theorem nnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzrab 9618	. 2 ⊢ ℕ = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘}
2		1z 9620	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
3		uzval 9873	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (ℤ≥‘1) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘})
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℤ≥‘1) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘}
5	1, 4	eqtr4i 2258	1 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)

Syntax hints:   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  {crab 2526   class class class wbr 4114  ‘cfv 5357  1c1 8144   ≤ cle 8325  ℕcn 9254  ℤcz 9594  ℤ_≥cuz 9871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-z 9595  df-uz 9872

This theorem is referenced by:  elnnuz  9909  eluz2nn  9916  uznnssnn  9927  eluznn  9950  fzssnn  10423  fseq1p1m1  10450  fz01or  10467  nnsplit  10493  elfzo1  10552  nninfdcex  10621  exp3vallem  10926  exp3val  10927  facnn  11114  fac0  11115  bcm1k  11147  bcval5  11150  bcpasc  11153  seq3coll  11239  recvguniq  11705  resqrexlemf  11717  climuni  12003  climrecvg1n  12058  climcvg1nlem  12059  summodclem3  12091  summodclem2a  12092  fsum3  12098  sum0  12099  isumz  12100  fsumcl2lem  12109  fsumadd  12117  fsummulc2  12159  isumnn0nn  12204  divcnv  12208  trireciplem  12211  trirecip  12212  expcnvap0  12213  expcnv  12215  geo2lim  12227  geoisum1  12230  geoisum1c  12231  cvgratnnlemnexp  12235  cvgratnnlemseq  12237  cvgratnnlemrate  12241  cvgratnn  12242  mertenslem2  12247  prodmodclem3  12286  prodmodclem2a  12287  fprodseq  12294  prod0  12296  prod1dc  12297  fprodssdc  12301  fprodmul  12302  ege2le3  12382  gcdsupex  12678  gcdsupcl  12679  nnmindc  12755  nnminle  12756  lcmval  12785  lcmcllem  12789  lcmledvds  12792  isprm3  12840  phicl2  12936  phibndlem  12938  odzcllem  12965  odzdvds  12968  pcmptcl  13065  pcmpt  13066  pockthlem  13079  pockthg  13080  1arith  13090  4sqlem13m  13126  4sqlem14  13127  4sqlem17  13130  4sqlem18  13131  ballotfilem2  13172  ballotfilem1ri  13222  ennnfonelemjn  13237  ssnnctlemct  13281  nninfdclemf  13284  nninfdclemp1  13285  mulgval  13875  mulgfng  13877  mulgnnp1  13883  mulgnnsubcl  13887  mulgnn0z  13902  mulgnndir  13904  mulgpropdg  13917  gfsump1  14108  lmtopcnp  15241  lgsval  16003  lgscllem  16006  lgsval2lem  16009  lgsval4a  16021  lgsneg  16023  lgsdir  16034  lgsdilem2  16035  lgsdi  16036  lgsne0  16037  gausslemma2dlem3  16062  lgseisenlem4  16072  lgsquadlem2  16077  cvgcmp2nlemabs  16942  cvgcmp2n  16943  trilpolemcl  16947  trilpolemisumle  16948  trilpolemgt1  16949  trilpolemeq1  16950  trilpolemlt1  16951  nconstwlpolem0  16975  nconstwlpolemgt0  16976