Theorem nnuz 9968

Description: Positive integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnuz	⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)

Proof of Theorem nnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzrab 9673	. 2 ⊢ ℕ = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘}
2		1z 9675	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
3		uzval 9933	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (ℤ≥‘1) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘})
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℤ≥‘1) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘}
5	1, 4	eqtr4i 2262	1 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {crab 2532   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  1c1 8181   ≤ cle 8362  ℕcn 9307  ℤcz 9649  ℤ_≥cuz 9931

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-inn 9308  df-z 9650  df-uz 9932

This theorem is used by:  elnnuz  9969  eluz2nn  9976  uznnssnn  9987  eluznn  10010  fzssnn  10485  fseq1p1m1  10512  fz01or  10529  nnsplit  10555  elfzo1  10614  nninfdcex  10683  exp3vallem  10992  exp3val  10993  facnn  11181  fac0  11182  bcm1k  11214  bcval5  11217  bcpasc  11220  seq3coll  11310  recvguniq  11777  resqrexlemf  11789  climuni  12078  climrecvg1n  12133  climcvg1nlem  12134  summodclem3  12166  summodclem2a  12167  fsum3  12173  sum0  12174  isumz  12175  fsumcl2lem  12184  fsumadd  12192  fsummulc2  12234  isumnn0nn  12279  divcnv  12283  trireciplem  12286  trirecip  12287  expcnvap0  12288  expcnv  12290  geo2lim  12302  geoisum1  12305  geoisum1c  12306  cvgratnnlemnexp  12310  cvgratnnlemseq  12312  cvgratnnlemrate  12316  cvgratnn  12317  mertenslem2  12322  prodmodclem3  12361  prodmodclem2a  12362  fprodseq  12369  prod0  12371  prod1dc  12372  fprodssdc  12376  fprodmul  12377  ege2le3  12457  gcdsupex  12753  gcdsupcl  12754  nnmindc  12830  nnminle  12831  lcmval  12860  lcmcllem  12864  lcmledvds  12867  isprm3  12915  phicl2  13015  phibndlem  13017  odzcllem  13044  odzdvds  13047  pcmptcl  13144  pcmpt  13145  pockthlem  13158  pockthg  13159  1arith  13169  4sqlem13m  13205  4sqlem14  13206  4sqlem17  13209  4sqlem18  13210  prmlem1a  13244  ballotfilem2  13280  ballotfilem1ri  13330  ennnfonelemjn  13345  ssnnctlemct  13389  nninfdclemf  13392  nninfdclemp1  13393  mulgval  13978  mulgfng  13980  mulgnnp1  13986  mulgnnsubcl  13990  mulgnn0z  14005  mulgnndir  14007  mulgpropdg  14020  gsump1  14241  lmtopcnp  15442  birthdaylem2  16187  ppiprm  16220  ppinprm  16221  chtprm  16222  chtnprm  16223  bposlem5  16276  lgsval  16289  lgscllem  16292  lgsval2lem  16295  lgsval4a  16307  lgsneg  16309  lgsdir  16320  lgsdilem2  16321  lgsdi  16322  lgsne0  16323  gausslemma2dlem3  16348  lgseisenlem4  16358  lgsquadlem2  16363  cvgcmp2nlemabs  17247  cvgcmp2n  17248  trilpolemcl  17253  trilpolemisumle  17254  trilpolemgt1  17255  trilpolemeq1  17256  trilpolemlt1  17257  nconstwlpolem0  17280  nconstwlpolemgt0  17281