Theorem nnuz 9754

Description: Positive integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnuz	⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)

Proof of Theorem nnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzrab 9466	. 2 ⊢ ℕ = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘}
2		1z 9468	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
3		uzval 9720	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (ℤ≥‘1) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘})
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℤ≥‘1) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘}
5	1, 4	eqtr4i 2253	1 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)

Syntax hints:   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {crab 2512   class class class wbr 4082  ‘cfv 5317  1c1 7996   ≤ cle 8178  ℕcn 9106  ℤcz 9442  ℤ_≥cuz 9718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-z 9443  df-uz 9719

This theorem is referenced by:  elnnuz  9755  eluz2nn  9757  uznnssnn  9768  eluznn  9791  fzssnn  10260  fseq1p1m1  10286  fz01or  10303  nnsplit  10329  elfzo1  10386  nninfdcex  10452  exp3vallem  10757  exp3val  10758  facnn  10944  fac0  10945  bcm1k  10977  bcval5  10980  bcpasc  10983  seq3coll  11059  recvguniq  11501  resqrexlemf  11513  climuni  11799  climrecvg1n  11854  climcvg1nlem  11855  summodclem3  11886  summodclem2a  11887  fsum3  11893  sum0  11894  isumz  11895  fsumcl2lem  11904  fsumadd  11912  fsummulc2  11954  isumnn0nn  11999  divcnv  12003  trireciplem  12006  trirecip  12007  expcnvap0  12008  expcnv  12010  geo2lim  12022  geoisum1  12025  geoisum1c  12026  cvgratnnlemnexp  12030  cvgratnnlemseq  12032  cvgratnnlemrate  12036  cvgratnn  12037  mertenslem2  12042  prodmodclem3  12081  prodmodclem2a  12082  fprodseq  12089  prod0  12091  prod1dc  12092  fprodssdc  12096  fprodmul  12097  ege2le3  12177  gcdsupex  12473  gcdsupcl  12474  nnmindc  12550  nnminle  12551  lcmval  12580  lcmcllem  12584  lcmledvds  12587  isprm3  12635  phicl2  12731  phibndlem  12733  odzcllem  12760  odzdvds  12763  pcmptcl  12860  pcmpt  12861  pockthlem  12874  pockthg  12875  1arith  12885  4sqlem13m  12921  4sqlem14  12922  4sqlem17  12925  4sqlem18  12926  ennnfonelemjn  12968  ssnnctlemct  13012  nninfdclemf  13015  nninfdclemp1  13016  mulgval  13654  mulgfng  13656  mulgnnp1  13662  mulgnnsubcl  13666  mulgnn0z  13681  mulgnndir  13683  mulgpropdg  13696  lmtopcnp  14918  lgsval  15677  lgscllem  15680  lgsval2lem  15683  lgsval4a  15695  lgsneg  15697  lgsdir  15708  lgsdilem2  15709  lgsdi  15710  lgsne0  15711  gausslemma2dlem3  15736  lgseisenlem4  15746  lgsquadlem2  15751  cvgcmp2nlemabs  16359  cvgcmp2n  16360  trilpolemcl  16364  trilpolemisumle  16365  trilpolemgt1  16366  trilpolemeq1  16367  trilpolemlt1  16368  nconstwlpolem0  16390  nconstwlpolemgt0  16391