Theorem nnuz 9385

Description: Positive integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnuz	⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)

Proof of Theorem nnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzrab 9102	. 2 ⊢ ℕ = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘}
2		1z 9104	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
3		uzval 9352	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (ℤ≥‘1) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘})
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℤ≥‘1) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘}
5	1, 4	eqtr4i 2164	1 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)

Syntax hints:   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  {crab 2421   class class class wbr 3937  ‘cfv 5131  1c1 7645   ≤ cle 7825  ℕcn 8744  ℤcz 9078  ℤ_≥cuz 9350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-z 9079  df-uz 9351

This theorem is referenced by:  elnnuz  9386  eluz2nn  9388  uznnssnn  9399  eluznn  9421  fzssnn  9879  fseq1p1m1  9905  fz01or  9922  nnsplit  9945  elfzo1  9998  exp3vallem  10325  exp3val  10326  facnn  10505  fac0  10506  bcm1k  10538  bcval5  10541  bcpasc  10544  seq3coll  10617  recvguniq  10799  resqrexlemf  10811  climuni  11094  climrecvg1n  11149  climcvg1nlem  11150  summodclem3  11181  summodclem2a  11182  fsum3  11188  sum0  11189  isumz  11190  fsumcl2lem  11199  fsumadd  11207  fsummulc2  11249  isumnn0nn  11294  divcnv  11298  trireciplem  11301  trirecip  11302  expcnvap0  11303  expcnv  11305  geo2lim  11317  geoisum1  11320  geoisum1c  11321  cvgratnnlemnexp  11325  cvgratnnlemseq  11327  cvgratnnlemrate  11331  cvgratnn  11332  mertenslem2  11337  prodmodclem3  11376  prodmodclem2a  11377  fprodseq  11384  ege2le3  11414  gcdsupex  11682  gcdsupcl  11683  lcmval  11780  lcmcllem  11784  lcmledvds  11787  isprm3  11835  phicl2  11926  phibndlem  11928  ennnfonelemjn  11951  lmtopcnp  12458  cvgcmp2nlemabs  13402  cvgcmp2n  13403  trilpolemcl  13405  trilpolemisumle  13406  trilpolemgt1  13407  trilpolemeq1  13408  trilpolemlt1  13409