Theorem nnuz 9637

Description: Positive integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnuz	⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)

Proof of Theorem nnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzrab 9350	. 2 ⊢ ℕ = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘}
2		1z 9352	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
3		uzval 9603	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (ℤ≥‘1) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘})
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℤ≥‘1) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘}
5	1, 4	eqtr4i 2220	1 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)

Syntax hints:   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  {crab 2479   class class class wbr 4033  ‘cfv 5258  1c1 7880   ≤ cle 8062  ℕcn 8990  ℤcz 9326  ℤ_≥cuz 9601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-z 9327  df-uz 9602

This theorem is referenced by:  elnnuz  9638  eluz2nn  9640  uznnssnn  9651  eluznn  9674  fzssnn  10143  fseq1p1m1  10169  fz01or  10186  nnsplit  10212  elfzo1  10266  nninfdcex  10327  exp3vallem  10632  exp3val  10633  facnn  10819  fac0  10820  bcm1k  10852  bcval5  10855  bcpasc  10858  seq3coll  10934  recvguniq  11160  resqrexlemf  11172  climuni  11458  climrecvg1n  11513  climcvg1nlem  11514  summodclem3  11545  summodclem2a  11546  fsum3  11552  sum0  11553  isumz  11554  fsumcl2lem  11563  fsumadd  11571  fsummulc2  11613  isumnn0nn  11658  divcnv  11662  trireciplem  11665  trirecip  11666  expcnvap0  11667  expcnv  11669  geo2lim  11681  geoisum1  11684  geoisum1c  11685  cvgratnnlemnexp  11689  cvgratnnlemseq  11691  cvgratnnlemrate  11695  cvgratnn  11696  mertenslem2  11701  prodmodclem3  11740  prodmodclem2a  11741  fprodseq  11748  prod0  11750  prod1dc  11751  fprodssdc  11755  fprodmul  11756  ege2le3  11836  gcdsupex  12124  gcdsupcl  12125  nnmindc  12201  nnminle  12202  lcmval  12231  lcmcllem  12235  lcmledvds  12238  isprm3  12286  phicl2  12382  phibndlem  12384  odzcllem  12411  odzdvds  12414  pcmptcl  12511  pcmpt  12512  pockthlem  12525  pockthg  12526  1arith  12536  4sqlem13m  12572  4sqlem14  12573  4sqlem17  12576  4sqlem18  12577  ennnfonelemjn  12619  ssnnctlemct  12663  nninfdclemf  12666  nninfdclemp1  12667  mulgval  13252  mulgfng  13254  mulgnnp1  13260  mulgnnsubcl  13264  mulgnn0z  13279  mulgnndir  13281  mulgpropdg  13294  lmtopcnp  14486  lgsval  15245  lgscllem  15248  lgsval2lem  15251  lgsval4a  15263  lgsneg  15265  lgsdir  15276  lgsdilem2  15277  lgsdi  15278  lgsne0  15279  gausslemma2dlem3  15304  lgseisenlem4  15314  lgsquadlem2  15319  cvgcmp2nlemabs  15676  cvgcmp2n  15677  trilpolemcl  15681  trilpolemisumle  15682  trilpolemgt1  15683  trilpolemeq1  15684  trilpolemlt1  15685  nconstwlpolem0  15707  nconstwlpolemgt0  15708