Theorem qusadd 14020

Description: Value of the group operation in a quotient group. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusgrp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
qusadd.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝐺)
qusadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
qusadd.a	⊢ ✚ = (+g‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
qusadd	⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) ✚ [𝑌](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝑋 + 𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆))

Proof of Theorem qusadd

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusgrp.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
2	1	a1i 9	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆)))
3		qusadd.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐺)
4	3	a1i 9	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑉 = (Base‘𝐺))
5		nsgsubg 13991	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (𝐺 ~QG 𝑆) = (𝐺 ~QG 𝑆)
7	3, 6	eqger 14010	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝑆) Er 𝑉)
8	5, 7	syl 14	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝑆) Er 𝑉)
9		subgrcl 13965	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
10	5, 9	syl 14	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
11		qusadd.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
12	3, 6, 11	eqgcpbl 14014	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → ((𝑎(𝐺 ~QG 𝑆)𝑝 ∧ 𝑏(𝐺 ~QG 𝑆)𝑞) → (𝑎 + 𝑏)(𝐺 ~QG 𝑆)(𝑝 + 𝑞)))
13	3, 11	grpcl 13796	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉) → (𝑝 + 𝑞) ∈ 𝑉)
14	13	3expb 1235	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → (𝑝 + 𝑞) ∈ 𝑉)
15	10, 14	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → (𝑝 + 𝑞) ∈ 𝑉)
16		qusadd.a	. 2 ⊢ ✚ = (+g‘𝐻)
17	2, 4, 8, 10, 12, 15, 11, 16	qusaddval 13639	1 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) ✚ [𝑌](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝑋 + 𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079   Er wer 6798  [cec 6799  Basecbs 13335  +_gcplusg 13414   /_s cqus 13606  Grpcgrp 13788  SubGrpcsubg 13953  NrmSGrpcnsg 13954   ~_QG cqg 13955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-tp 3716  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-er 6801  df-ec 6803  df-qs 6807  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-ltxr 8359  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-sets 13342  df-iress 13343  df-plusg 13427  df-mulr 13428  df-0g 13595  df-iimas 13607  df-qus 13608  df-mgm 13659  df-sgrp 13700  df-mnd 13713  df-grp 13791  df-minusg 13792  df-subg 13956  df-nsg 13957  df-eqg 13958

This theorem is referenced by:  qus0  14021  qusinv  14022  qussub  14023  ecqusaddd  14024  qusghm  14068