Theorem qusadd 13307

Description: Value of the group operation in a quotient group. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusgrp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
qusadd.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝐺)
qusadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
qusadd.a	⊢ ✚ = (+g‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
qusadd	⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) ✚ [𝑌](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝑋 + 𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆))

Proof of Theorem qusadd

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusgrp.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
2	1	a1i 9	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆)))
3		qusadd.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐺)
4	3	a1i 9	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑉 = (Base‘𝐺))
5		nsgsubg 13278	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6		eqid 2193	. . . 4 ⊢ (𝐺 ~QG 𝑆) = (𝐺 ~QG 𝑆)
7	3, 6	eqger 13297	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝑆) Er 𝑉)
8	5, 7	syl 14	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝑆) Er 𝑉)
9		subgrcl 13252	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
10	5, 9	syl 14	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
11		qusadd.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
12	3, 6, 11	eqgcpbl 13301	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → ((𝑎(𝐺 ~QG 𝑆)𝑝 ∧ 𝑏(𝐺 ~QG 𝑆)𝑞) → (𝑎 + 𝑏)(𝐺 ~QG 𝑆)(𝑝 + 𝑞)))
13	3, 11	grpcl 13083	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉) → (𝑝 + 𝑞) ∈ 𝑉)
14	13	3expb 1206	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → (𝑝 + 𝑞) ∈ 𝑉)
15	10, 14	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → (𝑝 + 𝑞) ∈ 𝑉)
16		qusadd.a	. 2 ⊢ ✚ = (+g‘𝐻)
17	2, 4, 8, 10, 12, 15, 11, 16	qusaddval 12921	1 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) ✚ [𝑌](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝑋 + 𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919   Er wer 6586  [cec 6587  Basecbs 12621  +_gcplusg 12698   /_s cqus 12886  Grpcgrp 13075  SubGrpcsubg 13240  NrmSGrpcnsg 13241   ~_QG cqg 13242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-tp 3627  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-er 6589  df-ec 6591  df-qs 6595  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-ltxr 8061  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-sets 12628  df-iress 12629  df-plusg 12711  df-mulr 12712  df-0g 12872  df-iimas 12888  df-qus 12889  df-mgm 12942  df-sgrp 12988  df-mnd 13001  df-grp 13078  df-minusg 13079  df-subg 13243  df-nsg 13244  df-eqg 13245

This theorem is referenced by:  qus0  13308  qusinv  13309  qussub  13310  ecqusaddd  13311  qusghm  13355