Theorem qusadd 14035

Description: Value of the group operation in a quotient group. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusgrp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
qusadd.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝐺)
qusadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
qusadd.a	⊢ ✚ = (+g‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
qusadd	⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) ✚ [𝑌](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝑋 + 𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆))

Proof of Theorem qusadd

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusgrp.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
2	1	a1i 9	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆)))
3		qusadd.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐺)
4	3	a1i 9	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑉 = (Base‘𝐺))
5		nsgsubg 14006	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6		eqid 2234	. . . 4 ⊢ (𝐺 ~QG 𝑆) = (𝐺 ~QG 𝑆)
7	3, 6	eqger 14025	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝑆) Er 𝑉)
8	5, 7	syl 14	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝑆) Er 𝑉)
9		subgrcl 13980	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
10	5, 9	syl 14	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
11		qusadd.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
12	3, 6, 11	eqgcpbl 14029	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → ((𝑎(𝐺 ~QG 𝑆)𝑝 ∧ 𝑏(𝐺 ~QG 𝑆)𝑞) → (𝑎 + 𝑏)(𝐺 ~QG 𝑆)(𝑝 + 𝑞)))
13	3, 11	grpcl 13805	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉) → (𝑝 + 𝑞) ∈ 𝑉)
14	13	3expb 1231	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → (𝑝 + 𝑞) ∈ 𝑉)
15	10, 14	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → (𝑝 + 𝑞) ∈ 𝑉)
16		qusadd.a	. 2 ⊢ ✚ = (+g‘𝐻)
17	2, 4, 8, 10, 12, 15, 11, 16	qusaddval 13632	1 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) ✚ [𝑌](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝑋 + 𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058   Er wer 6777  [cec 6778  Basecbs 13296  +_gcplusg 13374   /_s cqus 13597  Grpcgrp 13797  SubGrpcsubg 13968  NrmSGrpcnsg 13969   ~_QG cqg 13970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-tp 3702  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-er 6780  df-ec 6782  df-qs 6786  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-sets 13303  df-iress 13304  df-plusg 13387  df-mulr 13388  df-0g 13555  df-iimas 13599  df-qus 13600  df-mgm 13653  df-sgrp 13699  df-mnd 13714  df-grp 13800  df-minusg 13801  df-subg 13971  df-nsg 13972  df-eqg 13973

This theorem is referenced by:  qus0  14036  qusinv  14037  qussub  14038  ecqusaddd  14039  qusghm  14083