Theorem qusadd 13364

Description: Value of the group operation in a quotient group. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusgrp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
qusadd.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝐺)
qusadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
qusadd.a	⊢ ✚ = (+g‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
qusadd	⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) ✚ [𝑌](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝑋 + 𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆))

Proof of Theorem qusadd

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusgrp.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
2	1	a1i 9	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆)))
3		qusadd.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐺)
4	3	a1i 9	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑉 = (Base‘𝐺))
5		nsgsubg 13335	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (𝐺 ~QG 𝑆) = (𝐺 ~QG 𝑆)
7	3, 6	eqger 13354	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝑆) Er 𝑉)
8	5, 7	syl 14	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝑆) Er 𝑉)
9		subgrcl 13309	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
10	5, 9	syl 14	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
11		qusadd.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
12	3, 6, 11	eqgcpbl 13358	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → ((𝑎(𝐺 ~QG 𝑆)𝑝 ∧ 𝑏(𝐺 ~QG 𝑆)𝑞) → (𝑎 + 𝑏)(𝐺 ~QG 𝑆)(𝑝 + 𝑞)))
13	3, 11	grpcl 13140	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉) → (𝑝 + 𝑞) ∈ 𝑉)
14	13	3expb 1206	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → (𝑝 + 𝑞) ∈ 𝑉)
15	10, 14	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → (𝑝 + 𝑞) ∈ 𝑉)
16		qusadd.a	. 2 ⊢ ✚ = (+g‘𝐻)
17	2, 4, 8, 10, 12, 15, 11, 16	qusaddval 12978	1 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) ✚ [𝑌](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝑋 + 𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922   Er wer 6589  [cec 6590  Basecbs 12678  +_gcplusg 12755   /_s cqus 12943  Grpcgrp 13132  SubGrpcsubg 13297  NrmSGrpcnsg 13298   ~_QG cqg 13299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-tp 3630  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-er 6592  df-ec 6594  df-qs 6598  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-iress 12686  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-0g 12929  df-iimas 12945  df-qus 12946  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-grp 13135  df-minusg 13136  df-subg 13300  df-nsg 13301  df-eqg 13302

This theorem is referenced by:  qus0  13365  qusinv  13366  qussub  13367  ecqusaddd  13368  qusghm  13412