Theorem qussub 13648

Description: Value of the group subtraction operation in a quotient group. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusgrp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
qusinv.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝐺)
qussub.p	⊢ − = (-g‘𝐺)
qussub.a	⊢ 𝑁 = (-g‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
qussub	⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)𝑁[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝑋 − 𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆))

Proof of Theorem qussub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusgrp.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
2		qusinv.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2206	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
4	1, 2, 3	quseccl 13644	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → [𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻))
5	4	3adant3 1020	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → [𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻))
6	1, 2, 3	quseccl 13644	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → [𝑌](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻))
7		eqid 2206	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
8		eqid 2206	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐻) = (invg‘𝐻)
9		qussub.a	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (-g‘𝐻)
10	3, 7, 8, 9	grpsubval 13453	. . 3 ⊢ (([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻) ∧ [𝑌](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻)) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)𝑁[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆)) = ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)((invg‘𝐻)‘[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆))))
11	5, 6, 10	3imp3i2an 1186	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)𝑁[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆)) = ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)((invg‘𝐻)‘[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆))))
12		eqid 2206	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
13	1, 2, 12, 8	qusinv 13647	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝐻)‘[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆)) = [((invg‘𝐺)‘𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆))
14	13	3adant2 1019	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝐻)‘[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆)) = [((invg‘𝐺)‘𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆))
15	14	oveq2d 5973	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)((invg‘𝐻)‘[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆))) = ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)[((invg‘𝐺)‘𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆)))
16		nsgsubg 13616	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
17		subgrcl 13590	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
18	16, 17	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
19	2, 12	grpinvcl 13455	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝑉)
20	18, 19	sylan 283	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝑉)
21	20	3adant2 1019	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝑉)
22		eqid 2206	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
23	1, 2, 22, 7	qusadd 13645	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)[((invg‘𝐺)‘𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌))](𝐺 ~QG 𝑆))
24	21, 23	syld3an3 1295	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)[((invg‘𝐺)‘𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌))](𝐺 ~QG 𝑆))
25		qussub.p	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝐺)
26	2, 22, 12, 25	grpsubval 13453	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)))
27	26	3adant1 1018	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)))
28	27	eceq1d 6669	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → [(𝑋 − 𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆) = [(𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌))](𝐺 ~QG 𝑆))
29	24, 28	eqtr4d 2242	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)[((invg‘𝐺)‘𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝑋 − 𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆))
30	11, 15, 29	3eqtrd 2243	1 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)𝑁[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝑋 − 𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ‘cfv 5280  (class class class)co 5957  [cec 6631  Basecbs 12907  +_gcplusg 12984   /_s cqus 13207  Grpcgrp 13407  inv_gcminusg 13408  -_gcsg 13409  SubGrpcsubg 13578  NrmSGrpcnsg 13579   ~_QG cqg 13580

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-tp 3646  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-er 6633  df-ec 6635  df-qs 6639  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-ltxr 8132  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-ndx 12910  df-slot 12911  df-base 12913  df-sets 12914  df-iress 12915  df-plusg 12997  df-mulr 12998  df-0g 13165  df-iimas 13209  df-qus 13210  df-mgm 13263  df-sgrp 13309  df-mnd 13324  df-grp 13410  df-minusg 13411  df-sbg 13412  df-subg 13581  df-nsg 13582  df-eqg 13583

This theorem is referenced by: (None)