Theorem qussub 13887

Description: Value of the group subtraction operation in a quotient group. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusgrp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
qusinv.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝐺)
qussub.p	⊢ − = (-g‘𝐺)
qussub.a	⊢ 𝑁 = (-g‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
qussub	⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)𝑁[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝑋 − 𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆))

Proof of Theorem qussub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusgrp.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
2		qusinv.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
4	1, 2, 3	quseccl 13883	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → [𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻))
5	4	3adant3 1044	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → [𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻))
6	1, 2, 3	quseccl 13883	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → [𝑌](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻))
7		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
8		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐻) = (invg‘𝐻)
9		qussub.a	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (-g‘𝐻)
10	3, 7, 8, 9	grpsubval 13692	. . 3 ⊢ (([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻) ∧ [𝑌](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻)) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)𝑁[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆)) = ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)((invg‘𝐻)‘[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆))))
11	5, 6, 10	3imp3i2an 1210	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)𝑁[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆)) = ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)((invg‘𝐻)‘[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆))))
12		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
13	1, 2, 12, 8	qusinv 13886	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝐻)‘[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆)) = [((invg‘𝐺)‘𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆))
14	13	3adant2 1043	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝐻)‘[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆)) = [((invg‘𝐺)‘𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆))
15	14	oveq2d 6044	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)((invg‘𝐻)‘[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆))) = ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)[((invg‘𝐺)‘𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆)))
16		nsgsubg 13855	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
17		subgrcl 13829	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
18	16, 17	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
19	2, 12	grpinvcl 13694	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝑉)
20	18, 19	sylan 283	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝑉)
21	20	3adant2 1043	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝑉)
22		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
23	1, 2, 22, 7	qusadd 13884	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)[((invg‘𝐺)‘𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌))](𝐺 ~QG 𝑆))
24	21, 23	syld3an3 1319	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)[((invg‘𝐺)‘𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌))](𝐺 ~QG 𝑆))
25		qussub.p	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝐺)
26	2, 22, 12, 25	grpsubval 13692	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)))
27	26	3adant1 1042	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)))
28	27	eceq1d 6781	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → [(𝑋 − 𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆) = [(𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌))](𝐺 ~QG 𝑆))
29	24, 28	eqtr4d 2267	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)[((invg‘𝐺)‘𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝑋 − 𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆))
30	11, 15, 29	3eqtrd 2268	1 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆)𝑁[𝑌](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝑋 − 𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  [cec 6743  Basecbs 13145  +_gcplusg 13223   /_s cqus 13446  Grpcgrp 13646  inv_gcminusg 13647  -_gcsg 13648  SubGrpcsubg 13817  NrmSGrpcnsg 13818   ~_QG cqg 13819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-tp 3681  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-er 6745  df-ec 6747  df-qs 6751  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-ltxr 8261  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-sets 13152  df-iress 13153  df-plusg 13236  df-mulr 13237  df-0g 13404  df-iimas 13448  df-qus 13449  df-mgm 13502  df-sgrp 13548  df-mnd 13563  df-grp 13649  df-minusg 13650  df-sbg 13651  df-subg 13820  df-nsg 13821  df-eqg 13822

This theorem is referenced by: (None)