Theorem qus0 13199

Description: Value of the group identity operation in a quotient group. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusgrp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
qus0.p	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
qus0	⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆) = (0g‘𝐻))

Proof of Theorem qus0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsgsubg 13169	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		subgrcl 13143	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
4		eqid 2189	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
5		qus0.p	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
6	4, 5	grpidcl 12996	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝐺))
7	3, 6	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 0 ∈ (Base‘𝐺))
8		qusgrp.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
9		eqid 2189	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
10		eqid 2189	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
11	8, 4, 9, 10	qusadd 13198	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺)) → ([ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)[ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)) = [( 0 (+g‘𝐺) 0 )](𝐺 ~QG 𝑆))
12	7, 7, 11	mpd3an23 1350	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → ([ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)[ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)) = [( 0 (+g‘𝐺) 0 )](𝐺 ~QG 𝑆))
13	4, 9, 5	grplid 12998	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺)) → ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 )
14	3, 7, 13	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 )
15	14	eceq1d 6599	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → [( 0 (+g‘𝐺) 0 )](𝐺 ~QG 𝑆) = [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆))
16	12, 15	eqtrd 2222	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → ([ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)[ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)) = [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆))
17	8	qusgrp 13196	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)
18		eqid 2189	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
19	8, 4, 18	quseccl 13197	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺)) → [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻))
20	7, 19	mpdan 421	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻))
21		eqid 2189	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
22	18, 10, 21	grpid 13006	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻)) → (([ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)[ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)) = [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆) ↔ (0g‘𝐻) = [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)))
23	17, 20, 22	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → (([ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)[ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)) = [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆) ↔ (0g‘𝐻) = [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)))
24	16, 23	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → (0g‘𝐻) = [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆))
25	24	eqcomd 2195	1 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆) = (0g‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  ‘cfv 5238  (class class class)co 5900  [cec 6561  Basecbs 12523  +_gcplusg 12600  0_gc0g 12772   /_s cqus 12788  Grpcgrp 12968  SubGrpcsubg 13131  NrmSGrpcnsg 13132   ~_QG cqg 13133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4136  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-addcom 7946  ax-addass 7948  ax-i2m1 7951  ax-0lt1 7952  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-lttrn 7960  ax-pre-ltadd 7962

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-tp 3618  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3906  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-f1 5243  df-fo 5244  df-f1o 5245  df-fv 5246  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-er 6563  df-ec 6565  df-qs 6569  df-pnf 8029  df-mnf 8030  df-ltxr 8032  df-inn 8955  df-2 9013  df-3 9014  df-ndx 12526  df-slot 12527  df-base 12529  df-sets 12530  df-iress 12531  df-plusg 12613  df-mulr 12614  df-0g 12774  df-iimas 12790  df-qus 12791  df-mgm 12843  df-sgrp 12888  df-mnd 12901  df-grp 12971  df-minusg 12972  df-subg 13134  df-nsg 13135  df-eqg 13136

This theorem is referenced by:  qusinv  13200