Theorem qus0 13780

Description: Value of the group identity operation in a quotient group. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusgrp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
qus0.p	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
qus0	⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆) = (0g‘𝐻))

Proof of Theorem qus0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsgsubg 13750	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		subgrcl 13724	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
4		eqid 2229	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
5		qus0.p	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
6	4, 5	grpidcl 13570	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝐺))
7	3, 6	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 0 ∈ (Base‘𝐺))
8		qusgrp.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
9		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
10		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
11	8, 4, 9, 10	qusadd 13779	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺)) → ([ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)[ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)) = [( 0 (+g‘𝐺) 0 )](𝐺 ~QG 𝑆))
12	7, 7, 11	mpd3an23 1373	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → ([ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)[ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)) = [( 0 (+g‘𝐺) 0 )](𝐺 ~QG 𝑆))
13	4, 9, 5	grplid 13572	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺)) → ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 )
14	3, 7, 13	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 )
15	14	eceq1d 6724	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → [( 0 (+g‘𝐺) 0 )](𝐺 ~QG 𝑆) = [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆))
16	12, 15	eqtrd 2262	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → ([ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)[ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)) = [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆))
17	8	qusgrp 13777	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)
18		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
19	8, 4, 18	quseccl 13778	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺)) → [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻))
20	7, 19	mpdan 421	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻))
21		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
22	18, 10, 21	grpid 13580	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻)) → (([ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)[ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)) = [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆) ↔ (0g‘𝐻) = [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)))
23	17, 20, 22	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → (([ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)[ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)) = [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆) ↔ (0g‘𝐻) = [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)))
24	16, 23	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → (0g‘𝐻) = [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆))
25	24	eqcomd 2235	1 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆) = (0g‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  [cec 6686  Basecbs 13040  +_gcplusg 13118  0_gc0g 13297   /_s cqus 13341  Grpcgrp 13541  SubGrpcsubg 13712  NrmSGrpcnsg 13713   ~_QG cqg 13714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-addass 8109  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-ltadd 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-er 6688  df-ec 6690  df-qs 6694  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-ltxr 8194  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-base 13046  df-sets 13047  df-iress 13048  df-plusg 13131  df-mulr 13132  df-0g 13299  df-iimas 13343  df-qus 13344  df-mgm 13397  df-sgrp 13443  df-mnd 13458  df-grp 13544  df-minusg 13545  df-subg 13715  df-nsg 13716  df-eqg 13717

This theorem is referenced by:  qusinv  13781