Theorem qus0 14040

Description: Value of the group identity operation in a quotient group. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusgrp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
qus0.p	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
qus0	⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆) = (0g‘𝐻))

Proof of Theorem qus0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsgsubg 14010	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		subgrcl 13984	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
4		eqid 2238	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
5		qus0.p	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
6	4, 5	grpidcl 13836	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝐺))
7	3, 6	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 0 ∈ (Base‘𝐺))
8		qusgrp.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
9		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
10		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
11	8, 4, 9, 10	qusadd 14039	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺)) → ([ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)[ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)) = [( 0 (+g‘𝐺) 0 )](𝐺 ~QG 𝑆))
12	7, 7, 11	mpd3an23 1380	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → ([ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)[ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)) = [( 0 (+g‘𝐺) 0 )](𝐺 ~QG 𝑆))
13	4, 9, 5	grplid 13838	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺)) → ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 )
14	3, 7, 13	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 )
15	14	eceq1d 6843	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → [( 0 (+g‘𝐺) 0 )](𝐺 ~QG 𝑆) = [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆))
16	12, 15	eqtrd 2271	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → ([ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)[ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)) = [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆))
17	8	qusgrp 14037	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)
18		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
19	8, 4, 18	quseccl 14038	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺)) → [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻))
20	7, 19	mpdan 425	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻))
21		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
22	18, 10, 21	grpid 13846	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻)) → (([ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)[ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)) = [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆) ↔ (0g‘𝐻) = [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)))
23	17, 20, 22	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → (([ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)[ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)) = [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆) ↔ (0g‘𝐻) = [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)))
24	16, 23	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → (0g‘𝐻) = [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆))
25	24	eqcomd 2244	1 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆) = (0g‘𝐻))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  [cec 6805  Basecbs 13354  +_gcplusg 13433  0_gc0g 13612   /_s cqus 13625  Grpcgrp 13807  SubGrpcsubg 13972  NrmSGrpcnsg 13973   ~_QG cqg 13974

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-er 6807  df-ec 6809  df-qs 6813  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-base 13360  df-sets 13361  df-iress 13362  df-plusg 13446  df-mulr 13447  df-0g 13614  df-iimas 13626  df-qus 13627  df-mgm 13678  df-sgrp 13719  df-mnd 13732  df-grp 13810  df-minusg 13811  df-subg 13975  df-nsg 13976  df-eqg 13977

This theorem is used by:  qusinv  14041