ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recidpirqlemcalc GIF version

Theorem recidpirqlemcalc 7855
Description: Lemma for recidpirq 7856. Rearranging some of the expressions. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
recidpirqlemcalc.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ P)
recidpirqlemcalc.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ P)
recidpirqlemcalc.rec (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยทP ๐ต) = 1P)
Assertion
Ref Expression
recidpirqlemcalc (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด +P 1P) ยทP (๐ต +P 1P)) +P (1P ยทP 1P)) +P 1P) = ((((๐ด +P 1P) ยทP 1P) +P (1P ยทP (๐ต +P 1P))) +P (1P +P 1P)))

Proof of Theorem recidpirqlemcalc
StepHypRef Expression
1 recidpirqlemcalc.a . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ P)
2 1pr 7552 . . . . . 6 1P โˆˆ P
32a1i 9 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 1P โˆˆ P)
4 addclpr 7535 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ P โˆง 1P โˆˆ P) โ†’ (๐ด +P 1P) โˆˆ P)
51, 3, 4syl2anc 411 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด +P 1P) โˆˆ P)
6 recidpirqlemcalc.b . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ P)
7 addclpr 7535 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ P โˆง 1P โˆˆ P) โ†’ (๐ต +P 1P) โˆˆ P)
86, 3, 7syl2anc 411 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ต +P 1P) โˆˆ P)
9 addclpr 7535 . . . 4 (((๐ด +P 1P) โˆˆ P โˆง (๐ต +P 1P) โˆˆ P) โ†’ ((๐ด +P 1P) +P (๐ต +P 1P)) โˆˆ P)
105, 8, 9syl2anc 411 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด +P 1P) +P (๐ต +P 1P)) โˆˆ P)
11 addassprg 7577 . . 3 ((((๐ด +P 1P) +P (๐ต +P 1P)) โˆˆ P โˆง 1P โˆˆ P โˆง 1P โˆˆ P) โ†’ ((((๐ด +P 1P) +P (๐ต +P 1P)) +P 1P) +P 1P) = (((๐ด +P 1P) +P (๐ต +P 1P)) +P (1P +P 1P)))
1210, 3, 3, 11syl3anc 1238 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด +P 1P) +P (๐ต +P 1P)) +P 1P) +P 1P) = (((๐ด +P 1P) +P (๐ต +P 1P)) +P (1P +P 1P)))
13 distrprg 7586 . . . . . . 7 (((๐ด +P 1P) โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P โˆง 1P โˆˆ P) โ†’ ((๐ด +P 1P) ยทP (๐ต +P 1P)) = (((๐ด +P 1P) ยทP ๐ต) +P ((๐ด +P 1P) ยทP 1P)))
145, 6, 3, 13syl3anc 1238 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด +P 1P) ยทP (๐ต +P 1P)) = (((๐ด +P 1P) ยทP ๐ต) +P ((๐ด +P 1P) ยทP 1P)))
15 1idpr 7590 . . . . . . . 8 ((๐ด +P 1P) โˆˆ P โ†’ ((๐ด +P 1P) ยทP 1P) = (๐ด +P 1P))
165, 15syl 14 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด +P 1P) ยทP 1P) = (๐ด +P 1P))
1716oveq2d 5890 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด +P 1P) ยทP ๐ต) +P ((๐ด +P 1P) ยทP 1P)) = (((๐ด +P 1P) ยทP ๐ต) +P (๐ด +P 1P)))
18 mulcomprg 7578 . . . . . . . . 9 (((๐ด +P 1P) โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โ†’ ((๐ด +P 1P) ยทP ๐ต) = (๐ต ยทP (๐ด +P 1P)))
195, 6, 18syl2anc 411 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด +P 1P) ยทP ๐ต) = (๐ต ยทP (๐ด +P 1P)))
20 distrprg 7586 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ P โˆง 1P โˆˆ P) โ†’ (๐ต ยทP (๐ด +P 1P)) = ((๐ต ยทP ๐ด) +P (๐ต ยทP 1P)))
216, 1, 3, 20syl3anc 1238 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยทP (๐ด +P 1P)) = ((๐ต ยทP ๐ด) +P (๐ต ยทP 1P)))
22 mulcomprg 7578 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ P) โ†’ (๐ต ยทP ๐ด) = (๐ด ยทP ๐ต))
236, 1, 22syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยทP ๐ด) = (๐ด ยทP ๐ต))
24 recidpirqlemcalc.rec . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยทP ๐ต) = 1P)
2523, 24eqtrd 2210 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยทP ๐ด) = 1P)
26 1idpr 7590 . . . . . . . . . 10 (๐ต โˆˆ P โ†’ (๐ต ยทP 1P) = ๐ต)
276, 26syl 14 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยทP 1P) = ๐ต)
2825, 27oveq12d 5892 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยทP ๐ด) +P (๐ต ยทP 1P)) = (1P +P ๐ต))
2919, 21, 283eqtrd 2214 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด +P 1P) ยทP ๐ต) = (1P +P ๐ต))
3029oveq1d 5889 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด +P 1P) ยทP ๐ต) +P (๐ด +P 1P)) = ((1P +P ๐ต) +P (๐ด +P 1P)))
3114, 17, 303eqtrd 2214 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด +P 1P) ยทP (๐ต +P 1P)) = ((1P +P ๐ต) +P (๐ด +P 1P)))
32 1idpr 7590 . . . . . 6 (1P โˆˆ P โ†’ (1P ยทP 1P) = 1P)
332, 32mp1i 10 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1P ยทP 1P) = 1P)
3431, 33oveq12d 5892 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด +P 1P) ยทP (๐ต +P 1P)) +P (1P ยทP 1P)) = (((1P +P ๐ต) +P (๐ด +P 1P)) +P 1P))
35 addcomprg 7576 . . . . . . . 8 ((1P โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โ†’ (1P +P ๐ต) = (๐ต +P 1P))
363, 6, 35syl2anc 411 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (1P +P ๐ต) = (๐ต +P 1P))
3736oveq1d 5889 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((1P +P ๐ต) +P (๐ด +P 1P)) = ((๐ต +P 1P) +P (๐ด +P 1P)))
38 addcomprg 7576 . . . . . . 7 (((๐ต +P 1P) โˆˆ P โˆง (๐ด +P 1P) โˆˆ P) โ†’ ((๐ต +P 1P) +P (๐ด +P 1P)) = ((๐ด +P 1P) +P (๐ต +P 1P)))
398, 5, 38syl2anc 411 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต +P 1P) +P (๐ด +P 1P)) = ((๐ด +P 1P) +P (๐ต +P 1P)))
4037, 39eqtrd 2210 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((1P +P ๐ต) +P (๐ด +P 1P)) = ((๐ด +P 1P) +P (๐ต +P 1P)))
4140oveq1d 5889 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((1P +P ๐ต) +P (๐ด +P 1P)) +P 1P) = (((๐ด +P 1P) +P (๐ต +P 1P)) +P 1P))
4234, 41eqtrd 2210 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด +P 1P) ยทP (๐ต +P 1P)) +P (1P ยทP 1P)) = (((๐ด +P 1P) +P (๐ต +P 1P)) +P 1P))
4342oveq1d 5889 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด +P 1P) ยทP (๐ต +P 1P)) +P (1P ยทP 1P)) +P 1P) = ((((๐ด +P 1P) +P (๐ต +P 1P)) +P 1P) +P 1P))
44 mulcomprg 7578 . . . . . 6 ((1P โˆˆ P โˆง (๐ต +P 1P) โˆˆ P) โ†’ (1P ยทP (๐ต +P 1P)) = ((๐ต +P 1P) ยทP 1P))
453, 8, 44syl2anc 411 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1P ยทP (๐ต +P 1P)) = ((๐ต +P 1P) ยทP 1P))
46 1idpr 7590 . . . . . 6 ((๐ต +P 1P) โˆˆ P โ†’ ((๐ต +P 1P) ยทP 1P) = (๐ต +P 1P))
478, 46syl 14 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต +P 1P) ยทP 1P) = (๐ต +P 1P))
4845, 47eqtrd 2210 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (1P ยทP (๐ต +P 1P)) = (๐ต +P 1P))
4916, 48oveq12d 5892 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด +P 1P) ยทP 1P) +P (1P ยทP (๐ต +P 1P))) = ((๐ด +P 1P) +P (๐ต +P 1P)))
5049oveq1d 5889 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด +P 1P) ยทP 1P) +P (1P ยทP (๐ต +P 1P))) +P (1P +P 1P)) = (((๐ด +P 1P) +P (๐ต +P 1P)) +P (1P +P 1P)))
5112, 43, 503eqtr4d 2220 1 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด +P 1P) ยทP (๐ต +P 1P)) +P (1P ยทP 1P)) +P 1P) = ((((๐ด +P 1P) ยทP 1P) +P (1P ยทP (๐ต +P 1P))) +P (1P +P 1P)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  (class class class)co 5874  Pcnp 7289  1Pc1p 7290   +P cpp 7291   ยทP cmp 7292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-eprel 4289  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-1o 6416  df-2o 6417  df-oadd 6420  df-omul 6421  df-er 6534  df-ec 6536  df-qs 6540  df-ni 7302  df-pli 7303  df-mi 7304  df-lti 7305  df-plpq 7342  df-mpq 7343  df-enq 7345  df-nqqs 7346  df-plqqs 7347  df-mqqs 7348  df-1nqqs 7349  df-rq 7350  df-ltnqqs 7351  df-enq0 7422  df-nq0 7423  df-0nq0 7424  df-plq0 7425  df-mq0 7426  df-inp 7464  df-i1p 7465  df-iplp 7466  df-imp 7467
This theorem is referenced by:  recidpirq  7856
  Copyright terms: Public domain W3C validator