ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvrdir GIF version
Theorem dvrdir 13312
Description: Distributive law for the division operation of a ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrdir.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
dvrdir.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
dvrdir.p + = (+gβ€˜π‘…)
dvrdir.t / = (/rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
dvrdir ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) / 𝑍) = ((𝑋 / 𝑍) + (π‘Œ / 𝑍)))
Proof of Theorem dvrdir
StepHypRef Expression
1 simpl 109 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 simpr1 1003 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
3 simpr2 1004 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
4 dvrdir.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
54a1i 9 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…))
6 dvrdir.u . . . . 5 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
76a1i 9 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…))
8 ringsrg 13224 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ SRing)
98adantr 276 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑅 ∈ SRing)
10 simpr3 1005 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ)
11 eqid 2177 . . . . . 6 (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…)
126, 11unitinvcl 13292 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) ∈ π‘ˆ)
1310, 12syldan 282 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) ∈ π‘ˆ)
145, 7, 9, 13unitcld 13277 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) ∈ 𝐡)
15 dvrdir.p . . . 4 + = (+gβ€˜π‘…)
16 eqid 2177 . . . 4 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
174, 15, 16ringdir 13202 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 + π‘Œ)(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)) = ((𝑋(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)) + (π‘Œ(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘))))
181, 2, 3, 14, 17syl13anc 1240 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑋 + π‘Œ)(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)) = ((𝑋(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)) + (π‘Œ(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘))))
19 eqidd 2178 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…))
20 eqidd 2178 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…))
21 dvrdir.t . . . 4 / = (/rβ€˜π‘…)
2221a1i 9 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ / = (/rβ€˜π‘…))
23 ringgrp 13184 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
2423adantr 276 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
254, 15, 24, 2, 3grpcld 12890 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝐡)
265, 19, 7, 20, 22, 1, 25, 10dvrvald 13303 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) / 𝑍) = ((𝑋 + π‘Œ)(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)))
275, 19, 7, 20, 22, 1, 2, 10dvrvald 13303 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑋 / 𝑍) = (𝑋(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)))
285, 19, 7, 20, 22, 1, 3, 10dvrvald 13303 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘Œ / 𝑍) = (π‘Œ(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)))
2927, 28oveq12d 5893 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑋 / 𝑍) + (π‘Œ / 𝑍)) = ((𝑋(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)) + (π‘Œ(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘))))
3018, 26, 293eqtr4d 2220 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) / 𝑍) = ((𝑋 / 𝑍) + (π‘Œ / 𝑍)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  β€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  Basecbs 12462  +gcplusg 12536  .rcmulr 12537  Grpcgrp 12877  SRingcsrg 13146  Ringcrg 13179  Unitcui 13256  invrcinvr 13289  /rcdvr 13300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-ltadd 7927
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-tpos 6246  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-ltxr 7997  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-ndx 12465  df-slot 12466  df-base 12468  df-sets 12469  df-iress 12470  df-plusg 12549  df-mulr 12550  df-0g 12707  df-mgm 12775  df-sgrp 12808  df-mnd 12818  df-grp 12880  df-minusg 12881  df-cmn 13090  df-abl 13091  df-mgp 13131  df-ur 13143  df-srg 13147  df-ring 13181  df-oppr 13240  df-dvdsr 13258  df-unit 13259  df-invr 13290  df-dvr 13301
This theorem is referenced by:  lringuplu  13337
  Copyright terms: Public domain W3C validator