Theorem uhgr0vb 15964

Description: The null graph, with no vertices, is a hypergraph if and only if the edge function is empty. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-Dec-2017.) (Revised by AV, 9-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
uhgr0vb	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → (𝐺 ∈ UHGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))

Proof of Theorem uhgr0vb

Dummy variables 𝑠 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2230	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2230	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	uhgrfm 15953	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑠 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠})
4		pweq 3656	. . . . . . . 8 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = ∅ → 𝒫 (Vtx‘𝐺) = 𝒫 ∅)
5	4	rabeqdv 2795	. . . . . . 7 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = ∅ → {𝑠 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠} = {𝑠 ∈ 𝒫 ∅ ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠})
6		pw0ss 15963	. . . . . . 7 ⊢ {𝑠 ∈ 𝒫 ∅ ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠} = ∅
7	5, 6	eqtrdi 2279	. . . . . 6 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = ∅ → {𝑠 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠} = ∅)
8	7	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → {𝑠 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠} = ∅)
9	8	feq3d 5473	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑠 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠} ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶∅))
10		f00 5531	. . . . 5 ⊢ ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶∅ ↔ ((iEdg‘𝐺) = ∅ ∧ dom (iEdg‘𝐺) = ∅))
11	10	simplbi 274	. . . 4 ⊢ ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶∅ → (iEdg‘𝐺) = ∅)
12	9, 11	biimtrdi 163	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑠 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠} → (iEdg‘𝐺) = ∅))
13	3, 12	syl5 32	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → (𝐺 ∈ UHGraph → (iEdg‘𝐺) = ∅))
14		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ 𝑊)
15		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → (iEdg‘𝐺) = ∅)
16	14, 15	uhgr0e 15962	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ UHGraph)
17	16	ex 115	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → ((iEdg‘𝐺) = ∅ → 𝐺 ∈ UHGraph))
18	17	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → ((iEdg‘𝐺) = ∅ → 𝐺 ∈ UHGraph))
19	13, 18	impbid 129	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → (𝐺 ∈ UHGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397  ∃wex 1540   ∈ wcel 2201  {crab 2513  ∅c0 3493  𝒫 cpw 3653  dom cdm 4727  ⟶wf 5324  ‘cfv 5328  Vtxcvtx 15892  iEdgciedg 15893  UHGraphcuhgr 15947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-cnre 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-fo 5334  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-sub 8357  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-5 9210  df-6 9211  df-7 9212  df-8 9213  df-9 9214  df-n0 9408  df-dec 9617  df-ndx 13108  df-slot 13109  df-base 13111  df-edgf 15885  df-vtx 15894  df-iedg 15895  df-uhgrm 15949

This theorem is referenced by:  usgr0vb  16113  uhgr0v0e  16114  0uhgrsubgr  16145