Theorem uhgr0e 16206

Description: The empty graph, with vertices but no edges, is a hypergraph. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by AV, 25-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uhgr0e.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
uhgr0e.e	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = ∅)

Assertion

Ref	Expression
uhgr0e	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UHGraph)

Proof of Theorem uhgr0e

Dummy variables 𝑠 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f0 5563	. . 3 ⊢ ∅:∅⟶{𝑠 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠}
2		dm0 4975	. . . 4 ⊢ dom ∅ = ∅
3	2	feq2i 5507	. . 3 ⊢ (∅:dom ∅⟶{𝑠 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠} ↔ ∅:∅⟶{𝑠 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠})
4	1, 3	mpbir 146	. 2 ⊢ ∅:dom ∅⟶{𝑠 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠}
5		uhgr0e.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
6		eqid 2234	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
7		eqid 2234	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
8	6, 7	isuhgrm 16195	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (𝐺 ∈ UHGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑠 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠}))
9	5, 8	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ UHGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑠 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠}))
10		uhgr0e.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = ∅)
11		id 19	. . . . 5 ⊢ ((iEdg‘𝐺) = ∅ → (iEdg‘𝐺) = ∅)
12		dmeq 4961	. . . . 5 ⊢ ((iEdg‘𝐺) = ∅ → dom (iEdg‘𝐺) = dom ∅)
13	11, 12	feq12d 5503	. . . 4 ⊢ ((iEdg‘𝐺) = ∅ → ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑠 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠} ↔ ∅:dom ∅⟶{𝑠 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠}))
14	10, 13	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑠 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠} ↔ ∅:dom ∅⟶{𝑠 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠}))
15	9, 14	bitrd 188	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ UHGraph ↔ ∅:dom ∅⟶{𝑠 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠}))
16	4, 15	mpbiri 168	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UHGraph)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2205  {crab 2526  ∅c0 3512  𝒫 cpw 3674  dom cdm 4754  ⟶wf 5353  ‘cfv 5357  Vtxcvtx 16136  iEdgciedg 16137  UHGraphcuhgr 16191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fo 5363  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-sub 8463  df-inn 9258  df-2 9316  df-3 9317  df-4 9318  df-5 9319  df-6 9320  df-7 9321  df-8 9322  df-9 9323  df-n0 9517  df-dec 9731  df-ndx 13302  df-slot 13303  df-base 13305  df-edgf 16129  df-vtx 16138  df-iedg 16139  df-uhgrm 16193

This theorem is referenced by:  uhgr0vb  16208