Theorem uhgrm 16122

Description: An edge is an inhabited subset of vertices. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by AV, 15-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
uhgrfun.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
uhgrm	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝐸‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑗,𝐸   𝑗,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐺(𝑗)

Proof of Theorem uhgrm

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2234	. . . . . . . 8 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		uhgrfun.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	uhgrfm 16117	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → 𝐸:dom 𝐸⟶{𝑠 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠})
4		fndm 5457	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 Fn 𝐴 → dom 𝐸 = 𝐴)
5	4	feq2d 5498	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 Fn 𝐴 → (𝐸:dom 𝐸⟶{𝑠 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠} ↔ 𝐸:𝐴⟶{𝑠 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠}))
6	3, 5	syl5ibcom 155	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐸 Fn 𝐴 → 𝐸:𝐴⟶{𝑠 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠}))
7	6	imp 124	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴) → 𝐸:𝐴⟶{𝑠 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠})
8	7	ffvelcdmda 5814	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → (𝐸‘𝐹) ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠})
9	8	3impa 1221	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → (𝐸‘𝐹) ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠})
10		eleq2 2298	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = (𝐸‘𝐹) → (𝑗 ∈ 𝑠 ↔ 𝑗 ∈ (𝐸‘𝐹)))
11	10	exbidv 1874	. . . 4 ⊢ (𝑠 = (𝐸‘𝐹) → (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠 ↔ ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝐸‘𝐹)))
12	11	elrab 2975	. . 3 ⊢ ((𝐸‘𝐹) ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠} ↔ ((𝐸‘𝐹) ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝐸‘𝐹)))
13	9, 12	sylib 122	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → ((𝐸‘𝐹) ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝐸‘𝐹)))
14	13	simprd 114	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝐸‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2205  {crab 2526  𝒫 cpw 3671  dom cdm 4751   Fn wfn 5349  ⟶wf 5350  ‘cfv 5354  Vtxcvtx 16056  iEdgciedg 16057  UHGraphcuhgr 16111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-cnre 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fo 5360  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-sub 8451  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-4 9303  df-5 9304  df-6 9305  df-7 9306  df-8 9307  df-9 9308  df-n0 9502  df-dec 9716  df-ndx 13236  df-slot 13237  df-base 13239  df-edgf 16049  df-vtx 16058  df-iedg 16059  df-uhgrm 16113

This theorem is referenced by:  lpvtx  16123  subgruhgredgdm  16314