Theorem uhgrm 15718

Description: An edge is an inhabited subset of vertices. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by AV, 15-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
uhgrfun.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
uhgrm	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝐸‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑗,𝐸   𝑗,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐺(𝑗)

Proof of Theorem uhgrm

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2206	. . . . . . . 8 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		uhgrfun.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	uhgrfm 15713	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → 𝐸:dom 𝐸⟶{𝑠 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠})
4		fndm 5378	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 Fn 𝐴 → dom 𝐸 = 𝐴)
5	4	feq2d 5419	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 Fn 𝐴 → (𝐸:dom 𝐸⟶{𝑠 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠} ↔ 𝐸:𝐴⟶{𝑠 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠}))
6	3, 5	syl5ibcom 155	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐸 Fn 𝐴 → 𝐸:𝐴⟶{𝑠 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠}))
7	6	imp 124	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴) → 𝐸:𝐴⟶{𝑠 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠})
8	7	ffvelcdmda 5722	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → (𝐸‘𝐹) ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠})
9	8	3impa 1197	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → (𝐸‘𝐹) ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠})
10		eleq2 2270	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = (𝐸‘𝐹) → (𝑗 ∈ 𝑠 ↔ 𝑗 ∈ (𝐸‘𝐹)))
11	10	exbidv 1849	. . . 4 ⊢ (𝑠 = (𝐸‘𝐹) → (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠 ↔ ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝐸‘𝐹)))
12	11	elrab 2930	. . 3 ⊢ ((𝐸‘𝐹) ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠} ↔ ((𝐸‘𝐹) ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝐸‘𝐹)))
13	9, 12	sylib 122	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → ((𝐸‘𝐹) ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝐸‘𝐹)))
14	13	simprd 114	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝐸‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 981   = wceq 1373  ∃wex 1516   ∈ wcel 2177  {crab 2489  𝒫 cpw 3617  dom cdm 4679   Fn wfn 5271  ⟶wf 5272  ‘cfv 5276  Vtxcvtx 15655  iEdgciedg 15656  UHGraphcuhgr 15707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-cnre 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-fo 5282  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-sub 8252  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-4 9104  df-5 9105  df-6 9106  df-7 9107  df-8 9108  df-9 9109  df-n0 9303  df-dec 9512  df-ndx 12879  df-slot 12880  df-base 12882  df-edgf 15648  df-vtx 15657  df-iedg 15658  df-uhgrm 15709

This theorem is referenced by:  lpvtx  15719