Theorem usgrsizedgen 16671

Description: In a simple graph, the size of the edge function is the number of the edges of the graph. (Contributed by AV, 4-Jan-2020.) (Revised by AV, 7-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
usgrsizedgen	⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺) ≈ (Edg‘𝐺))

Proof of Theorem usgrsizedgen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iedgex 16477	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺) ∈ V)
2		usgrfun 16619	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
3		fundmeng 7100	. . . . 5 ⊢ (((iEdg‘𝐺) ∈ V ∧ Fun (iEdg‘𝐺)) → dom (iEdg‘𝐺) ≈ (iEdg‘𝐺))
4	1, 2, 3	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → dom (iEdg‘𝐺) ≈ (iEdg‘𝐺))
5	4	ensymd 7075	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺) ≈ dom (iEdg‘𝐺))
6	1	dmexd 5050	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → dom (iEdg‘𝐺) ∈ V)
7		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
8	7	usgrf1o 16632	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1-onto→ran (iEdg‘𝐺))
9		f1oeng 7048	. . . 4 ⊢ ((dom (iEdg‘𝐺) ∈ V ∧ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1-onto→ran (iEdg‘𝐺)) → dom (iEdg‘𝐺) ≈ ran (iEdg‘𝐺))
10	6, 8, 9	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → dom (iEdg‘𝐺) ≈ ran (iEdg‘𝐺))
11		entr 7076	. . 3 ⊢ (((iEdg‘𝐺) ≈ dom (iEdg‘𝐺) ∧ dom (iEdg‘𝐺) ≈ ran (iEdg‘𝐺)) → (iEdg‘𝐺) ≈ ran (iEdg‘𝐺))
12	5, 10, 11	syl2anc 415	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺) ≈ ran (iEdg‘𝐺))
13		edgvalg 16517	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))
14	12, 13	breqtrrd 4159	1 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺) ≈ (Edg‘𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   class class class wbr 4131  dom cdm 4776  ran crn 4777  Fun wfun 5374  –1-1-onto→wf1o 5379  ‘cfv 5380   ≈ cen 7025  iEdgciedg 16471  Edgcedg 16515  USGraphcusgr 16612

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-cnre 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-er 6811  df-en 7028  df-sub 8507  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-7 9378  df-8 9379  df-9 9380  df-n0 9576  df-dec 9790  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-edgf 16463  df-vtx 16472  df-iedg 16473  df-edg 16516  df-usgren 16614

This theorem is used by: (None)