Theorem usgrsizedgen 16093

Description: In a simple graph, the size of the edge function is the number of the edges of the graph. (Contributed by AV, 4-Jan-2020.) (Revised by AV, 7-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
usgrsizedgen	⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺) ≈ (Edg‘𝐺))

Proof of Theorem usgrsizedgen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iedgex 15899	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺) ∈ V)
2		usgrfun 16041	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
3		fundmeng 6987	. . . . 5 ⊢ (((iEdg‘𝐺) ∈ V ∧ Fun (iEdg‘𝐺)) → dom (iEdg‘𝐺) ≈ (iEdg‘𝐺))
4	1, 2, 3	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → dom (iEdg‘𝐺) ≈ (iEdg‘𝐺))
5	4	ensymd 6962	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺) ≈ dom (iEdg‘𝐺))
6	1	dmexd 5000	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → dom (iEdg‘𝐺) ∈ V)
7		eqid 2230	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
8	7	usgrf1o 16054	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1-onto→ran (iEdg‘𝐺))
9		f1oeng 6935	. . . 4 ⊢ ((dom (iEdg‘𝐺) ∈ V ∧ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1-onto→ran (iEdg‘𝐺)) → dom (iEdg‘𝐺) ≈ ran (iEdg‘𝐺))
10	6, 8, 9	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → dom (iEdg‘𝐺) ≈ ran (iEdg‘𝐺))
11		entr 6963	. . 3 ⊢ (((iEdg‘𝐺) ≈ dom (iEdg‘𝐺) ∧ dom (iEdg‘𝐺) ≈ ran (iEdg‘𝐺)) → (iEdg‘𝐺) ≈ ran (iEdg‘𝐺))
12	5, 10, 11	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺) ≈ ran (iEdg‘𝐺))
13		edgvalg 15939	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))
14	12, 13	breqtrrd 4117	1 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺) ≈ (Edg‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2201  Vcvv 2801   class class class wbr 4089  dom cdm 4727  ran crn 4728  Fun wfun 5322  –1-1-onto→wf1o 5327  ‘cfv 5328   ≈ cen 6912  iEdgciedg 15893  Edgcedg 15937  USGraphcusgr 16034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-cnre 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-if 3605  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-er 6707  df-en 6915  df-sub 8357  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-5 9210  df-6 9211  df-7 9212  df-8 9213  df-9 9214  df-n0 9408  df-dec 9617  df-ndx 13108  df-slot 13109  df-base 13111  df-edgf 15885  df-vtx 15894  df-iedg 15895  df-edg 15938  df-usgren 16036

This theorem is referenced by: (None)