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Theorem xaddass2 9682
Description: Associativity of extended real addition. See xaddass 9681 for notes on the hypotheses. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xaddass2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))

Proof of Theorem xaddass2
StepHypRef Expression
1 simp1l 1006 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2 xnegcl 9644 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
31, 2syl 14 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
4 simp1r 1007 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → 𝐴 ≠ +∞)
5 pnfxr 7841 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
6 xneg11 9646 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐴 = -𝑒+∞ ↔ 𝐴 = +∞))
71, 5, 6sylancl 410 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → (-𝑒𝐴 = -𝑒+∞ ↔ 𝐴 = +∞))
87necon3bid 2350 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → (-𝑒𝐴 ≠ -𝑒+∞ ↔ 𝐴 ≠ +∞))
94, 8mpbird 166 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → -𝑒𝐴 ≠ -𝑒+∞)
10 xnegpnf 9640 . . . . . . 7 -𝑒+∞ = -∞
1110a1i 9 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → -𝑒+∞ = -∞)
129, 11neeqtrd 2337 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → -𝑒𝐴 ≠ -∞)
13 simp2l 1008 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
14 xnegcl 9644 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
1513, 14syl 14 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
16 simp2r 1009 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → 𝐵 ≠ +∞)
17 xneg11 9646 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐵 = -𝑒+∞ ↔ 𝐵 = +∞))
1813, 5, 17sylancl 410 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → (-𝑒𝐵 = -𝑒+∞ ↔ 𝐵 = +∞))
1918necon3bid 2350 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → (-𝑒𝐵 ≠ -𝑒+∞ ↔ 𝐵 ≠ +∞))
2016, 19mpbird 166 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → -𝑒𝐵 ≠ -𝑒+∞)
2120, 11neeqtrd 2337 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → -𝑒𝐵 ≠ -∞)
22 simp3l 1010 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
23 xnegcl 9644 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℝ* → -𝑒𝐶 ∈ ℝ*)
2422, 23syl 14 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → -𝑒𝐶 ∈ ℝ*)
25 simp3r 1011 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → 𝐶 ≠ +∞)
26 xneg11 9646 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐶 = -𝑒+∞ ↔ 𝐶 = +∞))
2722, 5, 26sylancl 410 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → (-𝑒𝐶 = -𝑒+∞ ↔ 𝐶 = +∞))
2827necon3bid 2350 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → (-𝑒𝐶 ≠ -𝑒+∞ ↔ 𝐶 ≠ +∞))
2925, 28mpbird 166 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → -𝑒𝐶 ≠ -𝑒+∞)
3029, 11neeqtrd 2337 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → -𝑒𝐶 ≠ -∞)
31 xaddass 9681 . . . . 5 (((-𝑒𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐴 ≠ -∞) ∧ (-𝑒𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 ≠ -∞) ∧ (-𝑒𝐶 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐶 ≠ -∞)) → ((-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 -𝑒𝐶) = (-𝑒𝐴 +𝑒 (-𝑒𝐵 +𝑒 -𝑒𝐶)))
323, 12, 15, 21, 24, 30, 31syl222anc 1233 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → ((-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 -𝑒𝐶) = (-𝑒𝐴 +𝑒 (-𝑒𝐵 +𝑒 -𝑒𝐶)))
33 xnegdi 9680 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵))
341, 13, 33syl2anc 409 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵))
3534oveq1d 5796 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → (-𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝑒𝐶) = ((-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 -𝑒𝐶))
36 xnegdi 9680 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → -𝑒(𝐵 +𝑒 𝐶) = (-𝑒𝐵 +𝑒 -𝑒𝐶))
3713, 22, 36syl2anc 409 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → -𝑒(𝐵 +𝑒 𝐶) = (-𝑒𝐵 +𝑒 -𝑒𝐶))
3837oveq2d 5797 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 𝐶)) = (-𝑒𝐴 +𝑒 (-𝑒𝐵 +𝑒 -𝑒𝐶)))
3932, 35, 383eqtr4d 2183 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → (-𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝑒𝐶) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 𝐶)))
40 xaddcl 9672 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
411, 13, 40syl2anc 409 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
42 xnegdi 9680 . . . 4 (((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → -𝑒((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (-𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝑒𝐶))
4341, 22, 42syl2anc 409 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → -𝑒((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (-𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝑒𝐶))
44 xaddcl 9672 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
4513, 22, 44syl2anc 409 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
46 xnegdi 9680 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*) → -𝑒(𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 𝐶)))
471, 45, 46syl2anc 409 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → -𝑒(𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 𝐶)))
4839, 43, 473eqtr4d 2183 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → -𝑒((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = -𝑒(𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
49 xaddcl 9672 . . . 4 (((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
5041, 22, 49syl2anc 409 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
51 xaddcl 9672 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)) ∈ ℝ*)
521, 45, 51syl2anc 409 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)) ∈ ℝ*)
53 xneg11 9646 . . 3 ((((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)) ∈ ℝ*) → (-𝑒((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = -𝑒(𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)) ↔ ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶))))
5450, 52, 53syl2anc 409 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → (-𝑒((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = -𝑒(𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)) ↔ ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶))))
5548, 54mpbid 146 1 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 963   = wceq 1332  wcel 1481  wne 2309  (class class class)co 5781  +∞cpnf 7820  -∞cmnf 7821  *cxr 7822  -𝑒cxne 9585   +𝑒 cxad 9586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-addcom 7743  ax-addass 7745  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-cnre 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-sub 7958  df-neg 7959  df-xneg 9588  df-xadd 9589
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