Theorem xaddass2 10289

Description: Associativity of extended real addition. See xaddass 10288 for notes on the hypotheses. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xaddass2	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → ((𝐴 +e 𝐵) +e 𝐶) = (𝐴 +e (𝐵 +e 𝐶)))

Proof of Theorem xaddass2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1052	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xnegcl 10251	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -e𝐴 ∈ ℝ*)
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -e𝐴 ∈ ℝ*)
4		simp1r 1053	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → 𝐴 ≠ +∞)
5		pnfxr 8384	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
6		xneg11 10253	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-e𝐴 = -e+∞ ↔ 𝐴 = +∞))
7	1, 5, 6	sylancl 417	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (-e𝐴 = -e+∞ ↔ 𝐴 = +∞))
8	7	necon3bid 2461	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (-e𝐴 ≠ -e+∞ ↔ 𝐴 ≠ +∞))
9	4, 8	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -e𝐴 ≠ -e+∞)
10		xnegpnf 10247	. . . . . . 7 ⊢ -e+∞ = -∞
11	10	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -e+∞ = -∞)
12	9, 11	neeqtrd 2448	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -e𝐴 ≠ -∞)
13		simp2l 1054	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
14		xnegcl 10251	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → -e𝐵 ∈ ℝ*)
15	13, 14	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -e𝐵 ∈ ℝ*)
16		simp2r 1055	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → 𝐵 ≠ +∞)
17		xneg11 10253	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-e𝐵 = -e+∞ ↔ 𝐵 = +∞))
18	13, 5, 17	sylancl 417	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (-e𝐵 = -e+∞ ↔ 𝐵 = +∞))
19	18	necon3bid 2461	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (-e𝐵 ≠ -e+∞ ↔ 𝐵 ≠ +∞))
20	16, 19	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -e𝐵 ≠ -e+∞)
21	20, 11	neeqtrd 2448	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -e𝐵 ≠ -∞)
22		simp3l 1056	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
23		xnegcl 10251	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ* → -e𝐶 ∈ ℝ*)
24	22, 23	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -e𝐶 ∈ ℝ*)
25		simp3r 1057	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → 𝐶 ≠ +∞)
26		xneg11 10253	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-e𝐶 = -e+∞ ↔ 𝐶 = +∞))
27	22, 5, 26	sylancl 417	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (-e𝐶 = -e+∞ ↔ 𝐶 = +∞))
28	27	necon3bid 2461	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (-e𝐶 ≠ -e+∞ ↔ 𝐶 ≠ +∞))
29	25, 28	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -e𝐶 ≠ -e+∞)
30	29, 11	neeqtrd 2448	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -e𝐶 ≠ -∞)
31		xaddass 10288	. . . . 5 ⊢ (((-e𝐴 ∈ ℝ* ∧ -e𝐴 ≠ -∞) ∧ (-e𝐵 ∈ ℝ* ∧ -e𝐵 ≠ -∞) ∧ (-e𝐶 ∈ ℝ* ∧ -e𝐶 ≠ -∞)) → ((-e𝐴 +e -e𝐵) +e -e𝐶) = (-e𝐴 +e (-e𝐵 +e -e𝐶)))
32	3, 12, 15, 21, 24, 30, 31	syl222anc 1294	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → ((-e𝐴 +e -e𝐵) +e -e𝐶) = (-e𝐴 +e (-e𝐵 +e -e𝐶)))
33		xnegdi 10287	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -e(𝐴 +e 𝐵) = (-e𝐴 +e -e𝐵))
34	1, 13, 33	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -e(𝐴 +e 𝐵) = (-e𝐴 +e -e𝐵))
35	34	oveq1d 6103	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (-e(𝐴 +e 𝐵) +e -e𝐶) = ((-e𝐴 +e -e𝐵) +e -e𝐶))
36		xnegdi 10287	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → -e(𝐵 +e 𝐶) = (-e𝐵 +e -e𝐶))
37	13, 22, 36	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -e(𝐵 +e 𝐶) = (-e𝐵 +e -e𝐶))
38	37	oveq2d 6104	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (-e𝐴 +e -e(𝐵 +e 𝐶)) = (-e𝐴 +e (-e𝐵 +e -e𝐶)))
39	32, 35, 38	3eqtr4d 2281	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (-e(𝐴 +e 𝐵) +e -e𝐶) = (-e𝐴 +e -e(𝐵 +e 𝐶)))
40		xaddcl 10279	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +e 𝐵) ∈ ℝ*)
41	1, 13, 40	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (𝐴 +e 𝐵) ∈ ℝ*)
42		xnegdi 10287	. . . 4 ⊢ (((𝐴 +e 𝐵) ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → -e((𝐴 +e 𝐵) +e 𝐶) = (-e(𝐴 +e 𝐵) +e -e𝐶))
43	41, 22, 42	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -e((𝐴 +e 𝐵) +e 𝐶) = (-e(𝐴 +e 𝐵) +e -e𝐶))
44		xaddcl 10279	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 +e 𝐶) ∈ ℝ*)
45	13, 22, 44	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (𝐵 +e 𝐶) ∈ ℝ*)
46		xnegdi 10287	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 +e 𝐶) ∈ ℝ*) → -e(𝐴 +e (𝐵 +e 𝐶)) = (-e𝐴 +e -e(𝐵 +e 𝐶)))
47	1, 45, 46	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -e(𝐴 +e (𝐵 +e 𝐶)) = (-e𝐴 +e -e(𝐵 +e 𝐶)))
48	39, 43, 47	3eqtr4d 2281	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -e((𝐴 +e 𝐵) +e 𝐶) = -e(𝐴 +e (𝐵 +e 𝐶)))
49		xaddcl 10279	. . . 4 ⊢ (((𝐴 +e 𝐵) ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 +e 𝐵) +e 𝐶) ∈ ℝ*)
50	41, 22, 49	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → ((𝐴 +e 𝐵) +e 𝐶) ∈ ℝ*)
51		xaddcl 10279	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 +e 𝐶) ∈ ℝ*) → (𝐴 +e (𝐵 +e 𝐶)) ∈ ℝ*)
52	1, 45, 51	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (𝐴 +e (𝐵 +e 𝐶)) ∈ ℝ*)
53		xneg11 10253	. . 3 ⊢ ((((𝐴 +e 𝐵) +e 𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 +e (𝐵 +e 𝐶)) ∈ ℝ*) → (-e((𝐴 +e 𝐵) +e 𝐶) = -e(𝐴 +e (𝐵 +e 𝐶)) ↔ ((𝐴 +e 𝐵) +e 𝐶) = (𝐴 +e (𝐵 +e 𝐶))))
54	50, 52, 53	syl2anc 415	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (-e((𝐴 +e 𝐵) +e 𝐶) = -e(𝐴 +e (𝐵 +e 𝐶)) ↔ ((𝐴 +e 𝐵) +e 𝐶) = (𝐴 +e (𝐵 +e 𝐶))))
55	48, 54	mpbid 147	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → ((𝐴 +e 𝐵) +e 𝐶) = (𝐴 +e (𝐵 +e 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  (class class class)co 6088  +∞cpnf 8363  -∞cmnf 8364  ℝ^*cxr 8365  -_ecxne 10188   +_e cxad 10189

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-sub 8506  df-neg 8507  df-xneg 10191  df-xadd 10192

This theorem is used by: (None)