xaddass2 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem xaddass2 9962

Description: Associativity of extended real addition. See xaddass 9961 for notes on the hypotheses. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
xaddass2	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → ((𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 𝐶) = (𝐴 +_𝑒 (𝐵 +_𝑒 𝐶)))

**Proof of Theorem xaddass2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1023	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
2		xnegcl 9924	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* → -_𝑒𝐴 ∈ ℝ^*)
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒𝐴 ∈ ℝ^*)
4		simp1r 1024	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → 𝐴 ≠ +∞)
5		pnfxr 8096	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
6		xneg11 9926	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^*) → (-_𝑒𝐴 = -_𝑒+∞ ↔ 𝐴 = +∞))
7	1, 5, 6	sylancl 413	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (-_𝑒𝐴 = -_𝑒+∞ ↔ 𝐴 = +∞))
8	7	necon3bid 2408	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (-_𝑒𝐴 ≠ -_𝑒+∞ ↔ 𝐴 ≠ +∞))
9	4, 8	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒𝐴 ≠ -_𝑒+∞)
10		xnegpnf 9920	. . . . . . 7 ⊢ -_𝑒+∞ = -∞
11	10	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒+∞ = -∞)
12	9, 11	neeqtrd 2395	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒𝐴 ≠ -∞)
13		simp2l 1025	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
14		xnegcl 9924	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → -_𝑒𝐵 ∈ ℝ^*)
15	13, 14	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒𝐵 ∈ ℝ^*)
16		simp2r 1026	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → 𝐵 ≠ +∞)
17		xneg11 9926	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^*) → (-_𝑒𝐵 = -_𝑒+∞ ↔ 𝐵 = +∞))
18	13, 5, 17	sylancl 413	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (-_𝑒𝐵 = -_𝑒+∞ ↔ 𝐵 = +∞))
19	18	necon3bid 2408	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (-_𝑒𝐵 ≠ -_𝑒+∞ ↔ 𝐵 ≠ +∞))
20	16, 19	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒𝐵 ≠ -_𝑒+∞)
21	20, 11	neeqtrd 2395	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒𝐵 ≠ -∞)
22		simp3l 1027	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → 𝐶 ∈ ℝ^*)
23		xnegcl 9924	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ^* → -_𝑒𝐶 ∈ ℝ^*)
24	22, 23	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒𝐶 ∈ ℝ^*)
25		simp3r 1028	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → 𝐶 ≠ +∞)
26		xneg11 9926	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^*) → (-_𝑒𝐶 = -_𝑒+∞ ↔ 𝐶 = +∞))
27	22, 5, 26	sylancl 413	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (-_𝑒𝐶 = -_𝑒+∞ ↔ 𝐶 = +∞))
28	27	necon3bid 2408	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (-_𝑒𝐶 ≠ -_𝑒+∞ ↔ 𝐶 ≠ +∞))
29	25, 28	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒𝐶 ≠ -_𝑒+∞)
30	29, 11	neeqtrd 2395	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒𝐶 ≠ -∞)
31		xaddass 9961	. . . . 5 ⊢ (((-_𝑒𝐴 ∈ ℝ^* ∧ -_𝑒𝐴 ≠ -∞) ∧ (-_𝑒𝐵 ∈ ℝ^* ∧ -_𝑒𝐵 ≠ -∞) ∧ (-_𝑒𝐶 ∈ ℝ^* ∧ -_𝑒𝐶 ≠ -∞)) → ((-_𝑒𝐴 +_𝑒 -_𝑒𝐵) +_𝑒 -_𝑒𝐶) = (-_𝑒𝐴 +_𝑒 (-_𝑒𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐶)))
32	3, 12, 15, 21, 24, 30, 31	syl222anc 1265	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → ((-_𝑒𝐴 +_𝑒 -_𝑒𝐵) +_𝑒 -_𝑒𝐶) = (-_𝑒𝐴 +_𝑒 (-_𝑒𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐶)))
33		xnegdi 9960	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*) → -_𝑒(𝐴 +_𝑒 𝐵) = (-_𝑒𝐴 +_𝑒 -_𝑒𝐵))
34	1, 13, 33	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒(𝐴 +_𝑒 𝐵) = (-_𝑒𝐴 +_𝑒 -_𝑒𝐵))
35	34	oveq1d 5940	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (-_𝑒(𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 -_𝑒𝐶) = ((-_𝑒𝐴 +_𝑒 -_𝑒𝐵) +_𝑒 -_𝑒𝐶))
36		xnegdi 9960	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) → -_𝑒(𝐵 +_𝑒 𝐶) = (-_𝑒𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐶))
37	13, 22, 36	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒(𝐵 +_𝑒 𝐶) = (-_𝑒𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐶))
38	37	oveq2d 5941	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (-_𝑒𝐴 +_𝑒 -_𝑒(𝐵 +_𝑒 𝐶)) = (-_𝑒𝐴 +_𝑒 (-_𝑒𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐶)))
39	32, 35, 38	3eqtr4d 2239	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (-_𝑒(𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 -_𝑒𝐶) = (-_𝑒𝐴 +_𝑒 -_𝑒(𝐵 +_𝑒 𝐶)))
40		xaddcl 9952	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) ∈ ℝ^)
41	1, 13, 40	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) ∈ ℝ^*)
42		xnegdi 9960	. . . 4 ⊢ (((𝐴 +_𝑒 𝐵) ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) → -_𝑒((𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 𝐶) = (-_𝑒(𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 -_𝑒𝐶))
43	41, 22, 42	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒((𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 𝐶) = (-_𝑒(𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 -_𝑒𝐶))
44		xaddcl 9952	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) → (𝐵 +_𝑒 𝐶) ∈ ℝ^)
45	13, 22, 44	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (𝐵 +_𝑒 𝐶) ∈ ℝ^*)
46		xnegdi 9960	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ (𝐵 +_𝑒 𝐶) ∈ ℝ^*) → -_𝑒(𝐴 +_𝑒 (𝐵 +_𝑒 𝐶)) = (-_𝑒𝐴 +_𝑒 -_𝑒(𝐵 +_𝑒 𝐶)))
47	1, 45, 46	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒(𝐴 +_𝑒 (𝐵 +_𝑒 𝐶)) = (-_𝑒𝐴 +_𝑒 -_𝑒(𝐵 +_𝑒 𝐶)))
48	39, 43, 47	3eqtr4d 2239	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒((𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 𝐶) = -_𝑒(𝐴 +_𝑒 (𝐵 +_𝑒 𝐶)))
49		xaddcl 9952	. . . 4 ⊢ (((𝐴 +_𝑒 𝐵) ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) → ((𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 𝐶) ∈ ℝ^)
50	41, 22, 49	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → ((𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 𝐶) ∈ ℝ^*)
51		xaddcl 9952	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ (𝐵 +_𝑒 𝐶) ∈ ℝ^) → (𝐴 +_𝑒 (𝐵 +_𝑒 𝐶)) ∈ ℝ^)
52	1, 45, 51	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (𝐴 +_𝑒 (𝐵 +_𝑒 𝐶)) ∈ ℝ^*)
53		xneg11 9926	. . 3 ⊢ ((((𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 𝐶) ∈ ℝ^* ∧ (𝐴 +_𝑒 (𝐵 +_𝑒 𝐶)) ∈ ℝ^*) → (-_𝑒((𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 𝐶) = -_𝑒(𝐴 +_𝑒 (𝐵 +_𝑒 𝐶)) ↔ ((𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 𝐶) = (𝐴 +_𝑒 (𝐵 +_𝑒 𝐶))))
54	50, 52, 53	syl2anc 411	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (-_𝑒((𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 𝐶) = -_𝑒(𝐴 +_𝑒 (𝐵 +_𝑒 𝐶)) ↔ ((𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 𝐶) = (𝐴 +_𝑒 (𝐵 +_𝑒 𝐶))))
55	48, 54	mpbid 147	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → ((𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 𝐶) = (𝐴 +_𝑒 (𝐵 +_𝑒 𝐶)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 ∧ w3a 980 = wceq 1364 ∈ wcel 2167 ≠ wne 2367 (class class class)co 5925 +∞cpnf 8075 -∞cmnf 8076 ℝ^*cxr 8077 -_𝑒cxne 9861 +_𝑒 cxad 9862

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-sep 4152 ax-pow 4208 ax-pr 4243 ax-un 4469 ax-setind 4574 ax-cnex 7987 ax-resscn 7988 ax-1cn 7989 ax-1re 7990 ax-icn 7991 ax-addcl 7992 ax-addrcl 7993 ax-mulcl 7994 ax-addcom 7996 ax-addass 7998 ax-distr 8000 ax-i2m1 8001 ax-0id 8004 ax-rnegex 8005 ax-cnre 8007

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-csb 3085 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-if 3563 df-pw 3608 df-sn 3629 df-pr 3630 df-op 3632 df-uni 3841 df-iun 3919 df-br 4035 df-opab 4096 df-mpt 4097 df-id 4329 df-xp 4670 df-rel 4671 df-cnv 4672 df-co 4673 df-dm 4674 df-rn 4675 df-res 4676 df-ima 4677 df-iota 5220 df-fun 5261 df-fn 5262 df-f 5263 df-fv 5267 df-riota 5880 df-ov 5928 df-oprab 5929 df-mpo 5930 df-1st 6207 df-2nd 6208 df-pnf 8080 df-mnf 8081 df-xr 8082 df-sub 8216 df-neg 8217 df-xneg 9864 df-xadd 9865

This theorem is referenced by: (None)

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