Theorem lidlval 21249

Description: Value of the set of ring ideals. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lidlval	⊢ (LIdeal‘𝑊) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊))

Proof of Theorem lidlval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-lidl 21247	. . 3 ⊢ LIdeal = (LSubSp ∘ ringLMod)
2	1	fveq1i 6853	. 2 ⊢ (LIdeal‘𝑊) = ((LSubSp ∘ ringLMod)‘𝑊)
3		00lss 20977	. . 3 ⊢ ∅ = (LSubSp‘∅)
4		rlmfn 21226	. . . 4 ⊢ ringLMod Fn V
5		fnfun 6606	. . . 4 ⊢ (ringLMod Fn V → Fun ringLMod)
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Fun ringLMod
7	3, 6	fvco4i 6954	. 2 ⊢ ((LSubSp ∘ ringLMod)‘𝑊) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊))
8	2, 7	eqtri 2775	1 ⊢ (LIdeal‘𝑊) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊))

Syntax hints:   = wceq 1550  Vcvv 3444   ∘ ccom 5640  Fun wfun 6500   Fn wfn 6501  ‘cfv 6506  LSubSpclss 20967  ringLModcrglmod 21208  LIdealclidl 21245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-1cn 11117  ax-addcl 11119

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-ral 3067  df-rex 3077  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-ov 7384  df-om 7832  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-nn 12197  df-slot 17190  df-ndx 17202  df-base 17218  df-lss 20968  df-rgmod 21210  df-lidl 21247

This theorem is referenced by:  lidlss  21251  islidl  21254  lidl0cl  21259  lidlacl  21260  lidlnegcl  21261  lidl0ALT  21267  lidl1ALT  21270  lidlacs  21273  rspcl  21274  rspssp  21278  mrcrsp  21280  lidlrsppropd  21283  lsmidllsp  33532  lsmidl  33533  islnr2  43629