Theorem lidlval 21170

Description: Value of the set of ring ideals. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lidlval	⊢ (LIdeal‘𝑊) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊))

Proof of Theorem lidlval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-lidl 21168	. . 3 ⊢ LIdeal = (LSubSp ∘ ringLMod)
2	1	fveq1i 6836	. 2 ⊢ (LIdeal‘𝑊) = ((LSubSp ∘ ringLMod)‘𝑊)
3		00lss 20897	. . 3 ⊢ ∅ = (LSubSp‘∅)
4		rlmfn 21147	. . . 4 ⊢ ringLMod Fn V
5		fnfun 6593	. . . 4 ⊢ (ringLMod Fn V → Fun ringLMod)
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Fun ringLMod
7	3, 6	fvco4i 6936	. 2 ⊢ ((LSubSp ∘ ringLMod)‘𝑊) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊))
8	2, 7	eqtri 2760	1 ⊢ (LIdeal‘𝑊) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊))

Syntax hints:   = wceq 1542  Vcvv 3441   ∘ ccom 5629  Fun wfun 6487   Fn wfn 6488  ‘cfv 6493  LSubSpclss 20887  ringLModcrglmod 21129  LIdealclidl 21166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-cnex 11087  ax-1cn 11089  ax-addcl 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7364  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-nn 12151  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17142  df-lss 20888  df-rgmod 21131  df-lidl 21168

This theorem is referenced by:  lidlss  21172  islidl  21175  lidl0cl  21180  lidlacl  21181  lidlnegcl  21182  lidl0ALT  21188  lidl1ALT  21191  lidlacs  21194  rspcl  21195  rspssp  21199  mrcrsp  21201  lidlrsppropd  21204  lsmidllsp  33485  lsmidl  33486  islnr2  43434