Theorem lidlval 19966

Description: Value of the set of ring ideals. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lidlval	⊢ (LIdeal‘𝑊) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊))

Proof of Theorem lidlval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-lidl 19948	. . 3 ⊢ LIdeal = (LSubSp ∘ ringLMod)
2	1	fveq1i 6673	. 2 ⊢ (LIdeal‘𝑊) = ((LSubSp ∘ ringLMod)‘𝑊)
3		00lss 19715	. . 3 ⊢ ∅ = (LSubSp‘∅)
4		rlmfn 19964	. . . 4 ⊢ ringLMod Fn V
5		fnfun 6455	. . . 4 ⊢ (ringLMod Fn V → Fun ringLMod)
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Fun ringLMod
7	3, 6	fvco4i 6764	. 2 ⊢ ((LSubSp ∘ ringLMod)‘𝑊) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊))
8	2, 7	eqtri 2846	1 ⊢ (LIdeal‘𝑊) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊))

Syntax hints:   = wceq 1537  Vcvv 3496   ∘ ccom 5561  Fun wfun 6351   Fn wfn 6352  ‘cfv 6357  LSubSpclss 19705  ringLModcrglmod 19943  LIdealclidl 19944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-fv 6365  df-ov 7161  df-slot 16489  df-base 16491  df-lss 19706  df-rgmod 19947  df-lidl 19948

This theorem is referenced by:  lidlss  19985  islidl  19986  lidl0cl  19987  lidlacl  19988  lidlnegcl  19989  lidlmcl  19992  lidl0  19994  lidl1  19995  lidlacs  19996  rspcl  19997  rspssp  20001  mrcrsp  20002  lidlrsppropd  20005  lsmidllsp  30952  lsmidl  30953  islnr2  39721