Theorem lidlval 21117

Description: Value of the set of ring ideals. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lidlval	⊢ (LIdeal‘𝑊) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊))

Proof of Theorem lidlval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-lidl 21115	. . 3 ⊢ LIdeal = (LSubSp ∘ ringLMod)
2	1	fveq1i 6823	. 2 ⊢ (LIdeal‘𝑊) = ((LSubSp ∘ ringLMod)‘𝑊)
3		00lss 20844	. . 3 ⊢ ∅ = (LSubSp‘∅)
4		rlmfn 21094	. . . 4 ⊢ ringLMod Fn V
5		fnfun 6582	. . . 4 ⊢ (ringLMod Fn V → Fun ringLMod)
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Fun ringLMod
7	3, 6	fvco4i 6924	. 2 ⊢ ((LSubSp ∘ ringLMod)‘𝑊) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊))
8	2, 7	eqtri 2752	1 ⊢ (LIdeal‘𝑊) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊))

Syntax hints:   = wceq 1540  Vcvv 3436   ∘ ccom 5623  Fun wfun 6476   Fn wfn 6477  ‘cfv 6482  LSubSpclss 20834  ringLModcrglmod 21076  LIdealclidl 21113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-1cn 11067  ax-addcl 11069

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-nn 12129  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-lss 20835  df-rgmod 21078  df-lidl 21115

This theorem is referenced by:  lidlss  21119  islidl  21122  lidl0cl  21127  lidlacl  21128  lidlnegcl  21129  lidl0ALT  21135  lidl1ALT  21138  lidlacs  21141  rspcl  21142  rspssp  21146  mrcrsp  21148  lidlrsppropd  21151  lsmidllsp  33346  lsmidl  33347  islnr2  43107