Theorem lidlval 21245

Description: Value of the set of ring ideals. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lidlval	⊢ (LIdeal‘𝑊) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊))

Proof of Theorem lidlval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-lidl 21243	. . 3 ⊢ LIdeal = (LSubSp ∘ ringLMod)
2	1	fveq1i 6923	. 2 ⊢ (LIdeal‘𝑊) = ((LSubSp ∘ ringLMod)‘𝑊)
3		00lss 20964	. . 3 ⊢ ∅ = (LSubSp‘∅)
4		rlmfn 21222	. . . 4 ⊢ ringLMod Fn V
5		fnfun 6681	. . . 4 ⊢ (ringLMod Fn V → Fun ringLMod)
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Fun ringLMod
7	3, 6	fvco4i 7025	. 2 ⊢ ((LSubSp ∘ ringLMod)‘𝑊) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊))
8	2, 7	eqtri 2768	1 ⊢ (LIdeal‘𝑊) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊))

Syntax hints:   = wceq 1537  Vcvv 3488   ∘ ccom 5704  Fun wfun 6569   Fn wfn 6570  ‘cfv 6575  LSubSpclss 20954  ringLModcrglmod 21196  LIdealclidl 21241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-1cn 11244  ax-addcl 11246

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-ov 7453  df-om 7906  df-2nd 8033  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-nn 12296  df-slot 17231  df-ndx 17243  df-base 17261  df-lss 20955  df-rgmod 21198  df-lidl 21243

This theorem is referenced by:  lidlss  21247  islidl  21250  lidl0cl  21255  lidlacl  21256  lidlnegcl  21257  lidl0ALT  21263  lidl1ALT  21266  lidlacs  21269  rspcl  21270  rspssp  21274  mrcrsp  21276  lidlrsppropd  21279  lsmidllsp  33395  lsmidl  33396  islnr2  43073