MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lidlval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lidlval 19940
Description: Value of the set of ring ideals. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
lidlval (LIdeal‘𝑊) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊))

Proof of Theorem lidlval
StepHypRef Expression
1 df-lidl 19922 . . 3 LIdeal = (LSubSp ∘ ringLMod)
21fveq1i 6644 . 2 (LIdeal‘𝑊) = ((LSubSp ∘ ringLMod)‘𝑊)
3 00lss 19689 . . 3 ∅ = (LSubSp‘∅)
4 rlmfn 19938 . . . 4 ringLMod Fn V
5 fnfun 6426 . . . 4 (ringLMod Fn V → Fun ringLMod)
64, 5ax-mp 5 . . 3 Fun ringLMod
73, 6fvco4i 6735 . 2 ((LSubSp ∘ ringLMod)‘𝑊) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊))
82, 7eqtri 2844 1 (LIdeal‘𝑊) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1538  Vcvv 3471  ccom 5532  Fun wfun 6322   Fn wfn 6323  cfv 6328  LSubSpclss 19679  ringLModcrglmod 19917  LIdealclidl 19918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-ral 3131  df-rex 3132  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-op 4547  df-uni 4812  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-id 5433  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-fv 6336  df-ov 7133  df-slot 16466  df-base 16468  df-lss 19680  df-rgmod 19921  df-lidl 19922
This theorem is referenced by:  lidlss  19959  islidl  19960  lidl0cl  19961  lidlacl  19962  lidlnegcl  19963  lidlmcl  19966  lidl0  19968  lidl1  19969  lidlacs  19970  rspcl  19971  rspssp  19975  mrcrsp  19976  lidlrsppropd  19979  lsmidllsp  30960  lsmidl  30961  islnr2  39865
  Copyright terms: Public domain W3C validator