Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2goelgoanfmla1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2goelgoanfmla1 34415
Description: Two Godel-sets of membership combined with a Godel-set for NAND is a Godel formula of height 1. (Contributed by AV, 17-Nov-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
satfv1fvfmla1.x 𝑋 = ((πΌβˆˆπ‘”π½)βŠΌπ‘”(πΎβˆˆπ‘”πΏ))
Assertion
Ref Expression
2goelgoanfmla1 (((𝐼 ∈ Ο‰ ∧ 𝐽 ∈ Ο‰) ∧ (𝐾 ∈ Ο‰ ∧ 𝐿 ∈ Ο‰)) β†’ 𝑋 ∈ (Fmlaβ€˜1o))

Proof of Theorem 2goelgoanfmla1
Dummy variables 𝑖 𝑗 π‘˜ 𝑛 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 766 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ Ο‰ ∧ 𝐽 ∈ Ο‰) ∧ (𝐾 ∈ Ο‰ ∧ 𝐿 ∈ Ο‰)) β†’ 𝐼 ∈ Ο‰)
2 simplr 768 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ Ο‰ ∧ 𝐽 ∈ Ο‰) ∧ (𝐾 ∈ Ο‰ ∧ 𝐿 ∈ Ο‰)) β†’ 𝐽 ∈ Ο‰)
3 simprl 770 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ Ο‰ ∧ 𝐽 ∈ Ο‰) ∧ (𝐾 ∈ Ο‰ ∧ 𝐿 ∈ Ο‰)) β†’ 𝐾 ∈ Ο‰)
4 simprr 772 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ Ο‰ ∧ 𝐽 ∈ Ο‰) ∧ (𝐾 ∈ Ο‰ ∧ 𝐿 ∈ Ο‰)) β†’ 𝐿 ∈ Ο‰)
5 oveq2 7417 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝐿 β†’ (πΎβˆˆπ‘”π‘›) = (πΎβˆˆπ‘”πΏ))
65oveq2d 7425 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝐿 β†’ ((πΌβˆˆπ‘”π½)βŠΌπ‘”(πΎβˆˆπ‘”π‘›)) = ((πΌβˆˆπ‘”π½)βŠΌπ‘”(πΎβˆˆπ‘”πΏ)))
76eqeq2d 2744 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝐿 β†’ (𝑋 = ((πΌβˆˆπ‘”π½)βŠΌπ‘”(πΎβˆˆπ‘”π‘›)) ↔ 𝑋 = ((πΌβˆˆπ‘”π½)βŠΌπ‘”(πΎβˆˆπ‘”πΏ))))
87adantl 483 . . . . . . . 8 ((((𝐼 ∈ Ο‰ ∧ 𝐽 ∈ Ο‰) ∧ (𝐾 ∈ Ο‰ ∧ 𝐿 ∈ Ο‰)) ∧ 𝑛 = 𝐿) β†’ (𝑋 = ((πΌβˆˆπ‘”π½)βŠΌπ‘”(πΎβˆˆπ‘”π‘›)) ↔ 𝑋 = ((πΌβˆˆπ‘”π½)βŠΌπ‘”(πΎβˆˆπ‘”πΏ))))
9 satfv1fvfmla1.x . . . . . . . . 9 𝑋 = ((πΌβˆˆπ‘”π½)βŠΌπ‘”(πΎβˆˆπ‘”πΏ))
109a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ Ο‰ ∧ 𝐽 ∈ Ο‰) ∧ (𝐾 ∈ Ο‰ ∧ 𝐿 ∈ Ο‰)) β†’ 𝑋 = ((πΌβˆˆπ‘”π½)βŠΌπ‘”(πΎβˆˆπ‘”πΏ)))
114, 8, 10rspcedvd 3615 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ Ο‰ ∧ 𝐽 ∈ Ο‰) ∧ (𝐾 ∈ Ο‰ ∧ 𝐿 ∈ Ο‰)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ Ο‰ 𝑋 = ((πΌβˆˆπ‘”π½)βŠΌπ‘”(πΎβˆˆπ‘”π‘›)))
1211orcd 872 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ Ο‰ ∧ 𝐽 ∈ Ο‰) ∧ (𝐾 ∈ Ο‰ ∧ 𝐿 ∈ Ο‰)) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ Ο‰ 𝑋 = ((πΌβˆˆπ‘”π½)βŠΌπ‘”(πΎβˆˆπ‘”π‘›)) ∨ 𝑋 = βˆ€π‘”πΎ(πΌβˆˆπ‘”π½)))
13 oveq1 7416 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝐼 β†’ (π‘–βˆˆπ‘”π‘—) = (πΌβˆˆπ‘”π‘—))
1413oveq1d 7424 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝐼 β†’ ((π‘–βˆˆπ‘”π‘—)βŠΌπ‘”(π‘˜βˆˆπ‘”π‘›)) = ((πΌβˆˆπ‘”π‘—)βŠΌπ‘”(π‘˜βˆˆπ‘”π‘›)))
1514eqeq2d 2744 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝐼 β†’ (𝑋 = ((π‘–βˆˆπ‘”π‘—)βŠΌπ‘”(π‘˜βˆˆπ‘”π‘›)) ↔ 𝑋 = ((πΌβˆˆπ‘”π‘—)βŠΌπ‘”(π‘˜βˆˆπ‘”π‘›))))
1615rexbidv 3179 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝐼 β†’ (βˆƒπ‘› ∈ Ο‰ 𝑋 = ((π‘–βˆˆπ‘”π‘—)βŠΌπ‘”(π‘˜βˆˆπ‘”π‘›)) ↔ βˆƒπ‘› ∈ Ο‰ 𝑋 = ((πΌβˆˆπ‘”π‘—)βŠΌπ‘”(π‘˜βˆˆπ‘”π‘›))))
17 eqidd 2734 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝐼 β†’ π‘˜ = π‘˜)
1817, 13goaleq12d 34342 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝐼 β†’ βˆ€π‘”π‘˜(π‘–βˆˆπ‘”π‘—) = βˆ€π‘”π‘˜(πΌβˆˆπ‘”π‘—))
1918eqeq2d 2744 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝐼 β†’ (𝑋 = βˆ€π‘”π‘˜(π‘–βˆˆπ‘”π‘—) ↔ 𝑋 = βˆ€π‘”π‘˜(πΌβˆˆπ‘”π‘—)))
2016, 19orbi12d 918 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝐼 β†’ ((βˆƒπ‘› ∈ Ο‰ 𝑋 = ((π‘–βˆˆπ‘”π‘—)βŠΌπ‘”(π‘˜βˆˆπ‘”π‘›)) ∨ 𝑋 = βˆ€π‘”π‘˜(π‘–βˆˆπ‘”π‘—)) ↔ (βˆƒπ‘› ∈ Ο‰ 𝑋 = ((πΌβˆˆπ‘”π‘—)βŠΌπ‘”(π‘˜βˆˆπ‘”π‘›)) ∨ 𝑋 = βˆ€π‘”π‘˜(πΌβˆˆπ‘”π‘—))))
21 oveq2 7417 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝐽 β†’ (πΌβˆˆπ‘”π‘—) = (πΌβˆˆπ‘”π½))
2221oveq1d 7424 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝐽 β†’ ((πΌβˆˆπ‘”π‘—)βŠΌπ‘”(π‘˜βˆˆπ‘”π‘›)) = ((πΌβˆˆπ‘”π½)βŠΌπ‘”(π‘˜βˆˆπ‘”π‘›)))
2322eqeq2d 2744 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝐽 β†’ (𝑋 = ((πΌβˆˆπ‘”π‘—)βŠΌπ‘”(π‘˜βˆˆπ‘”π‘›)) ↔ 𝑋 = ((πΌβˆˆπ‘”π½)βŠΌπ‘”(π‘˜βˆˆπ‘”π‘›))))
2423rexbidv 3179 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝐽 β†’ (βˆƒπ‘› ∈ Ο‰ 𝑋 = ((πΌβˆˆπ‘”π‘—)βŠΌπ‘”(π‘˜βˆˆπ‘”π‘›)) ↔ βˆƒπ‘› ∈ Ο‰ 𝑋 = ((πΌβˆˆπ‘”π½)βŠΌπ‘”(π‘˜βˆˆπ‘”π‘›))))
25 eqidd 2734 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝐽 β†’ π‘˜ = π‘˜)
2625, 21goaleq12d 34342 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝐽 β†’ βˆ€π‘”π‘˜(πΌβˆˆπ‘”π‘—) = βˆ€π‘”π‘˜(πΌβˆˆπ‘”π½))
2726eqeq2d 2744 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝐽 β†’ (𝑋 = βˆ€π‘”π‘˜(πΌβˆˆπ‘”π‘—) ↔ 𝑋 = βˆ€π‘”π‘˜(πΌβˆˆπ‘”π½)))
2824, 27orbi12d 918 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝐽 β†’ ((βˆƒπ‘› ∈ Ο‰ 𝑋 = ((πΌβˆˆπ‘”π‘—)βŠΌπ‘”(π‘˜βˆˆπ‘”π‘›)) ∨ 𝑋 = βˆ€π‘”π‘˜(πΌβˆˆπ‘”π‘—)) ↔ (βˆƒπ‘› ∈ Ο‰ 𝑋 = ((πΌβˆˆπ‘”π½)βŠΌπ‘”(π‘˜βˆˆπ‘”π‘›)) ∨ 𝑋 = βˆ€π‘”π‘˜(πΌβˆˆπ‘”π½))))
29 oveq1 7416 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (π‘˜βˆˆπ‘”π‘›) = (πΎβˆˆπ‘”π‘›))
3029oveq2d 7425 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝐾 β†’ ((πΌβˆˆπ‘”π½)βŠΌπ‘”(π‘˜βˆˆπ‘”π‘›)) = ((πΌβˆˆπ‘”π½)βŠΌπ‘”(πΎβˆˆπ‘”π‘›)))
3130eqeq2d 2744 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (𝑋 = ((πΌβˆˆπ‘”π½)βŠΌπ‘”(π‘˜βˆˆπ‘”π‘›)) ↔ 𝑋 = ((πΌβˆˆπ‘”π½)βŠΌπ‘”(πΎβˆˆπ‘”π‘›))))
3231rexbidv 3179 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (βˆƒπ‘› ∈ Ο‰ 𝑋 = ((πΌβˆˆπ‘”π½)βŠΌπ‘”(π‘˜βˆˆπ‘”π‘›)) ↔ βˆƒπ‘› ∈ Ο‰ 𝑋 = ((πΌβˆˆπ‘”π½)βŠΌπ‘”(πΎβˆˆπ‘”π‘›))))
33 id 22 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝐾 β†’ π‘˜ = 𝐾)
34 eqidd 2734 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (πΌβˆˆπ‘”π½) = (πΌβˆˆπ‘”π½))
3533, 34goaleq12d 34342 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝐾 β†’ βˆ€π‘”π‘˜(πΌβˆˆπ‘”π½) = βˆ€π‘”πΎ(πΌβˆˆπ‘”π½))
3635eqeq2d 2744 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (𝑋 = βˆ€π‘”π‘˜(πΌβˆˆπ‘”π½) ↔ 𝑋 = βˆ€π‘”πΎ(πΌβˆˆπ‘”π½)))
3732, 36orbi12d 918 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝐾 β†’ ((βˆƒπ‘› ∈ Ο‰ 𝑋 = ((πΌβˆˆπ‘”π½)βŠΌπ‘”(π‘˜βˆˆπ‘”π‘›)) ∨ 𝑋 = βˆ€π‘”π‘˜(πΌβˆˆπ‘”π½)) ↔ (βˆƒπ‘› ∈ Ο‰ 𝑋 = ((πΌβˆˆπ‘”π½)βŠΌπ‘”(πΎβˆˆπ‘”π‘›)) ∨ 𝑋 = βˆ€π‘”πΎ(πΌβˆˆπ‘”π½))))
3820, 28, 37rspc3ev 3629 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ Ο‰ ∧ 𝐽 ∈ Ο‰ ∧ 𝐾 ∈ Ο‰) ∧ (βˆƒπ‘› ∈ Ο‰ 𝑋 = ((πΌβˆˆπ‘”π½)βŠΌπ‘”(πΎβˆˆπ‘”π‘›)) ∨ 𝑋 = βˆ€π‘”πΎ(πΌβˆˆπ‘”π½))) β†’ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ βˆƒπ‘˜ ∈ Ο‰ (βˆƒπ‘› ∈ Ο‰ 𝑋 = ((π‘–βˆˆπ‘”π‘—)βŠΌπ‘”(π‘˜βˆˆπ‘”π‘›)) ∨ 𝑋 = βˆ€π‘”π‘˜(π‘–βˆˆπ‘”π‘—)))
391, 2, 3, 12, 38syl31anc 1374 . . . . 5 (((𝐼 ∈ Ο‰ ∧ 𝐽 ∈ Ο‰) ∧ (𝐾 ∈ Ο‰ ∧ 𝐿 ∈ Ο‰)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ βˆƒπ‘˜ ∈ Ο‰ (βˆƒπ‘› ∈ Ο‰ 𝑋 = ((π‘–βˆˆπ‘”π‘—)βŠΌπ‘”(π‘˜βˆˆπ‘”π‘›)) ∨ 𝑋 = βˆ€π‘”π‘˜(π‘–βˆˆπ‘”π‘—)))
409ovexi 7443 . . . . . 6 𝑋 ∈ V
41 eqeq1 2737 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯ = ((π‘–βˆˆπ‘”π‘—)βŠΌπ‘”(π‘˜βˆˆπ‘”π‘›)) ↔ 𝑋 = ((π‘–βˆˆπ‘”π‘—)βŠΌπ‘”(π‘˜βˆˆπ‘”π‘›))))
4241rexbidv 3179 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (βˆƒπ‘› ∈ Ο‰ π‘₯ = ((π‘–βˆˆπ‘”π‘—)βŠΌπ‘”(π‘˜βˆˆπ‘”π‘›)) ↔ βˆƒπ‘› ∈ Ο‰ 𝑋 = ((π‘–βˆˆπ‘”π‘—)βŠΌπ‘”(π‘˜βˆˆπ‘”π‘›))))
43 eqeq1 2737 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯ = βˆ€π‘”π‘˜(π‘–βˆˆπ‘”π‘—) ↔ 𝑋 = βˆ€π‘”π‘˜(π‘–βˆˆπ‘”π‘—)))
4442, 43orbi12d 918 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((βˆƒπ‘› ∈ Ο‰ π‘₯ = ((π‘–βˆˆπ‘”π‘—)βŠΌπ‘”(π‘˜βˆˆπ‘”π‘›)) ∨ π‘₯ = βˆ€π‘”π‘˜(π‘–βˆˆπ‘”π‘—)) ↔ (βˆƒπ‘› ∈ Ο‰ 𝑋 = ((π‘–βˆˆπ‘”π‘—)βŠΌπ‘”(π‘˜βˆˆπ‘”π‘›)) ∨ 𝑋 = βˆ€π‘”π‘˜(π‘–βˆˆπ‘”π‘—))))
4544rexbidv 3179 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ Ο‰ (βˆƒπ‘› ∈ Ο‰ π‘₯ = ((π‘–βˆˆπ‘”π‘—)βŠΌπ‘”(π‘˜βˆˆπ‘”π‘›)) ∨ π‘₯ = βˆ€π‘”π‘˜(π‘–βˆˆπ‘”π‘—)) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ Ο‰ (βˆƒπ‘› ∈ Ο‰ 𝑋 = ((π‘–βˆˆπ‘”π‘—)βŠΌπ‘”(π‘˜βˆˆπ‘”π‘›)) ∨ 𝑋 = βˆ€π‘”π‘˜(π‘–βˆˆπ‘”π‘—))))
46452rexbidv 3220 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ βˆƒπ‘˜ ∈ Ο‰ (βˆƒπ‘› ∈ Ο‰ π‘₯ = ((π‘–βˆˆπ‘”π‘—)βŠΌπ‘”(π‘˜βˆˆπ‘”π‘›)) ∨ π‘₯ = βˆ€π‘”π‘˜(π‘–βˆˆπ‘”π‘—)) ↔ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ βˆƒπ‘˜ ∈ Ο‰ (βˆƒπ‘› ∈ Ο‰ 𝑋 = ((π‘–βˆˆπ‘”π‘—)βŠΌπ‘”(π‘˜βˆˆπ‘”π‘›)) ∨ 𝑋 = βˆ€π‘”π‘˜(π‘–βˆˆπ‘”π‘—))))
4740, 46elab 3669 . . . . 5 (𝑋 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ βˆƒπ‘˜ ∈ Ο‰ (βˆƒπ‘› ∈ Ο‰ π‘₯ = ((π‘–βˆˆπ‘”π‘—)βŠΌπ‘”(π‘˜βˆˆπ‘”π‘›)) ∨ π‘₯ = βˆ€π‘”π‘˜(π‘–βˆˆπ‘”π‘—))} ↔ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ βˆƒπ‘˜ ∈ Ο‰ (βˆƒπ‘› ∈ Ο‰ 𝑋 = ((π‘–βˆˆπ‘”π‘—)βŠΌπ‘”(π‘˜βˆˆπ‘”π‘›)) ∨ 𝑋 = βˆ€π‘”π‘˜(π‘–βˆˆπ‘”π‘—)))
4839, 47sylibr 233 . . . 4 (((𝐼 ∈ Ο‰ ∧ 𝐽 ∈ Ο‰) ∧ (𝐾 ∈ Ο‰ ∧ 𝐿 ∈ Ο‰)) β†’ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ βˆƒπ‘˜ ∈ Ο‰ (βˆƒπ‘› ∈ Ο‰ π‘₯ = ((π‘–βˆˆπ‘”π‘—)βŠΌπ‘”(π‘˜βˆˆπ‘”π‘›)) ∨ π‘₯ = βˆ€π‘”π‘˜(π‘–βˆˆπ‘”π‘—))})
4948olcd 873 . . 3 (((𝐼 ∈ Ο‰ ∧ 𝐽 ∈ Ο‰) ∧ (𝐾 ∈ Ο‰ ∧ 𝐿 ∈ Ο‰)) β†’ (𝑋 ∈ ({βˆ…} Γ— (Ο‰ Γ— Ο‰)) ∨ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ βˆƒπ‘˜ ∈ Ο‰ (βˆƒπ‘› ∈ Ο‰ π‘₯ = ((π‘–βˆˆπ‘”π‘—)βŠΌπ‘”(π‘˜βˆˆπ‘”π‘›)) ∨ π‘₯ = βˆ€π‘”π‘˜(π‘–βˆˆπ‘”π‘—))}))
50 elun 4149 . . 3 (𝑋 ∈ (({βˆ…} Γ— (Ο‰ Γ— Ο‰)) βˆͺ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ βˆƒπ‘˜ ∈ Ο‰ (βˆƒπ‘› ∈ Ο‰ π‘₯ = ((π‘–βˆˆπ‘”π‘—)βŠΌπ‘”(π‘˜βˆˆπ‘”π‘›)) ∨ π‘₯ = βˆ€π‘”π‘˜(π‘–βˆˆπ‘”π‘—))}) ↔ (𝑋 ∈ ({βˆ…} Γ— (Ο‰ Γ— Ο‰)) ∨ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ βˆƒπ‘˜ ∈ Ο‰ (βˆƒπ‘› ∈ Ο‰ π‘₯ = ((π‘–βˆˆπ‘”π‘—)βŠΌπ‘”(π‘˜βˆˆπ‘”π‘›)) ∨ π‘₯ = βˆ€π‘”π‘˜(π‘–βˆˆπ‘”π‘—))}))
5149, 50sylibr 233 . 2 (((𝐼 ∈ Ο‰ ∧ 𝐽 ∈ Ο‰) ∧ (𝐾 ∈ Ο‰ ∧ 𝐿 ∈ Ο‰)) β†’ 𝑋 ∈ (({βˆ…} Γ— (Ο‰ Γ— Ο‰)) βˆͺ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ βˆƒπ‘˜ ∈ Ο‰ (βˆƒπ‘› ∈ Ο‰ π‘₯ = ((π‘–βˆˆπ‘”π‘—)βŠΌπ‘”(π‘˜βˆˆπ‘”π‘›)) ∨ π‘₯ = βˆ€π‘”π‘˜(π‘–βˆˆπ‘”π‘—))}))
52 fmla1 34378 . 2 (Fmlaβ€˜1o) = (({βˆ…} Γ— (Ο‰ Γ— Ο‰)) βˆͺ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ βˆƒπ‘˜ ∈ Ο‰ (βˆƒπ‘› ∈ Ο‰ π‘₯ = ((π‘–βˆˆπ‘”π‘—)βŠΌπ‘”(π‘˜βˆˆπ‘”π‘›)) ∨ π‘₯ = βˆ€π‘”π‘˜(π‘–βˆˆπ‘”π‘—))})
5351, 52eleqtrrdi 2845 1 (((𝐼 ∈ Ο‰ ∧ 𝐽 ∈ Ο‰) ∧ (𝐾 ∈ Ο‰ ∧ 𝐿 ∈ Ο‰)) β†’ 𝑋 ∈ (Fmlaβ€˜1o))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2710  βˆƒwrex 3071   βˆͺ cun 3947  βˆ…c0 4323  {csn 4629   Γ— cxp 5675  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Ο‰com 7855  1oc1o 8459  βˆˆπ‘”cgoe 34324  βŠΌπ‘”cgna 34325  βˆ€π‘”cgol 34326  Fmlacfmla 34328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-map 8822  df-goel 34331  df-goal 34333  df-sat 34334  df-fmla 34336
This theorem is referenced by:  satefvfmla1  34416
  Copyright terms: Public domain W3C validator