Theorem fv0p1e1 12366

Description: Function value at 𝑁 + 1 with 𝑁 replaced by 0. Technical theorem to be used to reduce the size of a significant number of proofs. (Contributed by AV, 13-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fv0p1e1	⊢ (𝑁 = 0 → (𝐹‘(𝑁 + 1)) = (𝐹‘1))

Proof of Theorem fv0p1e1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7417	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 + 1) = (0 + 1))
2		0p1e1 12365	. . 3 ⊢ (0 + 1) = 1
3	1, 2	eqtrdi 2814	. 2 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 + 1) = 1)
4	3	fveq2d 6885	1 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝐹‘(𝑁 + 1)) = (𝐹‘1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11104  1c1 11105   + caddc 11107

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252

This theorem is used by:  mertenslem2  15944  loglesqrt  26935  harmonicbnd3  27181  facgam  27239  wlkonl1iedg  30022  2wlklem  30024  pthdadjvtx  30086  lfgrn1cycl  30163  0enwwlksnge1  30222  2wlkdlem5  30287  2wlkdlem10  30293  rusgrnumwwlkl1  30329  clwwlkn2  30404  3wlkdlem5  30523  3wlkdlem10  30529  upgr3v3e3cycl  30540  upgr4cycl4dv4e  30545  subfacval2  35687  iccelpart  48210  bgoldbtbnd  48602  grtriclwlk3  48738  cycl3grtrilem  48739  gpgprismgr4cycllem10  48897