Theorem fv0p1e1 12408

Description: Function value at 𝑁 + 1 with 𝑁 replaced by 0. Technical theorem to be used to reduce the size of a significant number of proofs. (Contributed by AV, 13-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fv0p1e1	⊢ (𝑁 = 0 → (𝐹‘(𝑁 + 1)) = (𝐹‘1))

Proof of Theorem fv0p1e1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7422	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 + 1) = (0 + 1))
2		0p1e1 12407	. . 3 ⊢ (0 + 1) = 1
3	1, 2	eqtrdi 2811	. 2 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 + 1) = 1)
4	3	fveq2d 6884	1 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝐹‘(𝑁 + 1)) = (𝐹‘1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570  ‘cfv 6534  (class class class)co 7415  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7738  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7418  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-ltxr 11294

This theorem is used by:  mertenslem2  15996  loglesqrt  27027  harmonicbnd3  27273  facgam  27331  wlkonl1iedg  30152  2wlklem  30154  pthdadjvtx  30221  lfgrn1cycl  30302  0enwwlksnge1  30361  2wlkdlem5  30426  2wlkdlem10  30432  rusgrnumwwlkl1  30468  clwwlkn2  30543  3wlkdlem5  30672  3wlkdlem10  30678  upgr3v3e3cycl  30689  upgr4cycl4dv4e  30694  subfacval2  35796  iccelpart  48347  bgoldbtbnd  48739  grtriclwlk3  48875  cycl3grtrilem  48876  gpgprismgr4cycllem10  49034