Theorem fv0p1e1 12381

Description: Function value at 𝑁 + 1 with 𝑁 replaced by 0. Technical theorem to be used to reduce the size of a significant number of proofs. (Contributed by AV, 13-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fv0p1e1	⊢ (𝑁 = 0 → (𝐹‘(𝑁 + 1)) = (𝐹‘1))

Proof of Theorem fv0p1e1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7426	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 + 1) = (0 + 1))
2		0p1e1 12380	. . 3 ⊢ (0 + 1) = 1
3	1, 2	eqtrdi 2816	. 2 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 + 1) = 1)
4	3	fveq2d 6889	1 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝐹‘(𝑁 + 1)) = (𝐹‘1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  0cc0 11119  1c1 11120   + caddc 11122

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-ltxr 11267

This theorem is used by:  mertenslem2  15966  loglesqrt  26981  harmonicbnd3  27227  facgam  27285  wlkonl1iedg  30075  2wlklem  30077  pthdadjvtx  30144  lfgrn1cycl  30225  0enwwlksnge1  30284  2wlkdlem5  30349  2wlkdlem10  30355  rusgrnumwwlkl1  30391  clwwlkn2  30466  3wlkdlem5  30589  3wlkdlem10  30595  upgr3v3e3cycl  30606  upgr4cycl4dv4e  30611  subfacval2  35720  iccelpart  48259  bgoldbtbnd  48651  grtriclwlk3  48787  cycl3grtrilem  48788  gpgprismgr4cycllem10  48946