Theorem usgr2wlkneq 29776

Description: The vertices and edges are pairwise different in a walk of length 2 in a simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Mar-2018.) (Revised by AV, 26-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
usgr2wlkneq	⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ ((♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))

Proof of Theorem usgr2wlkneq

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrupgr 29202	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
2		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
4	2, 3	upgriswlk 29659	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))
5	1, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))
6		2wlklem 29685	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑘 ∈ {0, 1} ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))
7		simplll 775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) ∧ 𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺)) → 𝐺 ∈ USGraph)
8		fvex 6919	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃‘0) ∈ V
9	3	usgrnloopv 29217	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑃‘0) ∈ V) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
10	7, 8, 9	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) ∧ 𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺)) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
11		fvex 6919	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃‘1) ∈ V
12	3	usgrnloopv 29217	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑃‘1) ∈ V) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))
13	7, 11, 12	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) ∧ 𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺)) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))
14	10, 13	anim12d 609	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) ∧ 𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺)) → ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))))
15		fveqeq2 6915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐹‘0) = (𝐹‘1) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ↔ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)}))
16		eqtr2 2761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})
17		prcom 4732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} = {(𝑃‘2), (𝑃‘1)}
18	17	eqeq2i 2750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ↔ {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {(𝑃‘2), (𝑃‘1)})
19		fvex 6919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑃‘2) ∈ V
20	8, 19	preqr1 4848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {(𝑃‘2), (𝑃‘1)} → (𝑃‘0) = (𝑃‘2))
21	18, 20	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} → (𝑃‘0) = (𝑃‘2))
22	16, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (𝑃‘0) = (𝑃‘2))
23	22	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} → (𝑃‘0) = (𝑃‘2)))
24	15, 23	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐹‘0) = (𝐹‘1) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} → (𝑃‘0) = (𝑃‘2))))
25	24	impd 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐹‘0) = (𝐹‘1) → ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (𝑃‘0) = (𝑃‘2)))
26	25	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → ((𝐹‘0) = (𝐹‘1) → (𝑃‘0) = (𝑃‘2)))
27	26	necon3d 2961	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))
28	27	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))
29	28	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))) → ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))
30		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))
31	30	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))
32		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))
33		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))) → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))
34	31, 32, 33	3jca 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))
35	29, 34	jctild 525	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))) → ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))))
36	35	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) → ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))
37	36	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))
38	37	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) → ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))
39	38	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) ∧ 𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺)) → ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))
40	14, 39	mpdd 43	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) ∧ 𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺)) → ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))))
41	6, 40	biimtrid 242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) ∧ 𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺)) → (∀𝑘 ∈ {0, 1} ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))))
42	41	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) → (𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺) → (∀𝑘 ∈ {0, 1} ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))
43	42	com23 86	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) → (∀𝑘 ∈ {0, 1} ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))
44	43	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → (∀𝑘 ∈ {0, 1} ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))))))
45		fveq2 6906	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐹) = 2 → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘2))
46	45	neeq2d 3001	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐹) = 2 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)))
47		oveq2 7439	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝐹) = 2 → (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^2))
48		fzo0to2pr 13789	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
49	47, 48	eqtrdi 2793	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐹) = 2 → (0..^(♯‘𝐹)) = {0, 1})
50	49	raleqdv 3326	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐹) = 2 → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ ∀𝑘 ∈ {0, 1} ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}))
51		oveq2 7439	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝐹) = 2 → (0...(♯‘𝐹)) = (0...2))
52	51	feq2d 6722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐹) = 2 → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ↔ 𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺)))
53	52	imbi1d 341	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐹) = 2 → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))) ↔ (𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))
54	50, 53	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐹) = 2 → ((∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))) ↔ (∀𝑘 ∈ {0, 1} ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))))))
55	46, 54	imbi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐹) = 2 → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))))) ↔ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → (∀𝑘 ∈ {0, 1} ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))))
56	44, 55	syl5ibrcom 247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) → ((♯‘𝐹) = 2 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))))
57	56	impd 410	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) → (((♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))))))
58	57	com24 95	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (((♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))))))
59	58	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (((♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))))
60	59	3impd 1349	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → (((♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))
61	5, 60	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (((♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))
62	61	imp31 417	1 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ ((♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  Vcvv 3480  {cpr 4628   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  2c2 12321  ...cfz 13547  ..^cfzo 13694  ♯chash 14369  Word cword 14552  Vtxcvtx 29013  iEdgciedg 29014  UPGraphcupgr 29097  USGraphcusgr 29166  Walkscwlks 29614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-edg 29065  df-uhgr 29075  df-upgr 29099  df-umgr 29100  df-uspgr 29167  df-usgr 29168  df-wlks 29617

This theorem is referenced by:  usgr2wlkspthlem1  29777  usgr2wlkspthlem2  29778