Theorem usgr2wlkneq 29789

Description: The vertices and edges are pairwise different in a walk of length 2 in a simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Mar-2018.) (Revised by AV, 26-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
usgr2wlkneq	⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ ((♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))

Proof of Theorem usgr2wlkneq

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrupgr 29217	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
2		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
4	2, 3	upgriswlk 29674	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))
5	1, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))
6		2wlklem 29700	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑘 ∈ {0, 1} ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))
7		simplll 775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) ∧ 𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺)) → 𝐺 ∈ USGraph)
8		fvex 6920	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃‘0) ∈ V
9	3	usgrnloopv 29232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑃‘0) ∈ V) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
10	7, 8, 9	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) ∧ 𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺)) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
11		fvex 6920	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃‘1) ∈ V
12	3	usgrnloopv 29232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑃‘1) ∈ V) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))
13	7, 11, 12	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) ∧ 𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺)) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))
14	10, 13	anim12d 609	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) ∧ 𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺)) → ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))))
15		fveqeq2 6916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐹‘0) = (𝐹‘1) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ↔ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)}))
16		eqtr2 2759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})
17		prcom 4737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} = {(𝑃‘2), (𝑃‘1)}
18	17	eqeq2i 2748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ↔ {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {(𝑃‘2), (𝑃‘1)})
19		fvex 6920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑃‘2) ∈ V
20	8, 19	preqr1 4853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {(𝑃‘2), (𝑃‘1)} → (𝑃‘0) = (𝑃‘2))
21	18, 20	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} → (𝑃‘0) = (𝑃‘2))
22	16, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (𝑃‘0) = (𝑃‘2))
23	22	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} → (𝑃‘0) = (𝑃‘2)))
24	15, 23	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐹‘0) = (𝐹‘1) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} → (𝑃‘0) = (𝑃‘2))))
25	24	impd 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐹‘0) = (𝐹‘1) → ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (𝑃‘0) = (𝑃‘2)))
26	25	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → ((𝐹‘0) = (𝐹‘1) → (𝑃‘0) = (𝑃‘2)))
27	26	necon3d 2959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))
28	27	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))
29	28	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))) → ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))
30		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))
31	30	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))
32		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))
33		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))) → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))
34	31, 32, 33	3jca 1127	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))
35	29, 34	jctild 525	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))) → ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))))
36	35	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) → ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))
37	36	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))
38	37	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) → ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))
39	38	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) ∧ 𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺)) → ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))
40	14, 39	mpdd 43	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) ∧ 𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺)) → ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))))
41	6, 40	biimtrid 242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) ∧ 𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺)) → (∀𝑘 ∈ {0, 1} ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))))
42	41	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) → (𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺) → (∀𝑘 ∈ {0, 1} ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))
43	42	com23 86	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) → (∀𝑘 ∈ {0, 1} ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))
44	43	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → (∀𝑘 ∈ {0, 1} ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))))))
45		fveq2 6907	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐹) = 2 → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘2))
46	45	neeq2d 2999	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐹) = 2 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)))
47		oveq2 7439	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝐹) = 2 → (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^2))
48		fzo0to2pr 13786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
49	47, 48	eqtrdi 2791	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐹) = 2 → (0..^(♯‘𝐹)) = {0, 1})
50	49	raleqdv 3324	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐹) = 2 → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ ∀𝑘 ∈ {0, 1} ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}))
51		oveq2 7439	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝐹) = 2 → (0...(♯‘𝐹)) = (0...2))
52	51	feq2d 6723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐹) = 2 → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ↔ 𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺)))
53	52	imbi1d 341	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐹) = 2 → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))) ↔ (𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))
54	50, 53	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐹) = 2 → ((∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))) ↔ (∀𝑘 ∈ {0, 1} ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))))))
55	46, 54	imbi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐹) = 2 → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))))) ↔ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → (∀𝑘 ∈ {0, 1} ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))))
56	44, 55	syl5ibrcom 247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) → ((♯‘𝐹) = 2 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))))
57	56	impd 410	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) → (((♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))))))
58	57	com24 95	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (((♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))))))
59	58	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (((♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))))
60	59	3impd 1347	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → (((♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))
61	5, 60	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (((♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))
62	61	imp31 417	1 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ ((♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  Vcvv 3478  {cpr 4633   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  2c2 12319  ...cfz 13544  ..^cfzo 13691  ♯chash 14366  Word cword 14549  Vtxcvtx 29028  iEdgciedg 29029  UPGraphcupgr 29112  USGraphcusgr 29181  Walkscwlks 29629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-edg 29080  df-uhgr 29090  df-upgr 29114  df-umgr 29115  df-uspgr 29182  df-usgr 29183  df-wlks 29632

This theorem is referenced by:  usgr2wlkspthlem1  29790  usgr2wlkspthlem2  29791