MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgr2wlkneq Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem usgr2wlkneq 29277
Description: The vertices and edges are pairwise different in a walk of length 2 in a simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Mar-2018.) (Revised by AV, 26-Jan-2021.)
Assertion
Ref Expression
usgr2wlkneq (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃) ∧ ((β™―β€˜πΉ) = 2 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))) β†’ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2)) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  (πΉβ€˜1)))
Proof of Theorem usgr2wlkneq
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 usgrupgr 28706 . . . 4 (𝐺 ∈ USGraph β†’ 𝐺 ∈ UPGraph)
2 eqid 2731 . . . . 5 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
3 eqid 2731 . . . . 5 (iEdgβ€˜πΊ) = (iEdgβ€˜πΊ)
42, 3upgriswlk 29162 . . . 4 (𝐺 ∈ UPGraph β†’ (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))})))
51, 4syl 17 . . 3 (𝐺 ∈ USGraph β†’ (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))})))
6 2wlklem 29188 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘˜ ∈ {0, 1} ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} ↔ (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜0)) = {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜1)) = {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)}))
7 simplll 772 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ)) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2)) ∧ 𝑃:(0...2)⟢(Vtxβ€˜πΊ)) β†’ 𝐺 ∈ USGraph)
8 fvex 6905 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘ƒβ€˜0) ∈ V
93usgrnloopv 28721 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (π‘ƒβ€˜0) ∈ V) β†’ (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜0)) = {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} β†’ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1)))
107, 8, 9sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ)) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2)) ∧ 𝑃:(0...2)⟢(Vtxβ€˜πΊ)) β†’ (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜0)) = {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} β†’ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1)))
11 fvex 6905 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘ƒβ€˜1) ∈ V
123usgrnloopv 28721 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ V) β†’ (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜1)) = {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} β†’ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2)))
137, 11, 12sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ)) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2)) ∧ 𝑃:(0...2)⟢(Vtxβ€˜πΊ)) β†’ (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜1)) = {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} β†’ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2)))
1410, 13anim12d 608 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ)) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2)) ∧ 𝑃:(0...2)⟢(Vtxβ€˜πΊ)) β†’ ((((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜0)) = {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜1)) = {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)}) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2))))
15 fveqeq2 6901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πΉβ€˜0) = (πΉβ€˜1) β†’ (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜0)) = {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ↔ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜1)) = {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)}))
16 eqtr2 2755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜1)) = {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜1)) = {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)}) β†’ {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} = {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)})
17 prcom 4737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} = {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜1)}
1817eqeq2i 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} = {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ↔ {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} = {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜1)})
19 fvex 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (π‘ƒβ€˜2) ∈ V
208, 19preqr1 4850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} = {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜1)} β†’ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜2))
2118, 20sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} = {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} β†’ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜2))
2216, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜1)) = {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜1)) = {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)}) β†’ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜2))
2322ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜1)) = {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} β†’ (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜1)) = {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} β†’ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜2)))
2415, 23syl6bi 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πΉβ€˜0) = (πΉβ€˜1) β†’ (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜0)) = {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} β†’ (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜1)) = {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} β†’ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜2))))
2524impd 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πΉβ€˜0) = (πΉβ€˜1) β†’ ((((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜0)) = {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜1)) = {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)}) β†’ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜2)))
2625com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜0)) = {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜1)) = {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)}) β†’ ((πΉβ€˜0) = (πΉβ€˜1) β†’ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜2)))
2726necon3d 2960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜0)) = {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜1)) = {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)}) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) β†’ (πΉβ€˜0) β‰  (πΉβ€˜1)))
2827com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) β†’ ((((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜0)) = {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜1)) = {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)}) β†’ (πΉβ€˜0) β‰  (πΉβ€˜1)))
2928adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2))) β†’ ((((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜0)) = {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜1)) = {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)}) β†’ (πΉβ€˜0) β‰  (πΉβ€˜1)))
30 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2)) β†’ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1))
3130adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2))) β†’ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1))
32 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2))) β†’ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2))
33 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2))) β†’ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2))
3431, 32, 333jca 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2))) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2)))
3529, 34jctild 525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2))) β†’ ((((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜0)) = {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜1)) = {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)}) β†’ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2)) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  (πΉβ€˜1))))
3635ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) β†’ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2)) β†’ ((((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜0)) = {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜1)) = {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)}) β†’ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2)) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  (πΉβ€˜1)))))
3736com23 86 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) β†’ ((((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜0)) = {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜1)) = {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)}) β†’ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2)) β†’ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2)) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  (πΉβ€˜1)))))
3837adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ)) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2)) β†’ ((((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜0)) = {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜1)) = {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)}) β†’ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2)) β†’ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2)) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  (πΉβ€˜1)))))
3938adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ)) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2)) ∧ 𝑃:(0...2)⟢(Vtxβ€˜πΊ)) β†’ ((((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜0)) = {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜1)) = {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)}) β†’ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2)) β†’ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2)) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  (πΉβ€˜1)))))
4014, 39mpdd 43 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ)) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2)) ∧ 𝑃:(0...2)⟢(Vtxβ€˜πΊ)) β†’ ((((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜0)) = {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜1)) = {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)}) β†’ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2)) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  (πΉβ€˜1))))
416, 40biimtrid 241 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ)) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2)) ∧ 𝑃:(0...2)⟢(Vtxβ€˜πΊ)) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ {0, 1} ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} β†’ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2)) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  (πΉβ€˜1))))
4241ex 412 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ)) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2)) β†’ (𝑃:(0...2)⟢(Vtxβ€˜πΊ) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ {0, 1} ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} β†’ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2)) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  (πΉβ€˜1)))))
4342com23 86 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ)) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2)) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ {0, 1} ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} β†’ (𝑃:(0...2)⟢(Vtxβ€˜πΊ) β†’ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2)) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  (πΉβ€˜1)))))
4443ex 412 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ)) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ {0, 1} ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} β†’ (𝑃:(0...2)⟢(Vtxβ€˜πΊ) β†’ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2)) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  (πΉβ€˜1))))))
45 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 ((β™―β€˜πΉ) = 2 β†’ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = (π‘ƒβ€˜2))
4645neeq2d 3000 . . . . . . . . 9 ((β™―β€˜πΉ) = 2 β†’ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) ↔ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2)))
47 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . 12 ((β™―β€˜πΉ) = 2 β†’ (0..^(β™―β€˜πΉ)) = (0..^2))
48 fzo0to2pr 13722 . . . . . . . . . . . 12 (0..^2) = {0, 1}
4947, 48eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . 11 ((β™―β€˜πΉ) = 2 β†’ (0..^(β™―β€˜πΉ)) = {0, 1})
5049raleqdv 3324 . . . . . . . . . 10 ((β™―β€˜πΉ) = 2 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} ↔ βˆ€π‘˜ ∈ {0, 1} ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))}))
51 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . 12 ((β™―β€˜πΉ) = 2 β†’ (0...(β™―β€˜πΉ)) = (0...2))
5251feq2d 6704 . . . . . . . . . . 11 ((β™―β€˜πΉ) = 2 β†’ (𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ↔ 𝑃:(0...2)⟢(Vtxβ€˜πΊ)))
5352imbi1d 340 . . . . . . . . . 10 ((β™―β€˜πΉ) = 2 β†’ ((𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) β†’ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2)) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  (πΉβ€˜1))) ↔ (𝑃:(0...2)⟢(Vtxβ€˜πΊ) β†’ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2)) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  (πΉβ€˜1)))))
5450, 53imbi12d 343 . . . . . . . . 9 ((β™―β€˜πΉ) = 2 β†’ ((βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} β†’ (𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) β†’ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2)) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  (πΉβ€˜1)))) ↔ (βˆ€π‘˜ ∈ {0, 1} ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} β†’ (𝑃:(0...2)⟢(Vtxβ€˜πΊ) β†’ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2)) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  (πΉβ€˜1))))))
5546, 54imbi12d 343 . . . . . . . 8 ((β™―β€˜πΉ) = 2 β†’ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} β†’ (𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) β†’ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2)) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  (πΉβ€˜1))))) ↔ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ {0, 1} ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} β†’ (𝑃:(0...2)⟢(Vtxβ€˜πΊ) β†’ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2)) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  (πΉβ€˜1)))))))
5644, 55syl5ibrcom 246 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ)) β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 2 β†’ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} β†’ (𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) β†’ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2)) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  (πΉβ€˜1)))))))
5756impd 410 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ)) β†’ (((β™―β€˜πΉ) = 2 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} β†’ (𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) β†’ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2)) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  (πΉβ€˜1))))))
5857com24 95 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ)) β†’ (𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} β†’ (((β™―β€˜πΉ) = 2 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2)) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  (πΉβ€˜1))))))
5958ex 412 . . . 4 (𝐺 ∈ USGraph β†’ (𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) β†’ (𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} β†’ (((β™―β€˜πΉ) = 2 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2)) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  (πΉβ€˜1)))))))
60593impd 1347 . . 3 (𝐺 ∈ USGraph β†’ ((𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))}) β†’ (((β™―β€˜πΉ) = 2 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2)) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  (πΉβ€˜1)))))
615, 60sylbid 239 . 2 (𝐺 ∈ USGraph β†’ (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (((β™―β€˜πΉ) = 2 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2)) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  (πΉβ€˜1)))))
6261imp31 417 1 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃) ∧ ((β™―β€˜πΉ) = 2 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))) β†’ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2)) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  (πΉβ€˜1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  Vcvv 3473  {cpr 4631   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116  2c2 12272  ...cfz 13489  ..^cfzo 13632  β™―chash 14295  Word cword 14469  Vtxcvtx 28520  iEdgciedg 28521  UPGraphcupgr 28604  USGraphcusgr 28673  Walkscwlks 29117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-hash 14296  df-word 14470  df-edg 28572  df-uhgr 28582  df-upgr 28606  df-umgr 28607  df-uspgr 28674  df-usgr 28675  df-wlks 29120
This theorem is referenced by:  usgr2wlkspthlem1  29278  usgr2wlkspthlem2  29279
  Copyright terms: Public domain W3C validator