Theorem usgr2wlkneq 27260

Description: The vertices and edges are pairwise different in a walk of length 2 in a simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Mar-2018.) (Revised by AV, 26-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
usgr2wlkneq	⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ ((♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))

Proof of Theorem usgr2wlkneq

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrupgr 26685	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
2		eqid 2771	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3		eqid 2771	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
4	2, 3	upgriswlk 27140	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))
5	1, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))
6		2wlklem 27166	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑘 ∈ {0, 1} ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))
7		simplll 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) ∧ 𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺)) → 𝐺 ∈ USGraph)
8		fvex 6509	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃‘0) ∈ V
9	3	usgrnloopv 26700	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑃‘0) ∈ V) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
10	7, 8, 9	sylancl 578	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) ∧ 𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺)) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
11		fvex 6509	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃‘1) ∈ V
12	3	usgrnloopv 26700	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑃‘1) ∈ V) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))
13	7, 11, 12	sylancl 578	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) ∧ 𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺)) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))
14	10, 13	anim12d 600	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) ∧ 𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺)) → ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))))
15		fveqeq2 6505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐹‘0) = (𝐹‘1) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ↔ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)}))
16		eqtr2 2793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})
17		prcom 4538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} = {(𝑃‘2), (𝑃‘1)}
18	17	eqeq2i 2783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ↔ {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {(𝑃‘2), (𝑃‘1)})
19		fvex 6509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑃‘2) ∈ V
20	8, 19	preqr1 4649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {(𝑃‘2), (𝑃‘1)} → (𝑃‘0) = (𝑃‘2))
21	18, 20	sylbi 209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} → (𝑃‘0) = (𝑃‘2))
22	16, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (𝑃‘0) = (𝑃‘2))
23	22	ex 405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} → (𝑃‘0) = (𝑃‘2)))
24	15, 23	syl6bi 245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐹‘0) = (𝐹‘1) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} → (𝑃‘0) = (𝑃‘2))))
25	24	impd 402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐹‘0) = (𝐹‘1) → ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (𝑃‘0) = (𝑃‘2)))
26	25	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → ((𝐹‘0) = (𝐹‘1) → (𝑃‘0) = (𝑃‘2)))
27	26	necon3d 2981	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))
28	27	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))
29	28	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))) → ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))
30		simpl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))
31	30	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))
32		simpl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))
33		simprr 761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))) → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))
34	31, 32, 33	3jca 1109	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))
35	29, 34	jctild 518	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))) → ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))))
36	35	ex 405	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) → ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))
37	36	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))
38	37	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) → ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))
39	38	adantr 473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) ∧ 𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺)) → ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))
40	14, 39	mpdd 43	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) ∧ 𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺)) → ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))))
41	6, 40	syl5bi 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) ∧ 𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺)) → (∀𝑘 ∈ {0, 1} ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))))
42	41	ex 405	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) → (𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺) → (∀𝑘 ∈ {0, 1} ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))
43	42	com23 86	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)) → (∀𝑘 ∈ {0, 1} ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))
44	43	ex 405	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → (∀𝑘 ∈ {0, 1} ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))))))
45		fveq2 6496	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐹) = 2 → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘2))
46	45	neeq2d 3020	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐹) = 2 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)))
47		oveq2 6982	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝐹) = 2 → (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^2))
48		fzo0to2pr 12935	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
49	47, 48	syl6eq 2823	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐹) = 2 → (0..^(♯‘𝐹)) = {0, 1})
50	49	raleqdv 3348	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐹) = 2 → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ ∀𝑘 ∈ {0, 1} ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}))
51		oveq2 6982	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝐹) = 2 → (0...(♯‘𝐹)) = (0...2))
52	51	feq2d 6327	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐹) = 2 → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ↔ 𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺)))
53	52	imbi1d 334	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐹) = 2 → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))) ↔ (𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))
54	50, 53	imbi12d 337	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐹) = 2 → ((∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))) ↔ (∀𝑘 ∈ {0, 1} ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))))))
55	46, 54	imbi12d 337	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐹) = 2 → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))))) ↔ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) → (∀𝑘 ∈ {0, 1} ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (𝑃:(0...2)⟶(Vtx‘𝐺) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))))
56	44, 55	syl5ibrcom 239	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) → ((♯‘𝐹) = 2 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))))
57	56	impd 402	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) → (((♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))))))
58	57	com24 95	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (((♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))))))
59	58	ex 405	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (((♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))))
60	59	3impd 1329	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → (((♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))
61	5, 60	sylbid 232	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (((♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))
62	61	imp31 410	1 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ ((♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   ∧ w3a 1069   = wceq 1508   ∈ wcel 2051   ≠ wne 2960  ∀wral 3081  Vcvv 3408  {cpr 4437   class class class wbr 4925  dom cdm 5403  ⟶wf 6181  ‘cfv 6185  (class class class)co 6974  0cc0 10333  1c1 10334   + caddc 10336  2c2 11493  ...cfz 12706  ..^cfzo 12847  ♯chash 13503  Word cword 13670  Vtxcvtx 26499  iEdgciedg 26500  UPGraphcupgr 26583  USGraphcusgr 26652  Walkscwlks 27096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-ifp 1045  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-2o 7904  df-oadd 7907  df-er 8087  df-map 8206  df-pm 8207  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-dju 9122  df-card 9160  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-2 11501  df-n0 11706  df-xnn0 11778  df-z 11792  df-uz 12057  df-fz 12707  df-fzo 12848  df-hash 13504  df-word 13671  df-edg 26551  df-uhgr 26561  df-upgr 26585  df-umgr 26586  df-uspgr 26653  df-usgr 26654  df-wlks 27099

This theorem is referenced by:  usgr2wlkspthlem1  27261  usgr2wlkspthlem2  27262