Theorem ac5b 10469

Description: Equivalent of Axiom of Choice. (Contributed by NM, 31-Aug-1999.)

Hypothesis

Ref	Expression
ac5b.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ac5b	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ ∅ → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶∪ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝐴

Proof of Theorem ac5b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ac5b.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
2	1	uniex 7727	. . 3 ⊢ ∪ 𝐴 ∈ V
3		numth3 10461	. . 3 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ V → ∪ 𝐴 ∈ dom card)
4	2, 3	mp1i 13	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ ∅ → ∪ 𝐴 ∈ dom card)
5		neirr 2949	. . 3 ⊢ ¬ ∅ ≠ ∅
6		neeq1 3003	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 ≠ ∅ ↔ ∅ ≠ ∅))
7	6	rspccv 3609	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ ∅ → (∅ ∈ 𝐴 → ∅ ≠ ∅))
8	5, 7	mtoi 198	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ ∅ → ¬ ∅ ∈ 𝐴)
9		ac5num 10027	. 2 ⊢ ((∪ 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶∪ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
10	4, 8, 9	syl2anc 584	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ ∅ → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶∪ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  Vcvv 3474  ∅c0 4321  ∪ cuni 4907  dom cdm 5675  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  cardccrd 9926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-ac2 10454

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-en 8936  df-card 9930  df-ac 10107

This theorem is referenced by:  acunirnmpt  31871  fnpreimac  31883