MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ac5b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ac5b 10495
Description: Equivalent of Axiom of Choice. (Contributed by NM, 31-Aug-1999.)
Hypothesis
Ref Expression
ac5b.1 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
ac5b (∀𝑥𝐴 𝑥 ≠ ∅ → ∃𝑓(𝑓:𝐴 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝐴

Proof of Theorem ac5b
StepHypRef Expression
1 ac5b.1 . . . 4 𝐴 ∈ V
21uniex 7740 . . 3 𝐴 ∈ V
3 numth3 10487 . . 3 ( 𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ dom card)
42, 3mp1i 13 . 2 (∀𝑥𝐴 𝑥 ≠ ∅ → 𝐴 ∈ dom card)
5 neirr 2945 . . 3 ¬ ∅ ≠ ∅
6 neeq1 2999 . . . 4 (𝑥 = ∅ → (𝑥 ≠ ∅ ↔ ∅ ≠ ∅))
76rspccv 3605 . . 3 (∀𝑥𝐴 𝑥 ≠ ∅ → (∅ ∈ 𝐴 → ∅ ≠ ∅))
85, 7mtoi 198 . 2 (∀𝑥𝐴 𝑥 ≠ ∅ → ¬ ∅ ∈ 𝐴)
9 ac5num 10053 . 2 (( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) → ∃𝑓(𝑓:𝐴 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
104, 8, 9syl2anc 583 1 (∀𝑥𝐴 𝑥 ≠ ∅ → ∃𝑓(𝑓:𝐴 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wex 1774  wcel 2099  wne 2936  wral 3057  Vcvv 3470  c0 4318   cuni 4903  dom cdm 5672  wf 6538  cfv 6542  cardccrd 9952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-ac2 10480
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-en 8958  df-card 9956  df-ac 10133
This theorem is referenced by:  acunirnmpt  32438  fnpreimac  32450
  Copyright terms: Public domain W3C validator