Theorem ac5b 10431

Description: Equivalent of Axiom of Choice. (Contributed by NM, 31-Aug-1999.)

Hypothesis

Ref	Expression
ac5b.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ac5b	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ ∅ → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶∪ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝐴

Proof of Theorem ac5b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ac5b.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
2	1	uniex 7717	. . 3 ⊢ ∪ 𝐴 ∈ V
3		numth3 10423	. . 3 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ V → ∪ 𝐴 ∈ dom card)
4	2, 3	mp1i 13	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ ∅ → ∪ 𝐴 ∈ dom card)
5		neirr 2934	. . 3 ⊢ ¬ ∅ ≠ ∅
6		neeq1 2987	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 ≠ ∅ ↔ ∅ ≠ ∅))
7	6	rspccv 3585	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ ∅ → (∅ ∈ 𝐴 → ∅ ≠ ∅))
8	5, 7	mtoi 199	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ ∅ → ¬ ∅ ∈ 𝐴)
9		ac5num 9989	. 2 ⊢ ((∪ 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶∪ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
10	4, 8, 9	syl2anc 584	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ ∅ → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶∪ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  Vcvv 3447  ∅c0 4296  ∪ cuni 4871  dom cdm 5638  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  cardccrd 9888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-ac2 10416

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-en 8919  df-card 9892  df-ac 10069

This theorem is referenced by:  acunirnmpt  32583  fnpreimac  32595