Theorem ac5b 10457

Description: Equivalent of Axiom of Choice. (Contributed by NM, 31-Aug-1999.)

Hypothesis

Ref	Expression
ac5b.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ac5b	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ ∅ → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶∪ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝐴

Proof of Theorem ac5b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ac5b.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
2	1	uniex 7739	. . 3 ⊢ ∪ 𝐴 ∈ V
3		numth3 10449	. . 3 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ V → ∪ 𝐴 ∈ dom card)
4	2, 3	mp1i 14	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ ∅ → ∪ 𝐴 ∈ dom card)
5		neirr 2967	. . 3 ⊢ ¬ ∅ ≠ ∅
6		neeq1 3020	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 ≠ ∅ ↔ ∅ ≠ ∅))
7	6	rspccv 3578	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ ∅ → (∅ ∈ 𝐴 → ∅ ≠ ∅))
8	5, 7	mtoi 202	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ ∅ → ¬ ∅ ∈ 𝐴)
9		ac5num 10016	. 2 ⊢ ((∪ 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶∪ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
10	4, 8, 9	syl2anc 595	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ ∅ → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶∪ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  Vcvv 3455  ∅c0 4286  ∪ cuni 4872  dom cdm 5661  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  cardccrd 9917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-ac2 10442

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-en 8940  df-card 9921  df-ac 10096

This theorem is referenced by:  acunirnmpt  33004  fnpreimac  33015