MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ac5b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ac5b 10415
Description: Equivalent of Axiom of Choice. (Contributed by NM, 31-Aug-1999.)
Hypothesis
Ref Expression
ac5b.1 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
ac5b (∀𝑥𝐴 𝑥 ≠ ∅ → ∃𝑓(𝑓:𝐴 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝐴

Proof of Theorem ac5b
StepHypRef Expression
1 ac5b.1 . . . 4 𝐴 ∈ V
21uniex 7679 . . 3 𝐴 ∈ V
3 numth3 10407 . . 3 ( 𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ dom card)
42, 3mp1i 13 . 2 (∀𝑥𝐴 𝑥 ≠ ∅ → 𝐴 ∈ dom card)
5 neirr 2953 . . 3 ¬ ∅ ≠ ∅
6 neeq1 3007 . . . 4 (𝑥 = ∅ → (𝑥 ≠ ∅ ↔ ∅ ≠ ∅))
76rspccv 3579 . . 3 (∀𝑥𝐴 𝑥 ≠ ∅ → (∅ ∈ 𝐴 → ∅ ≠ ∅))
85, 7mtoi 198 . 2 (∀𝑥𝐴 𝑥 ≠ ∅ → ¬ ∅ ∈ 𝐴)
9 ac5num 9973 . 2 (( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) → ∃𝑓(𝑓:𝐴 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
104, 8, 9syl2anc 585 1 (∀𝑥𝐴 𝑥 ≠ ∅ → ∃𝑓(𝑓:𝐴 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397  wex 1782  wcel 2107  wne 2944  wral 3065  Vcvv 3446  c0 4283   cuni 4866  dom cdm 5634  wf 6493  cfv 6497  cardccrd 9872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-ac2 10400
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-en 8885  df-card 9876  df-ac 10053
This theorem is referenced by:  acunirnmpt  31578  fnpreimac  31590
  Copyright terms: Public domain W3C validator