Theorem ac5b 10378

Description: Equivalent of Axiom of Choice. (Contributed by NM, 31-Aug-1999.)

Hypothesis

Ref	Expression
ac5b.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ac5b	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ ∅ → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶∪ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝐴

Proof of Theorem ac5b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ac5b.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
2	1	uniex 7682	. . 3 ⊢ ∪ 𝐴 ∈ V
3		numth3 10370	. . 3 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ V → ∪ 𝐴 ∈ dom card)
4	2, 3	mp1i 13	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ ∅ → ∪ 𝐴 ∈ dom card)
5		neirr 2938	. . 3 ⊢ ¬ ∅ ≠ ∅
6		neeq1 2991	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 ≠ ∅ ↔ ∅ ≠ ∅))
7	6	rspccv 3570	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ ∅ → (∅ ∈ 𝐴 → ∅ ≠ ∅))
8	5, 7	mtoi 199	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ ∅ → ¬ ∅ ∈ 𝐴)
9		ac5num 9936	. 2 ⊢ ((∪ 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶∪ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))
10	4, 8, 9	syl2anc 584	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ ∅ → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶∪ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑥))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∀wral 3048  Vcvv 3437  ∅c0 4282  ∪ cuni 4860  dom cdm 5621  ⟶wf 6484  ‘cfv 6488  cardccrd 9837

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-ac2 10363

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7311  df-ov 7357  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-en 8878  df-card 9841  df-ac 10016

This theorem is referenced by:  acunirnmpt  32645  fnpreimac  32657