Theorem acunirnmpt 33253

Description: Axiom of choice for the union of the range of a mapping to function. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
acunirnmpt.0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
acunirnmpt.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ ∅)
acunirnmpt.2	⊢ 𝐶 = ran (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
acunirnmpt	⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐶⟶∪ 𝐶 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐶 ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑦) ∈ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝑓,𝑗,𝑦,𝐶   𝜑,𝑓,𝑗,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦, 𝑓)   𝐵(𝑦, 𝑓, 𝑗)   𝑉(𝑦, 𝑓, 𝑗)

Proof of Theorem acunirnmpt

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝑦 = 𝐵)
2		simplll 787	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝜑)
3		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝑗 ∈ 𝐴)
4		acunirnmpt.1	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ ∅)
5	2, 3, 4	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
6	1, 5	eqnetrd 3022	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝑦 ≠ ∅)
7		acunirnmpt.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = ran (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
8	7	eleq2i 2852	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐶 ↔ 𝑦 ∈ ran (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
9		vex 3454	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
10		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
11	10	elrnmpt 5939	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ ran (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵))
12	9, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ran (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵)
13	8, 12	bitri 278	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵)
14	13	bilani 510	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → ∃𝑗 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵)
15	6, 14	r19.29a 3170	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑦 ≠ ∅)
16	15	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐶 𝑦 ≠ ∅)
17		acunirnmpt.0	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
18		mptexg 7227	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
19		rnexg 7914	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V → ran (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
20	17, 18, 19	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
21	7, 20	eqeltrid 2864	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
22		raleq 3316	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (∀𝑦 ∈ 𝑐 𝑦 ≠ ∅ ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐶 𝑦 ≠ ∅))
23		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → 𝑐 = 𝐶)
24		unieq 4877	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ∪ 𝑐 = ∪ 𝐶)
25	23, 24	feq23d 6704	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑓:𝑐⟶∪ 𝑐 ↔ 𝑓:𝐶⟶∪ 𝐶))
26		raleq 3316	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (∀𝑦 ∈ 𝑐 (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐶 (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑦))
27	25, 26	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑓:𝑐⟶∪ 𝑐 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑐 (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑦) ↔ (𝑓:𝐶⟶∪ 𝐶 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐶 (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑦)))
28	27	exbidv 1953	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (∃𝑓(𝑓:𝑐⟶∪ 𝑐 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑐 (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑦) ↔ ∃𝑓(𝑓:𝐶⟶∪ 𝐶 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐶 (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑦)))
29	22, 28	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((∀𝑦 ∈ 𝑐 𝑦 ≠ ∅ → ∃𝑓(𝑓:𝑐⟶∪ 𝑐 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑐 (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑦)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐶 𝑦 ≠ ∅ → ∃𝑓(𝑓:𝐶⟶∪ 𝐶 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐶 (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑦))))
30		vex 3454	. . . . . 6 ⊢ 𝑐 ∈ V
31	30	ac5b 10556	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑐 𝑦 ≠ ∅ → ∃𝑓(𝑓:𝑐⟶∪ 𝑐 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑐 (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑦))
32	29, 31	vtoclg 3517	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ V → (∀𝑦 ∈ 𝐶 𝑦 ≠ ∅ → ∃𝑓(𝑓:𝐶⟶∪ 𝐶 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐶 (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑦)))
33	21, 32	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐶 𝑦 ≠ ∅ → ∃𝑓(𝑓:𝐶⟶∪ 𝐶 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐶 (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑦)))
34	16, 33	mpd 16	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐶⟶∪ 𝐶 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐶 (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑦))
35	14	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑦) → ∃𝑗 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵)
36		simpllr 788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑦) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 = 𝐵) → (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑦)
37		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑦) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝑦 = 𝐵)
38	36, 37	eleqtrd 2862	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑦) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 = 𝐵) → (𝑓‘𝑦) ∈ 𝐵)
39	38	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑦) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑦 = 𝐵 → (𝑓‘𝑦) ∈ 𝐵))
40	39	reximdva 3175	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑦) → (∃𝑗 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵 → ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑦) ∈ 𝐵))
41	35, 40	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑦) → ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑦) ∈ 𝐵)
42	41	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → ((𝑓‘𝑦) ∈ 𝑦 → ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑦) ∈ 𝐵))
43	42	ralimdva 3174	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐶 (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝐶 ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑦) ∈ 𝐵))
44	43	anim2d 624	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑓:𝐶⟶∪ 𝐶 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐶 (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑦) → (𝑓:𝐶⟶∪ 𝐶 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐶 ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑦) ∈ 𝐵)))
45	44	eximdv 1949	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓(𝑓:𝐶⟶∪ 𝐶 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐶 (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑦) → ∃𝑓(𝑓:𝐶⟶∪ 𝐶 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐶 ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑦) ∈ 𝐵)))
46	34, 45	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐶⟶∪ 𝐶 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐶 ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑦) ∈ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3450  ∅c0 4278  ∪ cuni 4866   ↦ cmpt 5185  ran crn 5651  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-ac2 10541

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-en 8974  df-card 10020  df-ac 10195

This theorem is used by: (None)