Theorem acunirnmpt 32945

Description: Axiom of choice for the union of the range of a mapping to function. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
acunirnmpt.0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
acunirnmpt.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ ∅)
acunirnmpt.2	⊢ 𝐶 = ran (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
acunirnmpt	⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐶⟶∪ 𝐶 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐶 ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑦) ∈ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝑓,𝑗,𝑦,𝐶   𝜑,𝑓,𝑗,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑓)   𝐵(𝑦,𝑓,𝑗)   𝑉(𝑦,𝑓,𝑗)

Proof of Theorem acunirnmpt

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝑦 = 𝐵)
2		simplll 786	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝜑)
3		simplr 780	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝑗 ∈ 𝐴)
4		acunirnmpt.1	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ ∅)
5	2, 3, 4	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
6	1, 5	eqnetrd 3031	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝑦 ≠ ∅)
7		acunirnmpt.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = ran (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
8	7	eleq2i 2861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐶 ↔ 𝑦 ∈ ran (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
9		vex 3465	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
10		eqid 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
11	10	elrnmpt 5949	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ ran (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵))
12	9, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ran (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵)
13	8, 12	bitri 278	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵)
14	13	bilani 509	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → ∃𝑗 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵)
15	6, 14	r19.29a 3179	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑦 ≠ ∅)
16	15	ralrimiva 3163	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐶 𝑦 ≠ ∅)
17		acunirnmpt.0	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
18		mptexg 7220	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
19		rnexg 7899	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V → ran (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
20	17, 18, 19	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
21	7, 20	eqeltrid 2873	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
22		raleq 3326	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (∀𝑦 ∈ 𝑐 𝑦 ≠ ∅ ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐶 𝑦 ≠ ∅))
23		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → 𝑐 = 𝐶)
24		unieq 4885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ∪ 𝑐 = ∪ 𝐶)
25	23, 24	feq23d 6701	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑓:𝑐⟶∪ 𝑐 ↔ 𝑓:𝐶⟶∪ 𝐶))
26		raleq 3326	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (∀𝑦 ∈ 𝑐 (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐶 (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑦))
27	25, 26	anbi12d 643	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑓:𝑐⟶∪ 𝑐 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑐 (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑦) ↔ (𝑓:𝐶⟶∪ 𝐶 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐶 (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑦)))
28	27	exbidv 1948	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (∃𝑓(𝑓:𝑐⟶∪ 𝑐 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑐 (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑦) ↔ ∃𝑓(𝑓:𝐶⟶∪ 𝐶 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐶 (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑦)))
29	22, 28	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((∀𝑦 ∈ 𝑐 𝑦 ≠ ∅ → ∃𝑓(𝑓:𝑐⟶∪ 𝑐 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑐 (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑦)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐶 𝑦 ≠ ∅ → ∃𝑓(𝑓:𝐶⟶∪ 𝐶 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐶 (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑦))))
30		vex 3465	. . . . . 6 ⊢ 𝑐 ∈ V
31	30	ac5b 10462	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑐 𝑦 ≠ ∅ → ∃𝑓(𝑓:𝑐⟶∪ 𝑐 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑐 (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑦))
32	29, 31	vtoclg 3529	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ V → (∀𝑦 ∈ 𝐶 𝑦 ≠ ∅ → ∃𝑓(𝑓:𝐶⟶∪ 𝐶 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐶 (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑦)))
33	21, 32	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐶 𝑦 ≠ ∅ → ∃𝑓(𝑓:𝐶⟶∪ 𝐶 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐶 (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑦)))
34	16, 33	mpd 16	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐶⟶∪ 𝐶 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐶 (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑦))
35	14	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑦) → ∃𝑗 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵)
36		simpllr 787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑦) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 = 𝐵) → (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑦)
37		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑦) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝑦 = 𝐵)
38	36, 37	eleqtrd 2871	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑦) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 = 𝐵) → (𝑓‘𝑦) ∈ 𝐵)
39	38	ex 417	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑦) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑦 = 𝐵 → (𝑓‘𝑦) ∈ 𝐵))
40	39	reximdva 3184	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑦) → (∃𝑗 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵 → ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑦) ∈ 𝐵))
41	35, 40	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑦) → ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑦) ∈ 𝐵)
42	41	ex 417	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → ((𝑓‘𝑦) ∈ 𝑦 → ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑦) ∈ 𝐵))
43	42	ralimdva 3183	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐶 (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝐶 ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑦) ∈ 𝐵))
44	43	anim2d 623	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑓:𝐶⟶∪ 𝐶 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐶 (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑦) → (𝑓:𝐶⟶∪ 𝐶 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐶 ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑦) ∈ 𝐵)))
45	44	eximdv 1944	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓(𝑓:𝐶⟶∪ 𝐶 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐶 (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑦) → ∃𝑓(𝑓:𝐶⟶∪ 𝐶 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐶 ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑦) ∈ 𝐵)))
46	34, 45	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐶⟶∪ 𝐶 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐶 ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑦) ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567  ∃wex 1806   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  ∃wrex 3095  Vcvv 3461  ∅c0 4292  ∪ cuni 4874   ↦ cmpt 5194  ran crn 5663  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-ac2 10447

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-en 8944  df-card 9925  df-ac 10100

This theorem is referenced by: (None)