Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  acunirnmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acunirnmpt 31884
Description: Axiom of choice for the union of the range of a mapping to function. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
acunirnmpt.0 (𝜑𝐴𝑉)
acunirnmpt.1 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐵 ≠ ∅)
acunirnmpt.2 𝐶 = ran (𝑗𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
acunirnmpt (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐶 𝐶 ∧ ∀𝑦𝐶𝑗𝐴 (𝑓𝑦) ∈ 𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝑓,𝑗,𝑦,𝐶   𝜑,𝑓,𝑗,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑓)   𝐵(𝑦,𝑓,𝑗)   𝑉(𝑦,𝑓,𝑗)

Proof of Theorem acunirnmpt
Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . . . 6 ((((𝜑𝑦𝐶) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝑦 = 𝐵)
2 simplll 774 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦𝐶) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝜑)
3 simplr 768 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦𝐶) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝑗𝐴)
4 acunirnmpt.1 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐵 ≠ ∅)
52, 3, 4syl2anc 585 . . . . . 6 ((((𝜑𝑦𝐶) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
61, 5eqnetrd 3009 . . . . 5 ((((𝜑𝑦𝐶) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝑦 ≠ ∅)
7 acunirnmpt.2 . . . . . . . . 9 𝐶 = ran (𝑗𝐴𝐵)
87eleq2i 2826 . . . . . . . 8 (𝑦𝐶𝑦 ∈ ran (𝑗𝐴𝐵))
9 vex 3479 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ V
10 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (𝑗𝐴𝐵) = (𝑗𝐴𝐵)
1110elrnmpt 5956 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ ran (𝑗𝐴𝐵) ↔ ∃𝑗𝐴 𝑦 = 𝐵))
129, 11ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ran (𝑗𝐴𝐵) ↔ ∃𝑗𝐴 𝑦 = 𝐵)
138, 12bitri 275 . . . . . . 7 (𝑦𝐶 ↔ ∃𝑗𝐴 𝑦 = 𝐵)
1413biimpi 215 . . . . . 6 (𝑦𝐶 → ∃𝑗𝐴 𝑦 = 𝐵)
1514adantl 483 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐶) → ∃𝑗𝐴 𝑦 = 𝐵)
166, 15r19.29a 3163 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐶) → 𝑦 ≠ ∅)
1716ralrimiva 3147 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦𝐶 𝑦 ≠ ∅)
18 acunirnmpt.0 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑉)
19 mptexg 7223 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → (𝑗𝐴𝐵) ∈ V)
20 rnexg 7895 . . . . . 6 ((𝑗𝐴𝐵) ∈ V → ran (𝑗𝐴𝐵) ∈ V)
2118, 19, 203syl 18 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑗𝐴𝐵) ∈ V)
227, 21eqeltrid 2838 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ V)
23 raleq 3323 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐶 → (∀𝑦𝑐 𝑦 ≠ ∅ ↔ ∀𝑦𝐶 𝑦 ≠ ∅))
24 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝐶𝑐 = 𝐶)
25 unieq 4920 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝐶 𝑐 = 𝐶)
2624, 25feq23d 6713 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝐶 → (𝑓:𝑐 𝑐𝑓:𝐶 𝐶))
27 raleq 3323 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝐶 → (∀𝑦𝑐 (𝑓𝑦) ∈ 𝑦 ↔ ∀𝑦𝐶 (𝑓𝑦) ∈ 𝑦))
2826, 27anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐶 → ((𝑓:𝑐 𝑐 ∧ ∀𝑦𝑐 (𝑓𝑦) ∈ 𝑦) ↔ (𝑓:𝐶 𝐶 ∧ ∀𝑦𝐶 (𝑓𝑦) ∈ 𝑦)))
2928exbidv 1925 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐶 → (∃𝑓(𝑓:𝑐 𝑐 ∧ ∀𝑦𝑐 (𝑓𝑦) ∈ 𝑦) ↔ ∃𝑓(𝑓:𝐶 𝐶 ∧ ∀𝑦𝐶 (𝑓𝑦) ∈ 𝑦)))
3023, 29imbi12d 345 . . . . 5 (𝑐 = 𝐶 → ((∀𝑦𝑐 𝑦 ≠ ∅ → ∃𝑓(𝑓:𝑐 𝑐 ∧ ∀𝑦𝑐 (𝑓𝑦) ∈ 𝑦)) ↔ (∀𝑦𝐶 𝑦 ≠ ∅ → ∃𝑓(𝑓:𝐶 𝐶 ∧ ∀𝑦𝐶 (𝑓𝑦) ∈ 𝑦))))
31 vex 3479 . . . . . 6 𝑐 ∈ V
3231ac5b 10473 . . . . 5 (∀𝑦𝑐 𝑦 ≠ ∅ → ∃𝑓(𝑓:𝑐 𝑐 ∧ ∀𝑦𝑐 (𝑓𝑦) ∈ 𝑦))
3330, 32vtoclg 3557 . . . 4 (𝐶 ∈ V → (∀𝑦𝐶 𝑦 ≠ ∅ → ∃𝑓(𝑓:𝐶 𝐶 ∧ ∀𝑦𝐶 (𝑓𝑦) ∈ 𝑦)))
3422, 33syl 17 . . 3 (𝜑 → (∀𝑦𝐶 𝑦 ≠ ∅ → ∃𝑓(𝑓:𝐶 𝐶 ∧ ∀𝑦𝐶 (𝑓𝑦) ∈ 𝑦)))
3517, 34mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐶 𝐶 ∧ ∀𝑦𝐶 (𝑓𝑦) ∈ 𝑦))
3615adantr 482 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝐶) ∧ (𝑓𝑦) ∈ 𝑦) → ∃𝑗𝐴 𝑦 = 𝐵)
37 simpllr 775 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦𝐶) ∧ (𝑓𝑦) ∈ 𝑦) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑦 = 𝐵) → (𝑓𝑦) ∈ 𝑦)
38 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦𝐶) ∧ (𝑓𝑦) ∈ 𝑦) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝑦 = 𝐵)
3937, 38eleqtrd 2836 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑦𝐶) ∧ (𝑓𝑦) ∈ 𝑦) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑦 = 𝐵) → (𝑓𝑦) ∈ 𝐵)
4039ex 414 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦𝐶) ∧ (𝑓𝑦) ∈ 𝑦) ∧ 𝑗𝐴) → (𝑦 = 𝐵 → (𝑓𝑦) ∈ 𝐵))
4140reximdva 3169 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝐶) ∧ (𝑓𝑦) ∈ 𝑦) → (∃𝑗𝐴 𝑦 = 𝐵 → ∃𝑗𝐴 (𝑓𝑦) ∈ 𝐵))
4236, 41mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑𝑦𝐶) ∧ (𝑓𝑦) ∈ 𝑦) → ∃𝑗𝐴 (𝑓𝑦) ∈ 𝐵)
4342ex 414 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐶) → ((𝑓𝑦) ∈ 𝑦 → ∃𝑗𝐴 (𝑓𝑦) ∈ 𝐵))
4443ralimdva 3168 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑦𝐶 (𝑓𝑦) ∈ 𝑦 → ∀𝑦𝐶𝑗𝐴 (𝑓𝑦) ∈ 𝐵))
4544anim2d 613 . . 3 (𝜑 → ((𝑓:𝐶 𝐶 ∧ ∀𝑦𝐶 (𝑓𝑦) ∈ 𝑦) → (𝑓:𝐶 𝐶 ∧ ∀𝑦𝐶𝑗𝐴 (𝑓𝑦) ∈ 𝐵)))
4645eximdv 1921 . 2 (𝜑 → (∃𝑓(𝑓:𝐶 𝐶 ∧ ∀𝑦𝐶 (𝑓𝑦) ∈ 𝑦) → ∃𝑓(𝑓:𝐶 𝐶 ∧ ∀𝑦𝐶𝑗𝐴 (𝑓𝑦) ∈ 𝐵)))
4735, 46mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐶 𝐶 ∧ ∀𝑦𝐶𝑗𝐴 (𝑓𝑦) ∈ 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  wne 2941  wral 3062  wrex 3071  Vcvv 3475  c0 4323   cuni 4909  cmpt 5232  ran crn 5678  wf 6540  cfv 6544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-ac2 10458
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-en 8940  df-card 9934  df-ac 10111
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator