Theorem acongneg2 43819

Description: Negate right side of alternating congruence. Makes essential use of the "alternating" part. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
acongneg2	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − --𝐶))) → (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)))

Proof of Theorem acongneg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12621	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℂ)
2	1	3ad2ant3 1153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℂ)
3	2	negnegd 11585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → --𝐶 = 𝐶)
4	3	oveq2d 7430	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 − --𝐶) = (𝐵 − 𝐶))
5	4	breq2d 5115	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ (𝐵 − --𝐶) ↔ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)))
6	5	biimpd 232	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ (𝐵 − --𝐶) → 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)))
7	6	orim2d 982	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − --𝐶)) → (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶))))
8	7	imp 412	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − --𝐶))) → (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)))
9	8	orcomd 885	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − --𝐶))) → (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7414  ℂcc 11123   − cmin 11466  -cneg 11467  ℤcz 12616   ∥ cdvds 16343

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-ltxr 11273  df-sub 11468  df-neg 11469  df-z 12617

This theorem is used by:  jm2.26a  43842