Theorem acongsym 43422

Description: Symmetry of alternating congruence. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
acongsym	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶))) → (𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐵) ∨ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐵)))

Proof of Theorem acongsym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		congsym 43414	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶))) → 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐵))
2	1	exp32 420	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐶 ∈ ℤ → (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) → 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐵))))
3	2	3impia 1118	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) → 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐵)))
4		zcn 12520	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
5	4	3ad2ant2 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
6	5	negnegd 11487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → --𝐵 = 𝐵)
7	6	oveq1d 7375	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (--𝐵 − -𝐶) = (𝐵 − -𝐶))
8	4	negcld 11483	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → -𝐵 ∈ ℂ)
9	8	3ad2ant2 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → -𝐵 ∈ ℂ)
10		zcn 12520	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℂ)
11	10	3ad2ant3 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℂ)
12	9, 11	neg2subd 11513	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (--𝐵 − -𝐶) = (𝐶 − -𝐵))
13	7, 12	eqtr3d 2774	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 − -𝐶) = (𝐶 − -𝐵))
14	13	breq2d 5098	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ↔ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐵)))
15	14	biimpd 229	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) → 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐵)))
16	3, 15	orim12d 967	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) → (𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐵) ∨ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐵))))
17	16	imp 406	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶))) → (𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐵) ∨ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7360  ℂcc 11027   − cmin 11368  -cneg 11369  ℤcz 12515   ∥ cdvds 16212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-dvds 16213

This theorem is referenced by:  jm2.25lem1  43444  jm2.26  43448