Theorem acongsym 40798

Description: Symmetry of alternating congruence. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
acongsym	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶))) → (𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐵) ∨ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐵)))

Proof of Theorem acongsym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		congsym 40790	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶))) → 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐵))
2	1	exp32 421	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐶 ∈ ℤ → (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) → 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐵))))
3	2	3impia 1116	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) → 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐵)))
4		zcn 12324	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
5	4	3ad2ant2 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
6	5	negnegd 11323	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → --𝐵 = 𝐵)
7	6	oveq1d 7290	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (--𝐵 − -𝐶) = (𝐵 − -𝐶))
8	4	negcld 11319	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → -𝐵 ∈ ℂ)
9	8	3ad2ant2 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → -𝐵 ∈ ℂ)
10		zcn 12324	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℂ)
11	10	3ad2ant3 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℂ)
12	9, 11	neg2subd 11349	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (--𝐵 − -𝐶) = (𝐶 − -𝐵))
13	7, 12	eqtr3d 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 − -𝐶) = (𝐶 − -𝐵))
14	13	breq2d 5086	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ↔ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐵)))
15	14	biimpd 228	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) → 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐵)))
16	3, 15	orim12d 962	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) → (𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐵) ∨ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐵))))
17	16	imp 407	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶))) → (𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐵) ∨ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  ℂcc 10869   − cmin 11205  -cneg 11206  ℤcz 12319   ∥ cdvds 15963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-dvds 15964

This theorem is referenced by:  jm2.25lem1  40820  jm2.26  40824