Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  acongsym Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acongsym 42290
Description: Symmetry of alternating congruence. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
acongsym (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵𝐶) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶))) → (𝐴 ∥ (𝐶𝐵) ∨ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐵)))

Proof of Theorem acongsym
StepHypRef Expression
1 congsym 42282 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶))) → 𝐴 ∥ (𝐶𝐵))
21exp32 420 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐶 ∈ ℤ → (𝐴 ∥ (𝐵𝐶) → 𝐴 ∥ (𝐶𝐵))))
323impia 1114 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ (𝐵𝐶) → 𝐴 ∥ (𝐶𝐵)))
4 zcn 12567 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
543ad2ant2 1131 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
65negnegd 11566 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → --𝐵 = 𝐵)
76oveq1d 7420 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (--𝐵 − -𝐶) = (𝐵 − -𝐶))
84negcld 11562 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℤ → -𝐵 ∈ ℂ)
983ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → -𝐵 ∈ ℂ)
10 zcn 12567 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℂ)
11103ad2ant3 1132 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℂ)
129, 11neg2subd 11592 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (--𝐵 − -𝐶) = (𝐶 − -𝐵))
137, 12eqtr3d 2768 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 − -𝐶) = (𝐶 − -𝐵))
1413breq2d 5153 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ↔ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐵)))
1514biimpd 228 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) → 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐵)))
163, 15orim12d 961 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐴 ∥ (𝐵𝐶) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) → (𝐴 ∥ (𝐶𝐵) ∨ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐵))))
1716imp 406 1 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵𝐶) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶))) → (𝐴 ∥ (𝐶𝐵) ∨ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 844  w3a 1084  wcel 2098   class class class wbr 5141  (class class class)co 7405  cc 11110  cmin 11448  -cneg 11449  cz 12562  cdvds 16204
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-dvds 16205
This theorem is referenced by:  jm2.25lem1  42312  jm2.26  42316
  Copyright terms: Public domain W3C validator