Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  acongtr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acongtr 41717
Description: Transitivity of alternating congruence. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
acongtr (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 ∥ (𝐵𝐶) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐶𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷)))) → (𝐴 ∥ (𝐵𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷)))

Proof of Theorem acongtr
StepHypRef Expression
1 congtr 41704 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶𝐷))) → 𝐴 ∥ (𝐵𝐷))
213expa 1119 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶𝐷))) → 𝐴 ∥ (𝐵𝐷))
32orcd 872 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶𝐷))) → (𝐴 ∥ (𝐵𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷)))
43ex 414 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝐴 ∥ (𝐵𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶𝐷)) → (𝐴 ∥ (𝐵𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷))))
5 simpll 766 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶𝐷))) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
6 znegcl 12597 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℤ → -𝐶 ∈ ℤ)
7 znegcl 12597 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℤ → -𝐷 ∈ ℤ)
86, 7anim12i 614 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (-𝐶 ∈ ℤ ∧ -𝐷 ∈ ℤ))
98ad2antlr 726 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶𝐷))) → (-𝐶 ∈ ℤ ∧ -𝐷 ∈ ℤ))
10 simplll 774 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶𝐷)) → 𝐴 ∈ ℤ)
11 simplrl 776 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶𝐷)) → 𝐶 ∈ ℤ)
12 simplrr 777 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶𝐷)) → 𝐷 ∈ ℤ)
13 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶𝐷)) → 𝐴 ∥ (𝐶𝐷))
14 congsym 41707 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ (𝐶𝐷))) → 𝐴 ∥ (𝐷𝐶))
1510, 11, 12, 13, 14syl22anc 838 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶𝐷)) → 𝐴 ∥ (𝐷𝐶))
1615ex 414 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∥ (𝐶𝐷) → 𝐴 ∥ (𝐷𝐶)))
17 zcn 12563 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℂ)
1817adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℂ)
19 zcn 12563 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℂ)
2019adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐷 ∈ ℂ)
2118, 20neg2subd 11588 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (-𝐶 − -𝐷) = (𝐷𝐶))
2221adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (-𝐶 − -𝐷) = (𝐷𝐶))
2322eqcomd 2739 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐷𝐶) = (-𝐶 − -𝐷))
2423breq2d 5161 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∥ (𝐷𝐶) ↔ 𝐴 ∥ (-𝐶 − -𝐷)))
2516, 24sylibd 238 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∥ (𝐶𝐷) → 𝐴 ∥ (-𝐶 − -𝐷)))
2625anim2d 613 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶𝐷)) → (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (-𝐶 − -𝐷))))
2726imp 408 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶𝐷))) → (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (-𝐶 − -𝐷)))
28 congtr 41704 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (-𝐶 ∈ ℤ ∧ -𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (-𝐶 − -𝐷))) → 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷))
295, 9, 27, 28syl3anc 1372 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶𝐷))) → 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷))
3029olcd 873 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶𝐷))) → (𝐴 ∥ (𝐵𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷)))
3130ex 414 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶𝐷)) → (𝐴 ∥ (𝐵𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷))))
32 simpll 766 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
337anim2i 618 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ -𝐷 ∈ ℤ))
3433ad2antlr 726 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ -𝐷 ∈ ℤ))
35 simpr 486 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → (𝐴 ∥ (𝐵𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷)))
36 congtr 41704 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ -𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷))
3732, 34, 35, 36syl3anc 1372 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷))
3837olcd 873 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → (𝐴 ∥ (𝐵𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷)))
3938ex 414 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝐴 ∥ (𝐵𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷)) → (𝐴 ∥ (𝐵𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷))))
40 simpll 766 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
416anim1i 616 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (-𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ))
4241ad2antlr 726 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → (-𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ))
43 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
44 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℤ)
4543, 44anim12i 614 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
4645an42s 660 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
4746adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷)) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
487adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → -𝐷 ∈ ℤ)
4948ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷)) → -𝐷 ∈ ℤ)
50 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷)) → 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))
51 congsym 41707 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (-𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → 𝐴 ∥ (-𝐷𝐶))
5247, 49, 50, 51syl12anc 836 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷)) → 𝐴 ∥ (-𝐷𝐶))
5352ex 414 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷) → 𝐴 ∥ (-𝐷𝐶)))
5418negnegd 11562 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → --𝐶 = 𝐶)
5554oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (-𝐷 − --𝐶) = (-𝐷𝐶))
56 zcn 12563 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-𝐶 ∈ ℤ → -𝐶 ∈ ℂ)
5756adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-𝐶 ∈ ℤ ∧ -𝐷 ∈ ℤ) → -𝐶 ∈ ℂ)
588, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → -𝐶 ∈ ℂ)
5920, 58neg2subd 11588 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (-𝐷 − --𝐶) = (-𝐶𝐷))
6055, 59eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (-𝐷𝐶) = (-𝐶𝐷))
6160adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (-𝐷𝐶) = (-𝐶𝐷))
6261breq2d 5161 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∥ (-𝐷𝐶) ↔ 𝐴 ∥ (-𝐶𝐷)))
6353, 62sylibd 238 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷) → 𝐴 ∥ (-𝐶𝐷)))
6463anim2d 613 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷)) → (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (-𝐶𝐷))))
6564imp 408 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (-𝐶𝐷)))
66 congtr 41704 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (-𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (-𝐶𝐷))) → 𝐴 ∥ (𝐵𝐷))
6740, 42, 65, 66syl3anc 1372 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → 𝐴 ∥ (𝐵𝐷))
6867orcd 872 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → (𝐴 ∥ (𝐵𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷)))
6968ex 414 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷)) → (𝐴 ∥ (𝐵𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷))))
704, 31, 39, 69ccased 1038 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (((𝐴 ∥ (𝐵𝐶) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐶𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → (𝐴 ∥ (𝐵𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷))))
71703impia 1118 1 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 ∥ (𝐵𝐶) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐶𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷)))) → (𝐴 ∥ (𝐵𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wo 846  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  cc 11108  cmin 11444  -cneg 11445  cz 12558  cdvds 16197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-dvds 16198
This theorem is referenced by:  jm2.25lem1  41737  jm2.26  41741  jm2.27a  41744
  Copyright terms: Public domain W3C validator