acongtr - Mathbox for Stefan O'Rear

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Theorem acongtr 42971

Description: Transitivity of alternating congruence. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
acongtr	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷)))) → (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷)))

**Proof of Theorem acongtr**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		congtr 42958	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷))) → 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐷))
2	1	3expa 1118	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷))) → 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐷))
3	2	orcd 873	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷))) → (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷)))
4	3	ex 412	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷)) → (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷))))
5		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷))) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
6		znegcl 12510	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → -𝐶 ∈ ℤ)
7		znegcl 12510	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → -𝐷 ∈ ℤ)
8	6, 7	anim12i 613	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (-𝐶 ∈ ℤ ∧ -𝐷 ∈ ℤ))
9	8	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷))) → (-𝐶 ∈ ℤ ∧ -𝐷 ∈ ℤ))
10		simplll 774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷)) → 𝐴 ∈ ℤ)
11		simplrl 776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷)) → 𝐶 ∈ ℤ)
12		simplrr 777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℤ)
13		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷)) → 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷))
14		congsym 42961	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷))) → 𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐶))
15	10, 11, 12, 13, 14	syl22anc 838	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷)) → 𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐶))
16	15	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷) → 𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐶)))
17		zcn 12476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℂ)
18	17	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℂ)
19		zcn 12476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℂ)
20	19	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐷 ∈ ℂ)
21	18, 20	neg2subd 11492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (-𝐶 − -𝐷) = (𝐷 − 𝐶))
22	21	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (-𝐶 − -𝐷) = (𝐷 − 𝐶))
23	22	eqcomd 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐷 − 𝐶) = (-𝐶 − -𝐷))
24	23	breq2d 5104	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐶) ↔ 𝐴 ∥ (-𝐶 − -𝐷)))
25	16, 24	sylibd 239	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷) → 𝐴 ∥ (-𝐶 − -𝐷)))
26	25	anim2d 612	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷)) → (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (-𝐶 − -𝐷))))
27	26	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷))) → (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (-𝐶 − -𝐷)))
28		congtr 42958	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (-𝐶 ∈ ℤ ∧ -𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (-𝐶 − -𝐷))) → 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷))
29	5, 9, 27, 28	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷))) → 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷))
30	29	olcd 874	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷))) → (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷)))
31	30	ex 412	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷)) → (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷))))
32		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
33	7	anim2i 617	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ -𝐷 ∈ ℤ))
34	33	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ -𝐷 ∈ ℤ))
35		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷)))
36		congtr 42958	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ -𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷))
37	32, 34, 35, 36	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷))
38	37	olcd 874	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷)))
39	38	ex 412	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷)) → (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷))))
40		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
41	6	anim1i 615	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (-𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ))
42	41	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → (-𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ))
43		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
44		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℤ)
45	43, 44	anim12i 613	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
46	45	an42s 661	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
47	46	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷)) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
48	7	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → -𝐷 ∈ ℤ)
49	48	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷)) → -𝐷 ∈ ℤ)
50		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷)) → 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))
51		congsym 42961	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (-𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → 𝐴 ∥ (-𝐷 − 𝐶))
52	47, 49, 50, 51	syl12anc 836	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷)) → 𝐴 ∥ (-𝐷 − 𝐶))
53	52	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷) → 𝐴 ∥ (-𝐷 − 𝐶)))
54	18	negnegd 11466	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → --𝐶 = 𝐶)
55	54	oveq2d 7365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (-𝐷 − --𝐶) = (-𝐷 − 𝐶))
56		zcn 12476	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-𝐶 ∈ ℤ → -𝐶 ∈ ℂ)
57	56	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-𝐶 ∈ ℤ ∧ -𝐷 ∈ ℤ) → -𝐶 ∈ ℂ)
58	8, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → -𝐶 ∈ ℂ)
59	20, 58	neg2subd 11492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (-𝐷 − --𝐶) = (-𝐶 − 𝐷))
60	55, 59	eqtr3d 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (-𝐷 − 𝐶) = (-𝐶 − 𝐷))
61	60	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (-𝐷 − 𝐶) = (-𝐶 − 𝐷))
62	61	breq2d 5104	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∥ (-𝐷 − 𝐶) ↔ 𝐴 ∥ (-𝐶 − 𝐷)))
63	53, 62	sylibd 239	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷) → 𝐴 ∥ (-𝐶 − 𝐷)))
64	63	anim2d 612	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷)) → (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (-𝐶 − 𝐷))))
65	64	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (-𝐶 − 𝐷)))
66		congtr 42958	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (-𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (-𝐶 − 𝐷))) → 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐷))
67	40, 42, 65, 66	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐷))
68	67	orcd 873	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷)))
69	68	ex 412	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷)) → (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷))))
70	4, 31, 39, 69	ccased 1038	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (((𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷))))
71	70	3impia 1117	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷)))) → (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 395 ∨ wo 847 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 class class class wbr 5092 (class class class)co 7349 ℂcc 11007 − cmin 11347 -cneg 11348 ℤcz 12471 ∥ cdvds 16163

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2701 ax-sep 5235 ax-nul 5245 ax-pow 5304 ax-pr 5371 ax-un 7671 ax-resscn 11066 ax-1cn 11067 ax-icn 11068 ax-addcl 11069 ax-addrcl 11070 ax-mulcl 11071 ax-mulrcl 11072 ax-mulcom 11073 ax-addass 11074 ax-mulass 11075 ax-distr 11076 ax-i2m1 11077 ax-1ne0 11078 ax-1rid 11079 ax-rnegex 11080 ax-rrecex 11081 ax-cnre 11082 ax-pre-lttri 11083 ax-pre-lttrn 11084 ax-pre-ltadd 11085 ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2708 df-cleq 2721 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2926 df-nel 3030 df-ral 3045 df-rex 3054 df-reu 3344 df-rab 3395 df-v 3438 df-sbc 3743 df-csb 3852 df-dif 3906 df-un 3908 df-in 3910 df-ss 3920 df-pss 3923 df-nul 4285 df-if 4477 df-pw 4553 df-sn 4578 df-pr 4580 df-op 4584 df-uni 4859 df-iun 4943 df-br 5093 df-opab 5155 df-mpt 5174 df-tr 5200 df-id 5514 df-eprel 5519 df-po 5527 df-so 5528 df-fr 5572 df-we 5574 df-xp 5625 df-rel 5626 df-cnv 5627 df-co 5628 df-dm 5629 df-rn 5630 df-res 5631 df-ima 5632 df-pred 6249 df-ord 6310 df-on 6311 df-lim 6312 df-suc 6313 df-iota 6438 df-fun 6484 df-fn 6485 df-f 6486 df-f1 6487 df-fo 6488 df-f1o 6489 df-fv 6490 df-riota 7306 df-ov 7352 df-oprab 7353 df-mpo 7354 df-om 7800 df-2nd 7925 df-frecs 8214 df-wrecs 8245 df-recs 8294 df-rdg 8332 df-er 8625 df-en 8873 df-dom 8874 df-sdom 8875 df-pnf 11151 df-mnf 11152 df-xr 11153 df-ltxr 11154 df-le 11155 df-sub 11349 df-neg 11350 df-nn 12129 df-n0 12385 df-z 12472 df-dvds 16164

This theorem is referenced by: jm2.25lem1 42991 jm2.26 42995 jm2.27a 42998

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