acongtr - Mathbox for Stefan O'Rear

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Theorem acongtr 40716

Description: Transitivity of alternating congruence. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
acongtr	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷)))) → (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷)))

**Proof of Theorem acongtr**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		congtr 40703	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷))) → 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐷))
2	1	3expa 1116	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷))) → 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐷))
3	2	orcd 869	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷))) → (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷)))
4	3	ex 412	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷)) → (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷))))
5		simpll 763	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷))) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
6		znegcl 12285	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → -𝐶 ∈ ℤ)
7		znegcl 12285	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → -𝐷 ∈ ℤ)
8	6, 7	anim12i 612	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (-𝐶 ∈ ℤ ∧ -𝐷 ∈ ℤ))
9	8	ad2antlr 723	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷))) → (-𝐶 ∈ ℤ ∧ -𝐷 ∈ ℤ))
10		simplll 771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷)) → 𝐴 ∈ ℤ)
11		simplrl 773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷)) → 𝐶 ∈ ℤ)
12		simplrr 774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℤ)
13		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷)) → 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷))
14		congsym 40706	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷))) → 𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐶))
15	10, 11, 12, 13, 14	syl22anc 835	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷)) → 𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐶))
16	15	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷) → 𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐶)))
17		zcn 12254	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℂ)
18	17	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℂ)
19		zcn 12254	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℂ)
20	19	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐷 ∈ ℂ)
21	18, 20	neg2subd 11279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (-𝐶 − -𝐷) = (𝐷 − 𝐶))
22	21	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (-𝐶 − -𝐷) = (𝐷 − 𝐶))
23	22	eqcomd 2744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐷 − 𝐶) = (-𝐶 − -𝐷))
24	23	breq2d 5082	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐶) ↔ 𝐴 ∥ (-𝐶 − -𝐷)))
25	16, 24	sylibd 238	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷) → 𝐴 ∥ (-𝐶 − -𝐷)))
26	25	anim2d 611	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷)) → (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (-𝐶 − -𝐷))))
27	26	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷))) → (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (-𝐶 − -𝐷)))
28		congtr 40703	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (-𝐶 ∈ ℤ ∧ -𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (-𝐶 − -𝐷))) → 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷))
29	5, 9, 27, 28	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷))) → 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷))
30	29	olcd 870	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷))) → (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷)))
31	30	ex 412	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷)) → (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷))))
32		simpll 763	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
33	7	anim2i 616	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ -𝐷 ∈ ℤ))
34	33	ad2antlr 723	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ -𝐷 ∈ ℤ))
35		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷)))
36		congtr 40703	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ -𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷))
37	32, 34, 35, 36	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷))
38	37	olcd 870	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷)))
39	38	ex 412	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷)) → (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷))))
40		simpll 763	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
41	6	anim1i 614	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (-𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ))
42	41	ad2antlr 723	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → (-𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ))
43		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
44		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℤ)
45	43, 44	anim12i 612	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
46	45	an42s 657	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
47	46	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷)) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
48	7	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → -𝐷 ∈ ℤ)
49	48	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷)) → -𝐷 ∈ ℤ)
50		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷)) → 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))
51		congsym 40706	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (-𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → 𝐴 ∥ (-𝐷 − 𝐶))
52	47, 49, 50, 51	syl12anc 833	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷)) → 𝐴 ∥ (-𝐷 − 𝐶))
53	52	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷) → 𝐴 ∥ (-𝐷 − 𝐶)))
54	18	negnegd 11253	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → --𝐶 = 𝐶)
55	54	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (-𝐷 − --𝐶) = (-𝐷 − 𝐶))
56		zcn 12254	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-𝐶 ∈ ℤ → -𝐶 ∈ ℂ)
57	56	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-𝐶 ∈ ℤ ∧ -𝐷 ∈ ℤ) → -𝐶 ∈ ℂ)
58	8, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → -𝐶 ∈ ℂ)
59	20, 58	neg2subd 11279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (-𝐷 − --𝐶) = (-𝐶 − 𝐷))
60	55, 59	eqtr3d 2780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (-𝐷 − 𝐶) = (-𝐶 − 𝐷))
61	60	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (-𝐷 − 𝐶) = (-𝐶 − 𝐷))
62	61	breq2d 5082	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∥ (-𝐷 − 𝐶) ↔ 𝐴 ∥ (-𝐶 − 𝐷)))
63	53, 62	sylibd 238	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷) → 𝐴 ∥ (-𝐶 − 𝐷)))
64	63	anim2d 611	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷)) → (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (-𝐶 − 𝐷))))
65	64	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (-𝐶 − 𝐷)))
66		congtr 40703	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (-𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (-𝐶 − 𝐷))) → 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐷))
67	40, 42, 65, 66	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐷))
68	67	orcd 869	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷)))
69	68	ex 412	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷)) → (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷))))
70	4, 31, 39, 69	ccased 1035	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (((𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷))))
71	70	3impia 1115	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷)))) → (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 395 ∨ wo 843 ∧ w3a 1085 = wceq 1539 ∈ wcel 2108 class class class wbr 5070 (class class class)co 7255 ℂcc 10800 − cmin 11135 -cneg 11136 ℤcz 12249 ∥ cdvds 15891

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1799 ax-4 1813 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2139 ax-11 2156 ax-12 2173 ax-ext 2709 ax-sep 5218 ax-nul 5225 ax-pow 5283 ax-pr 5347 ax-un 7566 ax-resscn 10859 ax-1cn 10860 ax-icn 10861 ax-addcl 10862 ax-addrcl 10863 ax-mulcl 10864 ax-mulrcl 10865 ax-mulcom 10866 ax-addass 10867 ax-mulass 10868 ax-distr 10869 ax-i2m1 10870 ax-1ne0 10871 ax-1rid 10872 ax-rnegex 10873 ax-rrecex 10874 ax-cnre 10875 ax-pre-lttri 10876 ax-pre-lttrn 10877 ax-pre-ltadd 10878 ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 844 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1784 df-nf 1788 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2817 df-nfc 2888 df-ne 2943 df-nel 3049 df-ral 3068 df-rex 3069 df-reu 3070 df-rab 3072 df-v 3424 df-sbc 3712 df-csb 3829 df-dif 3886 df-un 3888 df-in 3890 df-ss 3900 df-pss 3902 df-nul 4254 df-if 4457 df-pw 4532 df-sn 4559 df-pr 4561 df-tp 4563 df-op 4565 df-uni 4837 df-iun 4923 df-br 5071 df-opab 5133 df-mpt 5154 df-tr 5188 df-id 5480 df-eprel 5486 df-po 5494 df-so 5495 df-fr 5535 df-we 5537 df-xp 5586 df-rel 5587 df-cnv 5588 df-co 5589 df-dm 5590 df-rn 5591 df-res 5592 df-ima 5593 df-pred 6191 df-ord 6254 df-on 6255 df-lim 6256 df-suc 6257 df-iota 6376 df-fun 6420 df-fn 6421 df-f 6422 df-f1 6423 df-fo 6424 df-f1o 6425 df-fv 6426 df-riota 7212 df-ov 7258 df-oprab 7259 df-mpo 7260 df-om 7688 df-2nd 7805 df-frecs 8068 df-wrecs 8099 df-recs 8173 df-rdg 8212 df-er 8456 df-en 8692 df-dom 8693 df-sdom 8694 df-pnf 10942 df-mnf 10943 df-xr 10944 df-ltxr 10945 df-le 10946 df-sub 11137 df-neg 11138 df-nn 11904 df-n0 12164 df-z 12250 df-dvds 15892

This theorem is referenced by: jm2.25lem1 40736 jm2.26 40740 jm2.27a 40743

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