acongtr - Mathbox for Stefan O'Rear

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Theorem acongtr 43070

Description: Transitivity of alternating congruence. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
acongtr	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷)))) → (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷)))

**Proof of Theorem acongtr**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		congtr 43057	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷))) → 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐷))
2	1	3expa 1118	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷))) → 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐷))
3	2	orcd 873	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷))) → (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷)))
4	3	ex 412	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷)) → (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷))))
5		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷))) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
6		znegcl 12507	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → -𝐶 ∈ ℤ)
7		znegcl 12507	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → -𝐷 ∈ ℤ)
8	6, 7	anim12i 613	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (-𝐶 ∈ ℤ ∧ -𝐷 ∈ ℤ))
9	8	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷))) → (-𝐶 ∈ ℤ ∧ -𝐷 ∈ ℤ))
10		simplll 774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷)) → 𝐴 ∈ ℤ)
11		simplrl 776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷)) → 𝐶 ∈ ℤ)
12		simplrr 777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℤ)
13		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷)) → 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷))
14		congsym 43060	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷))) → 𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐶))
15	10, 11, 12, 13, 14	syl22anc 838	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷)) → 𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐶))
16	15	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷) → 𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐶)))
17		zcn 12473	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℂ)
18	17	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℂ)
19		zcn 12473	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℂ)
20	19	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐷 ∈ ℂ)
21	18, 20	neg2subd 11489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (-𝐶 − -𝐷) = (𝐷 − 𝐶))
22	21	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (-𝐶 − -𝐷) = (𝐷 − 𝐶))
23	22	eqcomd 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐷 − 𝐶) = (-𝐶 − -𝐷))
24	23	breq2d 5101	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐶) ↔ 𝐴 ∥ (-𝐶 − -𝐷)))
25	16, 24	sylibd 239	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷) → 𝐴 ∥ (-𝐶 − -𝐷)))
26	25	anim2d 612	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷)) → (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (-𝐶 − -𝐷))))
27	26	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷))) → (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (-𝐶 − -𝐷)))
28		congtr 43057	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (-𝐶 ∈ ℤ ∧ -𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (-𝐶 − -𝐷))) → 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷))
29	5, 9, 27, 28	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷))) → 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷))
30	29	olcd 874	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷))) → (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷)))
31	30	ex 412	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷)) → (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷))))
32		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
33	7	anim2i 617	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ -𝐷 ∈ ℤ))
34	33	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ -𝐷 ∈ ℤ))
35		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷)))
36		congtr 43057	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ -𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷))
37	32, 34, 35, 36	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷))
38	37	olcd 874	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷)))
39	38	ex 412	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷)) → (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷))))
40		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
41	6	anim1i 615	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (-𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ))
42	41	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → (-𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ))
43		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
44		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℤ)
45	43, 44	anim12i 613	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
46	45	an42s 661	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
47	46	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷)) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
48	7	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → -𝐷 ∈ ℤ)
49	48	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷)) → -𝐷 ∈ ℤ)
50		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷)) → 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))
51		congsym 43060	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (-𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → 𝐴 ∥ (-𝐷 − 𝐶))
52	47, 49, 50, 51	syl12anc 836	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷)) → 𝐴 ∥ (-𝐷 − 𝐶))
53	52	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷) → 𝐴 ∥ (-𝐷 − 𝐶)))
54	18	negnegd 11463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → --𝐶 = 𝐶)
55	54	oveq2d 7362	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (-𝐷 − --𝐶) = (-𝐷 − 𝐶))
56		zcn 12473	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-𝐶 ∈ ℤ → -𝐶 ∈ ℂ)
57	56	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-𝐶 ∈ ℤ ∧ -𝐷 ∈ ℤ) → -𝐶 ∈ ℂ)
58	8, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → -𝐶 ∈ ℂ)
59	20, 58	neg2subd 11489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (-𝐷 − --𝐶) = (-𝐶 − 𝐷))
60	55, 59	eqtr3d 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (-𝐷 − 𝐶) = (-𝐶 − 𝐷))
61	60	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (-𝐷 − 𝐶) = (-𝐶 − 𝐷))
62	61	breq2d 5101	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∥ (-𝐷 − 𝐶) ↔ 𝐴 ∥ (-𝐶 − 𝐷)))
63	53, 62	sylibd 239	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷) → 𝐴 ∥ (-𝐶 − 𝐷)))
64	63	anim2d 612	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷)) → (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (-𝐶 − 𝐷))))
65	64	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (-𝐶 − 𝐷)))
66		congtr 43057	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (-𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (-𝐶 − 𝐷))) → 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐷))
67	40, 42, 65, 66	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐷))
68	67	orcd 873	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷)))
69	68	ex 412	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷)) → (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷))))
70	4, 31, 39, 69	ccased 1038	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (((𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷))))
71	70	3impia 1117	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷)))) → (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 395 ∨ wo 847 ∧ w3a 1086 = wceq 1541 ∈ wcel 2111 class class class wbr 5089 (class class class)co 7346 ℂcc 11004 − cmin 11344 -cneg 11345 ℤcz 12468 ∥ cdvds 16163

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2113 ax-9 2121 ax-10 2144 ax-11 2160 ax-12 2180 ax-ext 2703 ax-sep 5232 ax-nul 5242 ax-pow 5301 ax-pr 5368 ax-un 7668 ax-resscn 11063 ax-1cn 11064 ax-icn 11065 ax-addcl 11066 ax-addrcl 11067 ax-mulcl 11068 ax-mulrcl 11069 ax-mulcom 11070 ax-addass 11071 ax-mulass 11072 ax-distr 11073 ax-i2m1 11074 ax-1ne0 11075 ax-1rid 11076 ax-rnegex 11077 ax-rrecex 11078 ax-cnre 11079 ax-pre-lttri 11080 ax-pre-lttrn 11081 ax-pre-ltadd 11082 ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2710 df-cleq 2723 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2929 df-nel 3033 df-ral 3048 df-rex 3057 df-reu 3347 df-rab 3396 df-v 3438 df-sbc 3737 df-csb 3846 df-dif 3900 df-un 3902 df-in 3904 df-ss 3914 df-pss 3917 df-nul 4281 df-if 4473 df-pw 4549 df-sn 4574 df-pr 4576 df-op 4580 df-uni 4857 df-iun 4941 df-br 5090 df-opab 5152 df-mpt 5171 df-tr 5197 df-id 5509 df-eprel 5514 df-po 5522 df-so 5523 df-fr 5567 df-we 5569 df-xp 5620 df-rel 5621 df-cnv 5622 df-co 5623 df-dm 5624 df-rn 5625 df-res 5626 df-ima 5627 df-pred 6248 df-ord 6309 df-on 6310 df-lim 6311 df-suc 6312 df-iota 6437 df-fun 6483 df-fn 6484 df-f 6485 df-f1 6486 df-fo 6487 df-f1o 6488 df-fv 6489 df-riota 7303 df-ov 7349 df-oprab 7350 df-mpo 7351 df-om 7797 df-2nd 7922 df-frecs 8211 df-wrecs 8242 df-recs 8291 df-rdg 8329 df-er 8622 df-en 8870 df-dom 8871 df-sdom 8872 df-pnf 11148 df-mnf 11149 df-xr 11150 df-ltxr 11151 df-le 11152 df-sub 11346 df-neg 11347 df-nn 12126 df-n0 12382 df-z 12469 df-dvds 16164

This theorem is referenced by: jm2.25lem1 43090 jm2.26 43094 jm2.27a 43097

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