Theorem acongtr 40444

Description: Transitivity of alternating congruence. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
acongtr	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷)))) → (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷)))

Proof of Theorem acongtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		congtr 40431	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷))) → 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐷))
2	1	3expa 1120	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷))) → 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐷))
3	2	orcd 873	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷))) → (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷)))
4	3	ex 416	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷)) → (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷))))
5		simpll 767	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷))) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
6		znegcl 12177	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → -𝐶 ∈ ℤ)
7		znegcl 12177	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → -𝐷 ∈ ℤ)
8	6, 7	anim12i 616	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (-𝐶 ∈ ℤ ∧ -𝐷 ∈ ℤ))
9	8	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷))) → (-𝐶 ∈ ℤ ∧ -𝐷 ∈ ℤ))
10		simplll 775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷)) → 𝐴 ∈ ℤ)
11		simplrl 777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷)) → 𝐶 ∈ ℤ)
12		simplrr 778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℤ)
13		simpr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷)) → 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷))
14		congsym 40434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷))) → 𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐶))
15	10, 11, 12, 13, 14	syl22anc 839	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷)) → 𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐶))
16	15	ex 416	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷) → 𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐶)))
17		zcn 12146	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℂ)
18	17	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℂ)
19		zcn 12146	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℂ)
20	19	adantl 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐷 ∈ ℂ)
21	18, 20	neg2subd 11171	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (-𝐶 − -𝐷) = (𝐷 − 𝐶))
22	21	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (-𝐶 − -𝐷) = (𝐷 − 𝐶))
23	22	eqcomd 2742	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐷 − 𝐶) = (-𝐶 − -𝐷))
24	23	breq2d 5051	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐶) ↔ 𝐴 ∥ (-𝐶 − -𝐷)))
25	16, 24	sylibd 242	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷) → 𝐴 ∥ (-𝐶 − -𝐷)))
26	25	anim2d 615	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷)) → (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (-𝐶 − -𝐷))))
27	26	imp 410	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷))) → (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (-𝐶 − -𝐷)))
28		congtr 40431	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (-𝐶 ∈ ℤ ∧ -𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (-𝐶 − -𝐷))) → 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷))
29	5, 9, 27, 28	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷))) → 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷))
30	29	olcd 874	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷))) → (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷)))
31	30	ex 416	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷)) → (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷))))
32		simpll 767	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
33	7	anim2i 620	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ -𝐷 ∈ ℤ))
34	33	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ -𝐷 ∈ ℤ))
35		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷)))
36		congtr 40431	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ -𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷))
37	32, 34, 35, 36	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷))
38	37	olcd 874	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷)))
39	38	ex 416	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷)) → (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷))))
40		simpll 767	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
41	6	anim1i 618	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (-𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ))
42	41	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → (-𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ))
43		simpl 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
44		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℤ)
45	43, 44	anim12i 616	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
46	45	an42s 661	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
47	46	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷)) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
48	7	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → -𝐷 ∈ ℤ)
49	48	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷)) → -𝐷 ∈ ℤ)
50		simpr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷)) → 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))
51		congsym 40434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (-𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → 𝐴 ∥ (-𝐷 − 𝐶))
52	47, 49, 50, 51	syl12anc 837	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷)) → 𝐴 ∥ (-𝐷 − 𝐶))
53	52	ex 416	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷) → 𝐴 ∥ (-𝐷 − 𝐶)))
54	18	negnegd 11145	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → --𝐶 = 𝐶)
55	54	oveq2d 7207	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (-𝐷 − --𝐶) = (-𝐷 − 𝐶))
56		zcn 12146	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-𝐶 ∈ ℤ → -𝐶 ∈ ℂ)
57	56	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-𝐶 ∈ ℤ ∧ -𝐷 ∈ ℤ) → -𝐶 ∈ ℂ)
58	8, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → -𝐶 ∈ ℂ)
59	20, 58	neg2subd 11171	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (-𝐷 − --𝐶) = (-𝐶 − 𝐷))
60	55, 59	eqtr3d 2773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (-𝐷 − 𝐶) = (-𝐶 − 𝐷))
61	60	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (-𝐷 − 𝐶) = (-𝐶 − 𝐷))
62	61	breq2d 5051	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∥ (-𝐷 − 𝐶) ↔ 𝐴 ∥ (-𝐶 − 𝐷)))
63	53, 62	sylibd 242	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷) → 𝐴 ∥ (-𝐶 − 𝐷)))
64	63	anim2d 615	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷)) → (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (-𝐶 − 𝐷))))
65	64	imp 410	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (-𝐶 − 𝐷)))
66		congtr 40431	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (-𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (-𝐶 − 𝐷))) → 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐷))
67	40, 42, 65, 66	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐷))
68	67	orcd 873	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷)))
69	68	ex 416	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷)) → (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷))))
70	4, 31, 39, 69	ccased 1039	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (((𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷))))
71	70	3impia 1119	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷)))) → (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 847   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5039  (class class class)co 7191  ℂcc 10692   − cmin 11027  -cneg 11028  ℤcz 12141   ∥ cdvds 15778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-nn 11796  df-n0 12056  df-z 12142  df-dvds 15779

This theorem is referenced by:  jm2.25lem1  40464  jm2.26  40468  jm2.27a  40471