Theorem addsq2nreurex 26020

Description: For each complex number 𝐶, there is no unique complex number 𝑎 added to the square of another complex number 𝑏 resulting in the given complex number 𝐶. (Contributed by AV, 2-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
addsq2nreurex	⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ¬ ∃!𝑎 ∈ ℂ ∃𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶)

Distinct variable group:   𝐶,𝑎,𝑏

Proof of Theorem addsq2nreurex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2cnm 10952	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 − 1) ∈ ℂ)
2		id 22	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → 𝐶 ∈ ℂ)
3		4cn 11723	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → 4 ∈ ℂ)
5	2, 4	subcld 10997	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 − 4) ∈ ℂ)
6		1cnd 10636	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
7		1re 10641	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
8		1lt4 11814	. . . . 5 ⊢ 1 < 4
9	7, 8	ltneii 10753	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 4
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → 1 ≠ 4)
11	2, 6, 4, 10	subneintrd 11041	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 − 1) ≠ (𝐶 − 4))
12		oveq1 7163	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 1 → (𝑏↑2) = (1↑2))
13	12	oveq2d 7172	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 1 → ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = ((𝐶 − 1) + (1↑2)))
14	13	eqeq1d 2823	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 1 → (((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ((𝐶 − 1) + (1↑2)) = 𝐶))
15	14	adantl 484	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 = 1) → (((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ((𝐶 − 1) + (1↑2)) = 𝐶))
16		sq1 13559	. . . . 5 ⊢ (1↑2) = 1
17	16	oveq2i 7167	. . . 4 ⊢ ((𝐶 − 1) + (1↑2)) = ((𝐶 − 1) + 1)
18		npcan1 11065	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶 − 1) + 1) = 𝐶)
19	17, 18	syl5eq 2868	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶 − 1) + (1↑2)) = 𝐶)
20	6, 15, 19	rspcedvd 3626	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶)
21		2cnd 11716	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
22		oveq1 7163	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 2 → (𝑏↑2) = (2↑2))
23	22	oveq2d 7172	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 2 → ((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = ((𝐶 − 4) + (2↑2)))
24	23	eqeq1d 2823	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 2 → (((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ((𝐶 − 4) + (2↑2)) = 𝐶))
25	24	adantl 484	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 = 2) → (((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ((𝐶 − 4) + (2↑2)) = 𝐶))
26		2cn 11713	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
27	26	sqcli 13545	. . . . . 6 ⊢ (2↑2) ∈ ℂ
28	27	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (2↑2) ∈ ℂ)
29	2, 4, 28	subadd23d 11019	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶 − 4) + (2↑2)) = (𝐶 + ((2↑2) − 4)))
30		sq2 13561	. . . . . . 7 ⊢ (2↑2) = 4
31	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (2↑2) = 4)
32	28, 31	subeq0bd 11066	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ((2↑2) − 4) = 0)
33	27, 3	subcli 10962	. . . . . 6 ⊢ ((2↑2) − 4) ∈ ℂ
34		addid0 11059	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ ((2↑2) − 4) ∈ ℂ) → ((𝐶 + ((2↑2) − 4)) = 𝐶 ↔ ((2↑2) − 4) = 0))
35	33, 34	mpan2 689	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶 + ((2↑2) − 4)) = 𝐶 ↔ ((2↑2) − 4) = 0))
36	32, 35	mpbird 259	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 + ((2↑2) − 4)) = 𝐶)
37	29, 36	eqtrd 2856	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶 − 4) + (2↑2)) = 𝐶)
38	21, 25, 37	rspcedvd 3626	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = 𝐶)
39		oveq1 7163	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − 1) → (𝑎 + (𝑏↑2)) = ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)))
40	39	eqeq1d 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − 1) → ((𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
41	40	rexbidv 3297	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − 1) → (∃𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
42		oveq1 7163	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − 4) → (𝑎 + (𝑏↑2)) = ((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)))
43	42	eqeq1d 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − 4) → ((𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
44	43	rexbidv 3297	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − 4) → (∃𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
45	41, 44	2nreu 4393	. . 3 ⊢ (((𝐶 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 4) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 1) ≠ (𝐶 − 4)) → ((∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ∧ ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = 𝐶) → ¬ ∃!𝑎 ∈ ℂ ∃𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶))
46	45	imp 409	. 2 ⊢ ((((𝐶 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 4) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 1) ≠ (𝐶 − 4)) ∧ (∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ∧ ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = 𝐶)) → ¬ ∃!𝑎 ∈ ℂ ∃𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶)
47	1, 5, 11, 20, 38, 46	syl32anc 1374	1 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ¬ ∃!𝑎 ∈ ℂ ∃𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ∃wrex 3139  ∃!wreu 3140  (class class class)co 7156  ℂcc 10535  0cc0 10537  1c1 10538   + caddc 10540   − cmin 10870  2c2 11693  4c4 11695  ↑cexp 13430

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-seq 13371  df-exp 13431

This theorem is referenced by:  addsqn2reurex2  26021