Theorem addsq2nreurex 27506

Description: For each complex number 𝐶, there is no unique complex number 𝑎 added to the square of another complex number 𝑏 resulting in the given complex number 𝐶. (Contributed by AV, 2-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
addsq2nreurex	⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ¬ ∃!𝑎 ∈ ℂ ∃𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶)

Distinct variable group:   𝐶,𝑎,𝑏

Proof of Theorem addsq2nreurex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2cnm 11602	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 − 1) ∈ ℂ)
2		id 22	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → 𝐶 ∈ ℂ)
3		4cn 12378	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → 4 ∈ ℂ)
5	2, 4	subcld 11647	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 − 4) ∈ ℂ)
6		1cnd 11285	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
7		1re 11290	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
8		1lt4 12469	. . . . 5 ⊢ 1 < 4
9	7, 8	ltneii 11403	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 4
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → 1 ≠ 4)
11	2, 6, 4, 10	subneintrd 11691	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 − 1) ≠ (𝐶 − 4))
12		oveq1 7455	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 1 → (𝑏↑2) = (1↑2))
13	12	oveq2d 7464	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 1 → ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = ((𝐶 − 1) + (1↑2)))
14	13	eqeq1d 2742	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 1 → (((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ((𝐶 − 1) + (1↑2)) = 𝐶))
15	14	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 = 1) → (((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ((𝐶 − 1) + (1↑2)) = 𝐶))
16		sq1 14244	. . . . 5 ⊢ (1↑2) = 1
17	16	oveq2i 7459	. . . 4 ⊢ ((𝐶 − 1) + (1↑2)) = ((𝐶 − 1) + 1)
18		npcan1 11715	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶 − 1) + 1) = 𝐶)
19	17, 18	eqtrid 2792	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶 − 1) + (1↑2)) = 𝐶)
20	6, 15, 19	rspcedvd 3637	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶)
21		2cnd 12371	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
22		oveq1 7455	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 2 → (𝑏↑2) = (2↑2))
23	22	oveq2d 7464	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 2 → ((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = ((𝐶 − 4) + (2↑2)))
24	23	eqeq1d 2742	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 2 → (((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ((𝐶 − 4) + (2↑2)) = 𝐶))
25	24	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 = 2) → (((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ((𝐶 − 4) + (2↑2)) = 𝐶))
26		2cn 12368	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
27	26	sqcli 14230	. . . . . 6 ⊢ (2↑2) ∈ ℂ
28	27	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (2↑2) ∈ ℂ)
29	2, 4, 28	subadd23d 11669	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶 − 4) + (2↑2)) = (𝐶 + ((2↑2) − 4)))
30		sq2 14246	. . . . . . 7 ⊢ (2↑2) = 4
31	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (2↑2) = 4)
32	28, 31	subeq0bd 11716	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ((2↑2) − 4) = 0)
33	27, 3	subcli 11612	. . . . . 6 ⊢ ((2↑2) − 4) ∈ ℂ
34		addid0 11709	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ ((2↑2) − 4) ∈ ℂ) → ((𝐶 + ((2↑2) − 4)) = 𝐶 ↔ ((2↑2) − 4) = 0))
35	33, 34	mpan2 690	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶 + ((2↑2) − 4)) = 𝐶 ↔ ((2↑2) − 4) = 0))
36	32, 35	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 + ((2↑2) − 4)) = 𝐶)
37	29, 36	eqtrd 2780	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶 − 4) + (2↑2)) = 𝐶)
38	21, 25, 37	rspcedvd 3637	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = 𝐶)
39		oveq1 7455	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − 1) → (𝑎 + (𝑏↑2)) = ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)))
40	39	eqeq1d 2742	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − 1) → ((𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
41	40	rexbidv 3185	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − 1) → (∃𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
42		oveq1 7455	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − 4) → (𝑎 + (𝑏↑2)) = ((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)))
43	42	eqeq1d 2742	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − 4) → ((𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
44	43	rexbidv 3185	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − 4) → (∃𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
45	41, 44	2nreu 4467	. . 3 ⊢ (((𝐶 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 4) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 1) ≠ (𝐶 − 4)) → ((∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ∧ ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = 𝐶) → ¬ ∃!𝑎 ∈ ℂ ∃𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶))
46	45	imp 406	. 2 ⊢ ((((𝐶 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 4) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 1) ≠ (𝐶 − 4)) ∧ (∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ∧ ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = 𝐶)) → ¬ ∃!𝑎 ∈ ℂ ∃𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶)
47	1, 5, 11, 20, 38, 46	syl32anc 1378	1 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ¬ ∃!𝑎 ∈ ℂ ∃𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∃wrex 3076  ∃!wreu 3386  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   − cmin 11520  2c2 12348  4c4 12350  ↑cexp 14112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-seq 14053  df-exp 14113

This theorem is referenced by:  addsqn2reurex2  27507