Theorem addsq2nreurex 27619

Description: For each complex number 𝐶, there is no unique complex number 𝑎 added to the square of another complex number 𝑏 resulting in the given complex number 𝐶. (Contributed by AV, 2-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
addsq2nreurex	⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ¬ ∃!𝑎 ∈ ℂ ∃𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶)

Distinct variable group:   𝐶,𝑎,𝑏

Proof of Theorem addsq2nreurex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2cnm 11530	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 − 1) ∈ ℂ)
2		id 23	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → 𝐶 ∈ ℂ)
3		4cn 12332	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → 4 ∈ ℂ)
5	2, 4	subcld 11575	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 − 4) ∈ ℂ)
6		1cnd 11208	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
7		1re 11214	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
8		1lt4 12425	. . . . 5 ⊢ 1 < 4
9	7, 8	ltneii 11329	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 4
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → 1 ≠ 4)
11	2, 6, 4, 10	subneintrd 11619	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 − 1) ≠ (𝐶 − 4))
12		oveq1 7419	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 1 → (𝑏↑2) = (1↑2))
13	12	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 1 → ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = ((𝐶 − 1) + (1↑2)))
14	13	eqeq1d 2764	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 1 → (((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ((𝐶 − 1) + (1↑2)) = 𝐶))
15	14	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 = 1) → (((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ((𝐶 − 1) + (1↑2)) = 𝐶))
16		sq1 14238	. . . . 5 ⊢ (1↑2) = 1
17	16	oveq2i 7423	. . . 4 ⊢ ((𝐶 − 1) + (1↑2)) = ((𝐶 − 1) + 1)
18		npcan1 11645	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶 − 1) + 1) = 𝐶)
19	17, 18	eqtrid 2809	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶 − 1) + (1↑2)) = 𝐶)
20	6, 15, 19	rspcedvd 3582	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶)
21		2cnd 12325	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
22		oveq1 7419	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 2 → (𝑏↑2) = (2↑2))
23	22	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 2 → ((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = ((𝐶 − 4) + (2↑2)))
24	23	eqeq1d 2764	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 2 → (((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ((𝐶 − 4) + (2↑2)) = 𝐶))
25	24	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 = 2) → (((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ((𝐶 − 4) + (2↑2)) = 𝐶))
26		2cn 12322	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
27	26	sqcli 14224	. . . . . 6 ⊢ (2↑2) ∈ ℂ
28	27	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (2↑2) ∈ ℂ)
29	2, 4, 28	subadd23d 11597	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶 − 4) + (2↑2)) = (𝐶 + ((2↑2) − 4)))
30		sq2 14240	. . . . . . 7 ⊢ (2↑2) = 4
31	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (2↑2) = 4)
32	28, 31	subeq0bd 11646	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ((2↑2) − 4) = 0)
33	27, 3	subcli 11540	. . . . . 6 ⊢ ((2↑2) − 4) ∈ ℂ
34		addid0 11639	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ ((2↑2) − 4) ∈ ℂ) → ((𝐶 + ((2↑2) − 4)) = 𝐶 ↔ ((2↑2) − 4) = 0))
35	33, 34	mpan2 703	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶 + ((2↑2) − 4)) = 𝐶 ↔ ((2↑2) − 4) = 0))
36	32, 35	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 + ((2↑2) − 4)) = 𝐶)
37	29, 36	eqtrd 2797	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶 − 4) + (2↑2)) = 𝐶)
38	21, 25, 37	rspcedvd 3582	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = 𝐶)
39		oveq1 7419	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − 1) → (𝑎 + (𝑏↑2)) = ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)))
40	39	eqeq1d 2764	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − 1) → ((𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
41	40	rexbidv 3188	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − 1) → (∃𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
42		oveq1 7419	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − 4) → (𝑎 + (𝑏↑2)) = ((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)))
43	42	eqeq1d 2764	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − 4) → ((𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
44	43	rexbidv 3188	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − 4) → (∃𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
45	41, 44	2nreu 4408	. . 3 ⊢ (((𝐶 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 4) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 1) ≠ (𝐶 − 4)) → ((∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ∧ ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = 𝐶) → ¬ ∃!𝑎 ∈ ℂ ∃𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶))
46	45	imp 411	. 2 ⊢ ((((𝐶 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 4) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 1) ≠ (𝐶 − 4)) ∧ (∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ∧ ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = 𝐶)) → ¬ ∃!𝑎 ∈ ℂ ∃𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶)
47	1, 5, 11, 20, 38, 46	syl32anc 1404	1 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ¬ ∃!𝑎 ∈ ℂ ∃𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∃wrex 3088  ∃!wreu 3366  (class class class)co 7412  ℂcc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   − cmin 11447  2c2 12301  4c4 12303  ↑cexp 14104

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-seq 14045  df-exp 14105

This theorem is used by:  addsqn2reurex2  27620