Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addsq2nreurex Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: For each complex number 𝐶, there is no unique complex number 𝑎 added to the square of another complex number 𝑏 resulting in the given complex number 𝐶. (Contributed by AV, 2-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
addsq2nreurex (𝐶 ∈ ℂ → ¬ ∃!𝑎 ∈ ℂ ∃𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶)
Distinct variable group:   𝐶,𝑎,𝑏

StepHypRef Expression
1 peano2cnm 10944 . 2 (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 − 1) ∈ ℂ)
2 id 22 . . 3 (𝐶 ∈ ℂ → 𝐶 ∈ ℂ)
3 4cn 11713 . . . 4 4 ∈ ℂ
43a1i 11 . . 3 (𝐶 ∈ ℂ → 4 ∈ ℂ)
52, 4subcld 10989 . 2 (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 − 4) ∈ ℂ)
6 1cnd 10628 . . 3 (𝐶 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
7 1re 10633 . . . . 5 1 ∈ ℝ
8 1lt4 11804 . . . . 5 1 < 4
97, 8ltneii 10745 . . . 4 1 ≠ 4
109a1i 11 . . 3 (𝐶 ∈ ℂ → 1 ≠ 4)
112, 6, 4, 10subneintrd 11033 . 2 (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 − 1) ≠ (𝐶 − 4))
12 oveq1 7143 . . . . . 6 (𝑏 = 1 → (𝑏↑2) = (1↑2))
1312oveq2d 7152 . . . . 5 (𝑏 = 1 → ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = ((𝐶 − 1) + (1↑2)))
1413eqeq1d 2800 . . . 4 (𝑏 = 1 → (((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ((𝐶 − 1) + (1↑2)) = 𝐶))
1514adantl 485 . . 3 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 = 1) → (((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ((𝐶 − 1) + (1↑2)) = 𝐶))
16 sq1 13557 . . . . 5 (1↑2) = 1
1716oveq2i 7147 . . . 4 ((𝐶 − 1) + (1↑2)) = ((𝐶 − 1) + 1)
18 npcan1 11057 . . . 4 (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶 − 1) + 1) = 𝐶)
1917, 18syl5eq 2845 . . 3 (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶 − 1) + (1↑2)) = 𝐶)
206, 15, 19rspcedvd 3574 . 2 (𝐶 ∈ ℂ → ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶)
21 2cnd 11706 . . 3 (𝐶 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
22 oveq1 7143 . . . . . 6 (𝑏 = 2 → (𝑏↑2) = (2↑2))
2322oveq2d 7152 . . . . 5 (𝑏 = 2 → ((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = ((𝐶 − 4) + (2↑2)))
2423eqeq1d 2800 . . . 4 (𝑏 = 2 → (((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ((𝐶 − 4) + (2↑2)) = 𝐶))
2524adantl 485 . . 3 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 = 2) → (((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ((𝐶 − 4) + (2↑2)) = 𝐶))
26 2cn 11703 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
2726sqcli 13543 . . . . . 6 (2↑2) ∈ ℂ
2827a1i 11 . . . . 5 (𝐶 ∈ ℂ → (2↑2) ∈ ℂ)
292, 4, 28subadd23d 11011 . . . 4 (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶 − 4) + (2↑2)) = (𝐶 + ((2↑2) − 4)))
30 sq2 13559 . . . . . . 7 (2↑2) = 4
3130a1i 11 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℂ → (2↑2) = 4)
3228, 31subeq0bd 11058 . . . . 5 (𝐶 ∈ ℂ → ((2↑2) − 4) = 0)
3327, 3subcli 10954 . . . . . 6 ((2↑2) − 4) ∈ ℂ
34 addid0 11051 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ ((2↑2) − 4) ∈ ℂ) → ((𝐶 + ((2↑2) − 4)) = 𝐶 ↔ ((2↑2) − 4) = 0))
3533, 34mpan2 690 . . . . 5 (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶 + ((2↑2) − 4)) = 𝐶 ↔ ((2↑2) − 4) = 0))
3632, 35mpbird 260 . . . 4 (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 + ((2↑2) − 4)) = 𝐶)
3729, 36eqtrd 2833 . . 3 (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶 − 4) + (2↑2)) = 𝐶)
3821, 25, 37rspcedvd 3574 . 2 (𝐶 ∈ ℂ → ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = 𝐶)
39 oveq1 7143 . . . . . 6 (𝑎 = (𝐶 − 1) → (𝑎 + (𝑏↑2)) = ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)))
4039eqeq1d 2800 . . . . 5 (𝑎 = (𝐶 − 1) → ((𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
4140rexbidv 3256 . . . 4 (𝑎 = (𝐶 − 1) → (∃𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
42 oveq1 7143 . . . . . 6 (𝑎 = (𝐶 − 4) → (𝑎 + (𝑏↑2)) = ((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)))
4342eqeq1d 2800 . . . . 5 (𝑎 = (𝐶 − 4) → ((𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
4443rexbidv 3256 . . . 4 (𝑎 = (𝐶 − 4) → (∃𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
4541, 442nreu 4349 . . 3 (((𝐶 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 4) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 1) ≠ (𝐶 − 4)) → ((∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ∧ ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = 𝐶) → ¬ ∃!𝑎 ∈ ℂ ∃𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶))
4645imp 410 . 2 ((((𝐶 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 4) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 1) ≠ (𝐶 − 4)) ∧ (∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ∧ ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = 𝐶)) → ¬ ∃!𝑎 ∈ ℂ ∃𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶)
471, 5, 11, 20, 38, 46syl32anc 1375 1 (𝐶 ∈ ℂ → ¬ ∃!𝑎 ∈ ℂ ∃𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∃wrex 3107  ∃!wreu 3108  (class class class)co 7136  ℂcc 10527  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   − cmin 10862  2c2 11683  4c4 11685  ↑cexp 13428 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-4 11693  df-n0 11889  df-z 11973  df-uz 12235  df-seq 13368  df-exp 13429 This theorem is referenced by:  addsqn2reurex2  26039
 Copyright terms: Public domain W3C validator