MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addsq2nreurex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addsq2nreurex 27503
Description: For each complex number 𝐶, there is no unique complex number 𝑎 added to the square of another complex number 𝑏 resulting in the given complex number 𝐶. (Contributed by AV, 2-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
addsq2nreurex (𝐶 ∈ ℂ → ¬ ∃!𝑎 ∈ ℂ ∃𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶)
Distinct variable group:   𝐶,𝑎,𝑏

Proof of Theorem addsq2nreurex
StepHypRef Expression
1 peano2cnm 11573 . 2 (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 − 1) ∈ ℂ)
2 id 22 . . 3 (𝐶 ∈ ℂ → 𝐶 ∈ ℂ)
3 4cn 12349 . . . 4 4 ∈ ℂ
43a1i 11 . . 3 (𝐶 ∈ ℂ → 4 ∈ ℂ)
52, 4subcld 11618 . 2 (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 − 4) ∈ ℂ)
6 1cnd 11254 . . 3 (𝐶 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
7 1re 11259 . . . . 5 1 ∈ ℝ
8 1lt4 12440 . . . . 5 1 < 4
97, 8ltneii 11372 . . . 4 1 ≠ 4
109a1i 11 . . 3 (𝐶 ∈ ℂ → 1 ≠ 4)
112, 6, 4, 10subneintrd 11662 . 2 (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 − 1) ≠ (𝐶 − 4))
12 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑏 = 1 → (𝑏↑2) = (1↑2))
1312oveq2d 7447 . . . . 5 (𝑏 = 1 → ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = ((𝐶 − 1) + (1↑2)))
1413eqeq1d 2737 . . . 4 (𝑏 = 1 → (((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ((𝐶 − 1) + (1↑2)) = 𝐶))
1514adantl 481 . . 3 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 = 1) → (((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ((𝐶 − 1) + (1↑2)) = 𝐶))
16 sq1 14231 . . . . 5 (1↑2) = 1
1716oveq2i 7442 . . . 4 ((𝐶 − 1) + (1↑2)) = ((𝐶 − 1) + 1)
18 npcan1 11686 . . . 4 (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶 − 1) + 1) = 𝐶)
1917, 18eqtrid 2787 . . 3 (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶 − 1) + (1↑2)) = 𝐶)
206, 15, 19rspcedvd 3624 . 2 (𝐶 ∈ ℂ → ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶)
21 2cnd 12342 . . 3 (𝐶 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
22 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑏 = 2 → (𝑏↑2) = (2↑2))
2322oveq2d 7447 . . . . 5 (𝑏 = 2 → ((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = ((𝐶 − 4) + (2↑2)))
2423eqeq1d 2737 . . . 4 (𝑏 = 2 → (((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ((𝐶 − 4) + (2↑2)) = 𝐶))
2524adantl 481 . . 3 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 = 2) → (((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ((𝐶 − 4) + (2↑2)) = 𝐶))
26 2cn 12339 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
2726sqcli 14217 . . . . . 6 (2↑2) ∈ ℂ
2827a1i 11 . . . . 5 (𝐶 ∈ ℂ → (2↑2) ∈ ℂ)
292, 4, 28subadd23d 11640 . . . 4 (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶 − 4) + (2↑2)) = (𝐶 + ((2↑2) − 4)))
30 sq2 14233 . . . . . . 7 (2↑2) = 4
3130a1i 11 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℂ → (2↑2) = 4)
3228, 31subeq0bd 11687 . . . . 5 (𝐶 ∈ ℂ → ((2↑2) − 4) = 0)
3327, 3subcli 11583 . . . . . 6 ((2↑2) − 4) ∈ ℂ
34 addid0 11680 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ ((2↑2) − 4) ∈ ℂ) → ((𝐶 + ((2↑2) − 4)) = 𝐶 ↔ ((2↑2) − 4) = 0))
3533, 34mpan2 691 . . . . 5 (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶 + ((2↑2) − 4)) = 𝐶 ↔ ((2↑2) − 4) = 0))
3632, 35mpbird 257 . . . 4 (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 + ((2↑2) − 4)) = 𝐶)
3729, 36eqtrd 2775 . . 3 (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶 − 4) + (2↑2)) = 𝐶)
3821, 25, 37rspcedvd 3624 . 2 (𝐶 ∈ ℂ → ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = 𝐶)
39 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑎 = (𝐶 − 1) → (𝑎 + (𝑏↑2)) = ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)))
4039eqeq1d 2737 . . . . 5 (𝑎 = (𝐶 − 1) → ((𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
4140rexbidv 3177 . . . 4 (𝑎 = (𝐶 − 1) → (∃𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
42 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑎 = (𝐶 − 4) → (𝑎 + (𝑏↑2)) = ((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)))
4342eqeq1d 2737 . . . . 5 (𝑎 = (𝐶 − 4) → ((𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
4443rexbidv 3177 . . . 4 (𝑎 = (𝐶 − 4) → (∃𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
4541, 442nreu 4450 . . 3 (((𝐶 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 4) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 1) ≠ (𝐶 − 4)) → ((∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ∧ ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = 𝐶) → ¬ ∃!𝑎 ∈ ℂ ∃𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶))
4645imp 406 . 2 ((((𝐶 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 4) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 1) ≠ (𝐶 − 4)) ∧ (∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ∧ ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = 𝐶)) → ¬ ∃!𝑎 ∈ ℂ ∃𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶)
471, 5, 11, 20, 38, 46syl32anc 1377 1 (𝐶 ∈ ℂ → ¬ ∃!𝑎 ∈ ℂ ∃𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  ∃!wreu 3376  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  cmin 11490  2c2 12319  4c4 12321  cexp 14099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-seq 14040  df-exp 14100
This theorem is referenced by:  addsqn2reurex2  27504
  Copyright terms: Public domain W3C validator