Theorem addsq2nreurex 27395

Description: For each complex number 𝐶, there is no unique complex number 𝑎 added to the square of another complex number 𝑏 resulting in the given complex number 𝐶. (Contributed by AV, 2-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
addsq2nreurex	⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ¬ ∃!𝑎 ∈ ℂ ∃𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶)

Distinct variable group:   𝐶,𝑎,𝑏

Proof of Theorem addsq2nreurex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2cnm 11448	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 − 1) ∈ ℂ)
2		id 22	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → 𝐶 ∈ ℂ)
3		4cn 12231	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → 4 ∈ ℂ)
5	2, 4	subcld 11493	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 − 4) ∈ ℂ)
6		1cnd 11128	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
7		1re 11133	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
8		1lt4 12317	. . . . 5 ⊢ 1 < 4
9	7, 8	ltneii 11247	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 4
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → 1 ≠ 4)
11	2, 6, 4, 10	subneintrd 11537	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 − 1) ≠ (𝐶 − 4))
12		oveq1 7365	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 1 → (𝑏↑2) = (1↑2))
13	12	oveq2d 7374	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 1 → ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = ((𝐶 − 1) + (1↑2)))
14	13	eqeq1d 2739	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 1 → (((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ((𝐶 − 1) + (1↑2)) = 𝐶))
15	14	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 = 1) → (((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ((𝐶 − 1) + (1↑2)) = 𝐶))
16		sq1 14119	. . . . 5 ⊢ (1↑2) = 1
17	16	oveq2i 7369	. . . 4 ⊢ ((𝐶 − 1) + (1↑2)) = ((𝐶 − 1) + 1)
18		npcan1 11563	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶 − 1) + 1) = 𝐶)
19	17, 18	eqtrid 2784	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶 − 1) + (1↑2)) = 𝐶)
20	6, 15, 19	rspcedvd 3567	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶)
21		2cnd 12224	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
22		oveq1 7365	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 2 → (𝑏↑2) = (2↑2))
23	22	oveq2d 7374	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 2 → ((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = ((𝐶 − 4) + (2↑2)))
24	23	eqeq1d 2739	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 2 → (((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ((𝐶 − 4) + (2↑2)) = 𝐶))
25	24	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 = 2) → (((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ((𝐶 − 4) + (2↑2)) = 𝐶))
26		2cn 12221	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
27	26	sqcli 14105	. . . . . 6 ⊢ (2↑2) ∈ ℂ
28	27	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (2↑2) ∈ ℂ)
29	2, 4, 28	subadd23d 11515	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶 − 4) + (2↑2)) = (𝐶 + ((2↑2) − 4)))
30		sq2 14121	. . . . . . 7 ⊢ (2↑2) = 4
31	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (2↑2) = 4)
32	28, 31	subeq0bd 11564	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ((2↑2) − 4) = 0)
33	27, 3	subcli 11458	. . . . . 6 ⊢ ((2↑2) − 4) ∈ ℂ
34		addid0 11557	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ ((2↑2) − 4) ∈ ℂ) → ((𝐶 + ((2↑2) − 4)) = 𝐶 ↔ ((2↑2) − 4) = 0))
35	33, 34	mpan2 692	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶 + ((2↑2) − 4)) = 𝐶 ↔ ((2↑2) − 4) = 0))
36	32, 35	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 + ((2↑2) − 4)) = 𝐶)
37	29, 36	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶 − 4) + (2↑2)) = 𝐶)
38	21, 25, 37	rspcedvd 3567	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = 𝐶)
39		oveq1 7365	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − 1) → (𝑎 + (𝑏↑2)) = ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)))
40	39	eqeq1d 2739	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − 1) → ((𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
41	40	rexbidv 3162	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − 1) → (∃𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
42		oveq1 7365	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − 4) → (𝑎 + (𝑏↑2)) = ((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)))
43	42	eqeq1d 2739	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − 4) → ((𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
44	43	rexbidv 3162	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − 4) → (∃𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
45	41, 44	2nreu 4385	. . 3 ⊢ (((𝐶 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 4) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 1) ≠ (𝐶 − 4)) → ((∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ∧ ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = 𝐶) → ¬ ∃!𝑎 ∈ ℂ ∃𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶))
46	45	imp 406	. 2 ⊢ ((((𝐶 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 4) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 1) ≠ (𝐶 − 4)) ∧ (∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ∧ ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = 𝐶)) → ¬ ∃!𝑎 ∈ ℂ ∃𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶)
47	1, 5, 11, 20, 38, 46	syl32anc 1381	1 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ¬ ∃!𝑎 ∈ ℂ ∃𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062  ∃!wreu 3341  (class class class)co 7358  ℂcc 11025  0cc0 11027  1c1 11028   + caddc 11030   − cmin 11365  2c2 12201  4c4 12203  ↑cexp 13985

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12753  df-seq 13926  df-exp 13986

This theorem is referenced by:  addsqn2reurex2  27396