Theorem addsq2nreurex 27428

Description: For each complex number 𝐶, there is no unique complex number 𝑎 added to the square of another complex number 𝑏 resulting in the given complex number 𝐶. (Contributed by AV, 2-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
addsq2nreurex	⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ¬ ∃!𝑎 ∈ ℂ ∃𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶)

Distinct variable group:   𝐶,𝑎,𝑏

Proof of Theorem addsq2nreurex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2cnm 11456	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 − 1) ∈ ℂ)
2		id 22	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → 𝐶 ∈ ℂ)
3		4cn 12261	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → 4 ∈ ℂ)
5	2, 4	subcld 11501	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 − 4) ∈ ℂ)
6		1cnd 11135	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
7		1re 11140	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
8		1lt4 12347	. . . . 5 ⊢ 1 < 4
9	7, 8	ltneii 11255	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 4
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → 1 ≠ 4)
11	2, 6, 4, 10	subneintrd 11545	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 − 1) ≠ (𝐶 − 4))
12		oveq1 7366	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 1 → (𝑏↑2) = (1↑2))
13	12	oveq2d 7375	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 1 → ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = ((𝐶 − 1) + (1↑2)))
14	13	eqeq1d 2743	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 1 → (((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ((𝐶 − 1) + (1↑2)) = 𝐶))
15	14	adantl 483	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 = 1) → (((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ((𝐶 − 1) + (1↑2)) = 𝐶))
16		sq1 14152	. . . . 5 ⊢ (1↑2) = 1
17	16	oveq2i 7370	. . . 4 ⊢ ((𝐶 − 1) + (1↑2)) = ((𝐶 − 1) + 1)
18		npcan1 11571	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶 − 1) + 1) = 𝐶)
19	17, 18	eqtrid 2788	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶 − 1) + (1↑2)) = 𝐶)
20	6, 15, 19	rspcedvd 3563	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶)
21		2cnd 12254	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
22		oveq1 7366	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 2 → (𝑏↑2) = (2↑2))
23	22	oveq2d 7375	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 2 → ((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = ((𝐶 − 4) + (2↑2)))
24	23	eqeq1d 2743	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 2 → (((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ((𝐶 − 4) + (2↑2)) = 𝐶))
25	24	adantl 483	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 = 2) → (((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ((𝐶 − 4) + (2↑2)) = 𝐶))
26		2cn 12251	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
27	26	sqcli 14138	. . . . . 6 ⊢ (2↑2) ∈ ℂ
28	27	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (2↑2) ∈ ℂ)
29	2, 4, 28	subadd23d 11523	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶 − 4) + (2↑2)) = (𝐶 + ((2↑2) − 4)))
30		sq2 14154	. . . . . . 7 ⊢ (2↑2) = 4
31	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (2↑2) = 4)
32	28, 31	subeq0bd 11572	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ((2↑2) − 4) = 0)
33	27, 3	subcli 11466	. . . . . 6 ⊢ ((2↑2) − 4) ∈ ℂ
34		addid0 11565	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ ((2↑2) − 4) ∈ ℂ) → ((𝐶 + ((2↑2) − 4)) = 𝐶 ↔ ((2↑2) − 4) = 0))
35	33, 34	mpan2 698	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶 + ((2↑2) − 4)) = 𝐶 ↔ ((2↑2) − 4) = 0))
36	32, 35	mpbird 259	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 + ((2↑2) − 4)) = 𝐶)
37	29, 36	eqtrd 2776	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶 − 4) + (2↑2)) = 𝐶)
38	21, 25, 37	rspcedvd 3563	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = 𝐶)
39		oveq1 7366	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − 1) → (𝑎 + (𝑏↑2)) = ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)))
40	39	eqeq1d 2743	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − 1) → ((𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
41	40	rexbidv 3165	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − 1) → (∃𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
42		oveq1 7366	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − 4) → (𝑎 + (𝑏↑2)) = ((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)))
43	42	eqeq1d 2743	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − 4) → ((𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
44	43	rexbidv 3165	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − 4) → (∃𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
45	41, 44	2nreu 4374	. . 3 ⊢ (((𝐶 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 4) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 1) ≠ (𝐶 − 4)) → ((∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ∧ ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = 𝐶) → ¬ ∃!𝑎 ∈ ℂ ∃𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶))
46	45	imp 408	. 2 ⊢ ((((𝐶 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 4) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 1) ≠ (𝐶 − 4)) ∧ (∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ∧ ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = 𝐶)) → ¬ ∃!𝑎 ∈ ℂ ∃𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶)
47	1, 5, 11, 20, 38, 46	syl32anc 1387	1 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ¬ ∃!𝑎 ∈ ℂ ∃𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  ∃wrex 3065  ∃!wreu 3344  (class class class)co 7359  ℂcc 11032  0cc0 11034  1c1 11035   + caddc 11037   − cmin 11373  2c2 12231  4c4 12233  ↑cexp 14018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-div 11804  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-seq 13959  df-exp 14019

This theorem is referenced by:  addsqn2reurex2  27429