MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addsq2nreurex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addsq2nreurex 27180
Description: For each complex number 𝐶, there is no unique complex number 𝑎 added to the square of another complex number 𝑏 resulting in the given complex number 𝐶. (Contributed by AV, 2-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
addsq2nreurex (𝐶 ∈ ℂ → ¬ ∃!𝑎 ∈ ℂ ∃𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶)
Distinct variable group:   𝐶,𝑎,𝑏

Proof of Theorem addsq2nreurex
StepHypRef Expression
1 peano2cnm 11531 . 2 (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 − 1) ∈ ℂ)
2 id 22 . . 3 (𝐶 ∈ ℂ → 𝐶 ∈ ℂ)
3 4cn 12302 . . . 4 4 ∈ ℂ
43a1i 11 . . 3 (𝐶 ∈ ℂ → 4 ∈ ℂ)
52, 4subcld 11576 . 2 (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 − 4) ∈ ℂ)
6 1cnd 11214 . . 3 (𝐶 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
7 1re 11219 . . . . 5 1 ∈ ℝ
8 1lt4 12393 . . . . 5 1 < 4
97, 8ltneii 11332 . . . 4 1 ≠ 4
109a1i 11 . . 3 (𝐶 ∈ ℂ → 1 ≠ 4)
112, 6, 4, 10subneintrd 11620 . 2 (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 − 1) ≠ (𝐶 − 4))
12 oveq1 7419 . . . . . 6 (𝑏 = 1 → (𝑏↑2) = (1↑2))
1312oveq2d 7428 . . . . 5 (𝑏 = 1 → ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = ((𝐶 − 1) + (1↑2)))
1413eqeq1d 2733 . . . 4 (𝑏 = 1 → (((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ((𝐶 − 1) + (1↑2)) = 𝐶))
1514adantl 481 . . 3 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 = 1) → (((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ((𝐶 − 1) + (1↑2)) = 𝐶))
16 sq1 14164 . . . . 5 (1↑2) = 1
1716oveq2i 7423 . . . 4 ((𝐶 − 1) + (1↑2)) = ((𝐶 − 1) + 1)
18 npcan1 11644 . . . 4 (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶 − 1) + 1) = 𝐶)
1917, 18eqtrid 2783 . . 3 (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶 − 1) + (1↑2)) = 𝐶)
206, 15, 19rspcedvd 3615 . 2 (𝐶 ∈ ℂ → ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶)
21 2cnd 12295 . . 3 (𝐶 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
22 oveq1 7419 . . . . . 6 (𝑏 = 2 → (𝑏↑2) = (2↑2))
2322oveq2d 7428 . . . . 5 (𝑏 = 2 → ((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = ((𝐶 − 4) + (2↑2)))
2423eqeq1d 2733 . . . 4 (𝑏 = 2 → (((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ((𝐶 − 4) + (2↑2)) = 𝐶))
2524adantl 481 . . 3 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑏 = 2) → (((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ((𝐶 − 4) + (2↑2)) = 𝐶))
26 2cn 12292 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
2726sqcli 14150 . . . . . 6 (2↑2) ∈ ℂ
2827a1i 11 . . . . 5 (𝐶 ∈ ℂ → (2↑2) ∈ ℂ)
292, 4, 28subadd23d 11598 . . . 4 (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶 − 4) + (2↑2)) = (𝐶 + ((2↑2) − 4)))
30 sq2 14166 . . . . . . 7 (2↑2) = 4
3130a1i 11 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℂ → (2↑2) = 4)
3228, 31subeq0bd 11645 . . . . 5 (𝐶 ∈ ℂ → ((2↑2) − 4) = 0)
3327, 3subcli 11541 . . . . . 6 ((2↑2) − 4) ∈ ℂ
34 addid0 11638 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ ((2↑2) − 4) ∈ ℂ) → ((𝐶 + ((2↑2) − 4)) = 𝐶 ↔ ((2↑2) − 4) = 0))
3533, 34mpan2 688 . . . . 5 (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶 + ((2↑2) − 4)) = 𝐶 ↔ ((2↑2) − 4) = 0))
3632, 35mpbird 256 . . . 4 (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 + ((2↑2) − 4)) = 𝐶)
3729, 36eqtrd 2771 . . 3 (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶 − 4) + (2↑2)) = 𝐶)
3821, 25, 37rspcedvd 3615 . 2 (𝐶 ∈ ℂ → ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = 𝐶)
39 oveq1 7419 . . . . . 6 (𝑎 = (𝐶 − 1) → (𝑎 + (𝑏↑2)) = ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)))
4039eqeq1d 2733 . . . . 5 (𝑎 = (𝐶 − 1) → ((𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
4140rexbidv 3177 . . . 4 (𝑎 = (𝐶 − 1) → (∃𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
42 oveq1 7419 . . . . . 6 (𝑎 = (𝐶 − 4) → (𝑎 + (𝑏↑2)) = ((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)))
4342eqeq1d 2733 . . . . 5 (𝑎 = (𝐶 − 4) → ((𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
4443rexbidv 3177 . . . 4 (𝑎 = (𝐶 − 4) → (∃𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶 ↔ ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = 𝐶))
4541, 442nreu 4442 . . 3 (((𝐶 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 4) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 1) ≠ (𝐶 − 4)) → ((∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ∧ ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = 𝐶) → ¬ ∃!𝑎 ∈ ℂ ∃𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶))
4645imp 406 . 2 ((((𝐶 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 4) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 1) ≠ (𝐶 − 4)) ∧ (∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 1) + (𝑏↑2)) = 𝐶 ∧ ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐶 − 4) + (𝑏↑2)) = 𝐶)) → ¬ ∃!𝑎 ∈ ℂ ∃𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶)
471, 5, 11, 20, 38, 46syl32anc 1377 1 (𝐶 ∈ ℂ → ¬ ∃!𝑎 ∈ ℂ ∃𝑏 ∈ ℂ (𝑎 + (𝑏↑2)) = 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939  wrex 3069  ∃!wreu 3373  (class class class)co 7412  cc 11111  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116  cmin 11449  2c2 12272  4c4 12274  cexp 14032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-seq 13972  df-exp 14033
This theorem is referenced by:  addsqn2reurex2  27181
  Copyright terms: Public domain W3C validator