Theorem line2xlem 45167

Description: Lemma for line2x 45168. This proof is based on counterexamples for the following cases: 1. 𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵): p = (0,C/B) (LHS of bicondional is true, RHS is false); 2. 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵): p = (1,C/B) (LHS of bicondional is false, RHS is true). (Contributed by AV, 4-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
line2.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
line2.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
line2.p	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
line2.l	⊢ 𝐿 = (LineM‘𝐸)
line2.g	⊢ 𝐺 = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶}
line2x.x	⊢ 𝑋 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}
line2x.y	⊢ 𝑌 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩}

Assertion

Ref	Expression
line2xlem	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (∀𝑝 ∈ 𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀) → (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐶,𝑝   𝐸,𝑝   𝐼,𝑝   𝑃,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝   𝑀,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑝)   𝐿(𝑝)

Proof of Theorem line2xlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ianor 979	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵)) ↔ (¬ 𝐴 = 0 ∨ ¬ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵)))
2		df-ne 2988	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐴 = 0)
3		df-ne 2988	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) ↔ ¬ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))
4	2, 3	orbi12i 912	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵)) ↔ (¬ 𝐴 = 0 ∨ ¬ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵)))
5	1, 4	bitr4i 281	. . 3 ⊢ (¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵)) ↔ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵)))
6		0red 10633	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → 0 ∈ ℝ)
7		simp3 1135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
8	7	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
9		simpl 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	9	3ad2ant2 1131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
11	10	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
12		simp2r 1197	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ≠ 0)
13	12	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → 𝐵 ≠ 0)
14	8, 11, 13	redivcld 11457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
15	14	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
16		line2.i	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
17		line2.p	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
18	16, 17	prelrrx2 45127	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ) → {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} ∈ 𝑃)
19	6, 15, 18	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} ∈ 𝑃)
20		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) → 𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵))
21	20	necomd 3042	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) → (𝐶 / 𝐵) ≠ 𝑀)
22	21	neneqd 2992	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) → ¬ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀)
23	22	a1d 25	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) → (𝐶 = 𝐶 → ¬ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀))
24		eqidd 2799	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀 → 𝐶 = 𝐶)
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) → (¬ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀 → 𝐶 = 𝐶))
26	23, 25	impbid 215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) → (𝐶 = 𝐶 ↔ ¬ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀))
27		xor3 387	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (𝐶 = 𝐶 ↔ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀) ↔ (𝐶 = 𝐶 ↔ ¬ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀))
28	26, 27	sylibr 237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) → ¬ (𝐶 = 𝐶 ↔ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀))
29	28	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → ¬ (𝐶 = 𝐶 ↔ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀))
30		0red 10633	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
31		fv1prop 45113	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 ∈ ℝ → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1) = 0)
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1) = 0)
33	32	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐴 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) = (𝐴 · 0))
34		recn 10616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
35	34	mul01d 10828	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = 0)
36	35	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 · 0) = 0)
37	36	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐴 · 0) = 0)
38	33, 37	eqtrd 2833	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐴 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) = 0)
39		ovexd 7170	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐶 / 𝐵) ∈ V)
40		fv2prop 45114	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐶 / 𝐵) ∈ V → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = (𝐶 / 𝐵))
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = (𝐶 / 𝐵))
42	41	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐵 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2)) = (𝐵 · (𝐶 / 𝐵)))
43	7	recnd 10658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
44	43	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
45	9	recnd 10658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
46	45	3ad2ant2 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
47	46	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
48	44, 47, 13	divcan2d 11407	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐵 · (𝐶 / 𝐵)) = 𝐶)
49	42, 48	eqtrd 2833	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐵 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2)) = 𝐶)
50	38, 49	oveq12d 7153	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((𝐴 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))) = (0 + 𝐶))
51	50	adantl 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → ((𝐴 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))) = (0 + 𝐶))
52	43	addid2d 10830	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 + 𝐶) = 𝐶)
53	52	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 + 𝐶) = 𝐶)
54	53	adantl 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → (0 + 𝐶) = 𝐶)
55	51, 54	eqtrd 2833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → ((𝐴 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))) = 𝐶)
56	55	eqeq1d 2800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → (((𝐴 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))) = 𝐶 ↔ 𝐶 = 𝐶))
57	41	eqeq1d 2800	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = 𝑀 ↔ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀))
58	57	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → (({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = 𝑀 ↔ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀))
59	56, 58	bibi12d 349	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → ((((𝐴 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))) = 𝐶 ↔ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = 𝑀) ↔ (𝐶 = 𝐶 ↔ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀)))
60	29, 59	mtbird 328	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → ¬ (((𝐴 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))) = 𝐶 ↔ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = 𝑀))
61		fveq1 6644	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} → (𝑝‘1) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1))
62	61	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} → (𝐴 · (𝑝‘1)) = (𝐴 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)))
63		fveq1 6644	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} → (𝑝‘2) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))
64	63	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} → (𝐵 · (𝑝‘2)) = (𝐵 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2)))
65	62, 64	oveq12d 7153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} → ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = ((𝐴 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))))
66	65	eqeq1d 2800	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} → (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ ((𝐴 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))) = 𝐶))
67	63	eqeq1d 2800	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} → ((𝑝‘2) = 𝑀 ↔ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = 𝑀))
68	66, 67	bibi12d 349	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} → ((((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀) ↔ (((𝐴 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))) = 𝐶 ↔ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = 𝑀)))
69	68	notbid 321	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} → (¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀) ↔ ¬ (((𝐴 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))) = 𝐶 ↔ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = 𝑀)))
70	69	rspcev 3571	. . . . . . . . 9 ⊢ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} ∈ 𝑃 ∧ ¬ (((𝐴 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))) = 𝐶 ↔ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = 𝑀)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀))
71	19, 60, 70	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀))
72	71	ex 416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀)))
73		nne 2991	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) ↔ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))
74		1red 10631	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
75	7, 10, 12	redivcld 11457	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
76	74, 75	jca 515	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (1 ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ))
77	76	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (1 ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ))
78	16, 17	prelrrx2 45127	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ) → {⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} ∈ 𝑃)
79	77, 78	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → {⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} ∈ 𝑃)
80	79	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → {⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} ∈ 𝑃)
81		eqneqall 2998	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ≠ 0 → ¬ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀))
82	81	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ≠ 0 → (𝐴 = 0 → ¬ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀))
83	82	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 = 0 → ¬ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀))
84		pm2.24 124	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐶 / 𝐵) = 𝑀 → (¬ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀 → 𝐴 = 0))
85	84	eqcoms 2806	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 = (𝐶 / 𝐵) → (¬ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀 → 𝐴 = 0))
86	85	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (¬ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀 → 𝐴 = 0))
87	83, 86	impbid 215	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 = 0 ↔ ¬ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀))
88		xor3 387	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ (𝐴 = 0 ↔ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀) ↔ (𝐴 = 0 ↔ ¬ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀))
89	87, 88	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ¬ (𝐴 = 0 ↔ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀))
90	89	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → ¬ (𝐴 = 0 ↔ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀))
91		simprl1 1215	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
92	91	recnd 10658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
93	8	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℝ)
94	93	recnd 10658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
95	92, 94	addcomd 10831	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → (𝐴 + 𝐶) = (𝐶 + 𝐴))
96	95	eqeq1d 2800	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → ((𝐴 + 𝐶) = 𝐶 ↔ (𝐶 + 𝐴) = 𝐶))
97		recn 10616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
98	34, 97	anim12ci 616	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
99	98	3adant2 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
100	99	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
101	100	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
102		addid0 11048	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐶 + 𝐴) = 𝐶 ↔ 𝐴 = 0))
103	101, 102	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → ((𝐶 + 𝐴) = 𝐶 ↔ 𝐴 = 0))
104	96, 103	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → ((𝐴 + 𝐶) = 𝐶 ↔ 𝐴 = 0))
105	104	bibi1d 347	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → (((𝐴 + 𝐶) = 𝐶 ↔ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀) ↔ (𝐴 = 0 ↔ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀)))
106	90, 105	mtbird 328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → ¬ ((𝐴 + 𝐶) = 𝐶 ↔ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀))
107		1ex 10626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 ∈ V
108	107	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → 1 ∈ V)
109		fv1prop 45113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1 ∈ V → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1) = 1)
110	108, 109	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1) = 1)
111	110	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐴 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) = (𝐴 · 1))
112		ax-1rid 10596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
113	112	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
114	113	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
115	111, 114	eqtrd 2833	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐴 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) = 𝐴)
116		fv2prop 45114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐶 / 𝐵) ∈ V → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = (𝐶 / 𝐵))
117	39, 116	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = (𝐶 / 𝐵))
118	117	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐵 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2)) = (𝐵 · (𝐶 / 𝐵)))
119	8	recnd 10658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
120	119, 47, 13	divcan2d 11407	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐵 · (𝐶 / 𝐵)) = 𝐶)
121	118, 120	eqtrd 2833	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐵 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2)) = 𝐶)
122	115, 121	oveq12d 7153	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((𝐴 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))) = (𝐴 + 𝐶))
123	122	eqeq1d 2800	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (((𝐴 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))) = 𝐶 ↔ (𝐴 + 𝐶) = 𝐶))
124	117	eqeq1d 2800	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = 𝑀 ↔ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀))
125	123, 124	bibi12d 349	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((((𝐴 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))) = 𝐶 ↔ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = 𝑀) ↔ ((𝐴 + 𝐶) = 𝐶 ↔ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀)))
126	125	notbid 321	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (¬ (((𝐴 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))) = 𝐶 ↔ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = 𝑀) ↔ ¬ ((𝐴 + 𝐶) = 𝐶 ↔ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀)))
127	126	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → (¬ (((𝐴 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))) = 𝐶 ↔ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = 𝑀) ↔ ¬ ((𝐴 + 𝐶) = 𝐶 ↔ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀)))
128	106, 127	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → ¬ (((𝐴 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))) = 𝐶 ↔ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = 𝑀))
129		fveq1 6644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} → (𝑝‘1) = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1))
130	129	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} → (𝐴 · (𝑝‘1)) = (𝐴 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)))
131		fveq1 6644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} → (𝑝‘2) = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))
132	131	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} → (𝐵 · (𝑝‘2)) = (𝐵 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2)))
133	130, 132	oveq12d 7153	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} → ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = ((𝐴 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))))
134	133	eqeq1d 2800	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} → (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ ((𝐴 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))) = 𝐶))
135	131	eqeq1d 2800	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} → ((𝑝‘2) = 𝑀 ↔ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = 𝑀))
136	134, 135	bibi12d 349	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} → ((((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀) ↔ (((𝐴 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))) = 𝐶 ↔ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = 𝑀)))
137	136	notbid 321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} → (¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀) ↔ ¬ (((𝐴 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))) = 𝐶 ↔ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = 𝑀)))
138	137	rspcev 3571	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} ∈ 𝑃 ∧ ¬ (((𝐴 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))) = 𝐶 ↔ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = 𝑀)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀))
139	80, 128, 138	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀))
140	139	ex 416	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀)))
141	73, 140	sylanb 584	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀)))
142	72, 141	jaoi3 1056	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) ∨ 𝐴 ≠ 0) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀)))
143	142	orcoms 869	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵)) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀)))
144	143	com12 32	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀)))
145		rexnal 3201	. . . 4 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ 𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀))
146	144, 145	syl6ib 254	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵)) → ¬ ∀𝑝 ∈ 𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀)))
147	5, 146	syl5bi 245	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵)) → ¬ ∀𝑝 ∈ 𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀)))
148	147	con4d 115	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (∀𝑝 ∈ 𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀) → (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  {crab 3110  Vcvv 3441  {cpr 4527  ⟨cop 4531  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ↑_m cmap 8389  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   / cdiv 11286  2c2 11680  ℝ^crrx 23987  Line_Mcline 45141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-2 11688

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