Theorem line2xlem 49510

Description: Lemma for line2x 49511. This proof is based on counterexamples for the following cases: 1. 𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵): p = (0,C/B) (LHS of biconditional is true, RHS is false); 2. 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵): p = (1,C/B) (LHS of biconditional is false, RHS is true). (Contributed by AV, 4-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
line2.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
line2.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
line2.p	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
line2.l	⊢ 𝐿 = (LineM‘𝐸)
line2.g	⊢ 𝐺 = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶}
line2x.x	⊢ 𝑋 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}
line2x.y	⊢ 𝑌 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩}

Assertion

Ref	Expression
line2xlem	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (∀𝑝 ∈ 𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀) → (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐶,𝑝   𝐸,𝑝   𝐼,𝑝   𝑃,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝   𝑀,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑝)   𝐿(𝑝)

Proof of Theorem line2xlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ianor 997	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵)) ↔ (¬ 𝐴 = 0 ∨ ¬ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵)))
2		df-ne 2959	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐴 = 0)
3		df-ne 2959	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) ↔ ¬ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))
4	2, 3	orbi12i 927	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵)) ↔ (¬ 𝐴 = 0 ∨ ¬ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵)))
5	1, 4	bitr4i 281	. . 3 ⊢ (¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵)) ↔ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵)))
6		0red 11212	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → 0 ∈ ℝ)
7		simp3 1156	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
8	7	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
9		simpl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	9	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
11	10	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
12		simp2r 1219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ≠ 0)
13	12	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → 𝐵 ≠ 0)
14	8, 11, 13	redivcld 12044	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
15	14	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
16		line2.i	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
17		line2.p	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
18	16, 17	prelrrx2 49470	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ) → {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} ∈ 𝑃)
19	6, 15, 18	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} ∈ 𝑃)
20		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) → 𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵))
21	20	necomd 3013	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) → (𝐶 / 𝐵) ≠ 𝑀)
22	21	neneqd 2963	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) → ¬ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀)
23	22	a1d 26	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) → (𝐶 = 𝐶 → ¬ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀))
24		eqidd 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀 → 𝐶 = 𝐶)
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) → (¬ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀 → 𝐶 = 𝐶))
26	23, 25	impbid 215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) → (𝐶 = 𝐶 ↔ ¬ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀))
27		xor3 385	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (𝐶 = 𝐶 ↔ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀) ↔ (𝐶 = 𝐶 ↔ ¬ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀))
28	26, 27	sylibr 237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) → ¬ (𝐶 = 𝐶 ↔ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀))
29	28	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → ¬ (𝐶 = 𝐶 ↔ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀))
30		0red 11212	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
31		fv1prop 49456	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 ∈ ℝ → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1) = 0)
32	30, 31	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1) = 0)
33	32	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐴 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) = (𝐴 · 0))
34		recn 11191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
35	34	mul01d 11410	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = 0)
36	35	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 · 0) = 0)
37	36	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐴 · 0) = 0)
38	33, 37	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐴 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) = 0)
39		ovexd 7447	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐶 / 𝐵) ∈ V)
40		fv2prop 49457	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐶 / 𝐵) ∈ V → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = (𝐶 / 𝐵))
41	39, 40	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = (𝐶 / 𝐵))
42	41	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐵 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2)) = (𝐵 · (𝐶 / 𝐵)))
43	7	recnd 11238	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
44	43	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
45	9	recnd 11238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
46	45	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
47	46	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
48	44, 47, 13	divcan2d 11994	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐵 · (𝐶 / 𝐵)) = 𝐶)
49	42, 48	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐵 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2)) = 𝐶)
50	38, 49	oveq12d 7430	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((𝐴 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))) = (0 + 𝐶))
51	50	adantl 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → ((𝐴 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))) = (0 + 𝐶))
52	43	addlidd 11412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 + 𝐶) = 𝐶)
53	52	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 + 𝐶) = 𝐶)
54	53	adantl 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → (0 + 𝐶) = 𝐶)
55	51, 54	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → ((𝐴 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))) = 𝐶)
56	55	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → (((𝐴 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))) = 𝐶 ↔ 𝐶 = 𝐶))
57	41	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = 𝑀 ↔ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀))
58	57	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → (({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = 𝑀 ↔ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀))
59	56, 58	bibi12d 348	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → ((((𝐴 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))) = 𝐶 ↔ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = 𝑀) ↔ (𝐶 = 𝐶 ↔ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀)))
60	29, 59	mtbird 328	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → ¬ (((𝐴 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))) = 𝐶 ↔ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = 𝑀))
61		fveq1 6882	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} → (𝑝‘1) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1))
62	61	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} → (𝐴 · (𝑝‘1)) = (𝐴 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)))
63		fveq1 6882	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} → (𝑝‘2) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))
64	63	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} → (𝐵 · (𝑝‘2)) = (𝐵 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2)))
65	62, 64	oveq12d 7430	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} → ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = ((𝐴 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))))
66	65	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} → (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ ((𝐴 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))) = 𝐶))
67	63	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} → ((𝑝‘2) = 𝑀 ↔ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = 𝑀))
68	66, 67	bibi12d 348	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} → ((((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀) ↔ (((𝐴 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))) = 𝐶 ↔ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = 𝑀)))
69	68	notbid 321	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} → (¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀) ↔ ¬ (((𝐴 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))) = 𝐶 ↔ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = 𝑀)))
70	69	rspcev 3582	. . . . . . . . 9 ⊢ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} ∈ 𝑃 ∧ ¬ (((𝐴 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))) = 𝐶 ↔ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = 𝑀)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀))
71	19, 60, 70	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀))
72	71	ex 417	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀)))
73		nne 2962	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) ↔ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))
74		1red 11210	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
75	7, 10, 12	redivcld 12044	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
76	74, 75	jca 520	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (1 ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ))
77	76	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (1 ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ))
78	16, 17	prelrrx2 49470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ) → {⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} ∈ 𝑃)
79	77, 78	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → {⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} ∈ 𝑃)
80	79	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → {⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} ∈ 𝑃)
81		eqneqall 2969	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ≠ 0 → ¬ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀))
82	81	com12 33	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ≠ 0 → (𝐴 = 0 → ¬ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀))
83	82	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 = 0 → ¬ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀))
84		pm2.24 125	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐶 / 𝐵) = 𝑀 → (¬ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀 → 𝐴 = 0))
85	84	eqcoms 2771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 = (𝐶 / 𝐵) → (¬ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀 → 𝐴 = 0))
86	85	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (¬ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀 → 𝐴 = 0))
87	83, 86	impbid 215	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 = 0 ↔ ¬ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀))
88		xor3 385	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ (𝐴 = 0 ↔ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀) ↔ (𝐴 = 0 ↔ ¬ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀))
89	87, 88	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ¬ (𝐴 = 0 ↔ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀))
90	89	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → ¬ (𝐴 = 0 ↔ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀))
91		simprl1 1237	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
92	91	recnd 11238	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
93	8	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℝ)
94	93	recnd 11238	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
95	92, 94	addcomd 11413	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → (𝐴 + 𝐶) = (𝐶 + 𝐴))
96	95	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → ((𝐴 + 𝐶) = 𝐶 ↔ (𝐶 + 𝐴) = 𝐶))
97		recn 11191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
98	34, 97	anim12ci 625	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
99	98	3adant2 1149	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
100	99	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
101	100	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
102		addid0 11634	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐶 + 𝐴) = 𝐶 ↔ 𝐴 = 0))
103	101, 102	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → ((𝐶 + 𝐴) = 𝐶 ↔ 𝐴 = 0))
104	96, 103	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → ((𝐴 + 𝐶) = 𝐶 ↔ 𝐴 = 0))
105	104	bibi1d 346	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → (((𝐴 + 𝐶) = 𝐶 ↔ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀) ↔ (𝐴 = 0 ↔ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀)))
106	90, 105	mtbird 328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → ¬ ((𝐴 + 𝐶) = 𝐶 ↔ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀))
107		1ex 11204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 ∈ V
108	107	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → 1 ∈ V)
109		fv1prop 49456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1 ∈ V → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1) = 1)
110	108, 109	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1) = 1)
111	110	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐴 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) = (𝐴 · 1))
112		ax-1rid 11171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
113	112	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
114	113	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
115	111, 114	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐴 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) = 𝐴)
116		fv2prop 49457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐶 / 𝐵) ∈ V → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = (𝐶 / 𝐵))
117	39, 116	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = (𝐶 / 𝐵))
118	117	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐵 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2)) = (𝐵 · (𝐶 / 𝐵)))
119	8	recnd 11238	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
120	119, 47, 13	divcan2d 11994	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐵 · (𝐶 / 𝐵)) = 𝐶)
121	118, 120	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐵 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2)) = 𝐶)
122	115, 121	oveq12d 7430	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((𝐴 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))) = (𝐴 + 𝐶))
123	122	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (((𝐴 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))) = 𝐶 ↔ (𝐴 + 𝐶) = 𝐶))
124	117	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = 𝑀 ↔ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀))
125	123, 124	bibi12d 348	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((((𝐴 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))) = 𝐶 ↔ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = 𝑀) ↔ ((𝐴 + 𝐶) = 𝐶 ↔ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀)))
126	125	notbid 321	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (¬ (((𝐴 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))) = 𝐶 ↔ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = 𝑀) ↔ ¬ ((𝐴 + 𝐶) = 𝐶 ↔ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀)))
127	126	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → (¬ (((𝐴 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))) = 𝐶 ↔ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = 𝑀) ↔ ¬ ((𝐴 + 𝐶) = 𝐶 ↔ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀)))
128	106, 127	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → ¬ (((𝐴 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))) = 𝐶 ↔ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = 𝑀))
129		fveq1 6882	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} → (𝑝‘1) = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1))
130	129	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} → (𝐴 · (𝑝‘1)) = (𝐴 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)))
131		fveq1 6882	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} → (𝑝‘2) = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))
132	131	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} → (𝐵 · (𝑝‘2)) = (𝐵 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2)))
133	130, 132	oveq12d 7430	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} → ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = ((𝐴 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))))
134	133	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} → (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ ((𝐴 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))) = 𝐶))
135	131	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} → ((𝑝‘2) = 𝑀 ↔ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = 𝑀))
136	134, 135	bibi12d 348	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} → ((((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀) ↔ (((𝐴 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))) = 𝐶 ↔ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = 𝑀)))
137	136	notbid 321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} → (¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀) ↔ ¬ (((𝐴 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))) = 𝐶 ↔ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = 𝑀)))
138	137	rspcev 3582	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} ∈ 𝑃 ∧ ¬ (((𝐴 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))) = 𝐶 ↔ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = 𝑀)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀))
139	80, 128, 138	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀))
140	139	ex 417	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀)))
141	73, 140	sylanb 592	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀)))
142	72, 141	jaoi3 1076	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) ∨ 𝐴 ≠ 0) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀)))
143	142	orcoms 885	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵)) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀)))
144	143	com12 33	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀)))
145		rexnal 3117	. . . 4 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ 𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀))
146	144, 145	imbitrdi 254	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵)) → ¬ ∀𝑝 ∈ 𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀)))
147	5, 146	biimtrid 245	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵)) → ¬ ∀𝑝 ∈ 𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀)))
148	147	con4d 116	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (∀𝑝 ∈ 𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀) → (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  {crab 3416  Vcvv 3455  {cpr 4592  ⟨cop 4596  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   ↑_m cmap 8825  ℂcc 11099  ℝcr 11100  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104   · cmul 11106   / cdiv 11872  2c2 12296  ℝ^crrx 25523  Line_Mcline 49484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-2 12304

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