Theorem line2xlem 49251

Description: Lemma for line2x 49252. This proof is based on counterexamples for the following cases: 1. 𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵): p = (0,C/B) (LHS of biconditional is true, RHS is false); 2. 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵): p = (1,C/B) (LHS of biconditional is false, RHS is true). (Contributed by AV, 4-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
line2.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
line2.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
line2.p	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
line2.l	⊢ 𝐿 = (LineM‘𝐸)
line2.g	⊢ 𝐺 = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶}
line2x.x	⊢ 𝑋 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}
line2x.y	⊢ 𝑌 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩}

Assertion

Ref	Expression
line2xlem	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (∀𝑝 ∈ 𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀) → (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐶,𝑝   𝐸,𝑝   𝐼,𝑝   𝑃,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝   𝑀,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑝)   𝐿(𝑝)

Proof of Theorem line2xlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ianor 989	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵)) ↔ (¬ 𝐴 = 0 ∨ ¬ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵)))
2		df-ne 2936	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐴 = 0)
3		df-ne 2936	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) ↔ ¬ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))
4	2, 3	orbi12i 920	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵)) ↔ (¬ 𝐴 = 0 ∨ ¬ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵)))
5	1, 4	bitr4i 279	. . 3 ⊢ (¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵)) ↔ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵)))
6		0red 11145	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → 0 ∈ ℝ)
7		simp3 1144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
8	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
9		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	9	3ad2ant2 1140	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
11	10	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
12		simp2r 1207	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ≠ 0)
13	12	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → 𝐵 ≠ 0)
14	8, 11, 13	redivcld 11981	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
15	14	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
16		line2.i	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
17		line2.p	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
18	16, 17	prelrrx2 49211	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ) → {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} ∈ 𝑃)
19	6, 15, 18	syl2anc 590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} ∈ 𝑃)
20		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) → 𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵))
21	20	necomd 2990	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) → (𝐶 / 𝐵) ≠ 𝑀)
22	21	neneqd 2940	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) → ¬ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀)
23	22	a1d 25	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) → (𝐶 = 𝐶 → ¬ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀))
24		eqidd 2741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀 → 𝐶 = 𝐶)
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) → (¬ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀 → 𝐶 = 𝐶))
26	23, 25	impbid 213	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) → (𝐶 = 𝐶 ↔ ¬ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀))
27		xor3 383	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (𝐶 = 𝐶 ↔ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀) ↔ (𝐶 = 𝐶 ↔ ¬ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀))
28	26, 27	sylibr 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) → ¬ (𝐶 = 𝐶 ↔ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀))
29	28	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → ¬ (𝐶 = 𝐶 ↔ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀))
30		0red 11145	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
31		fv1prop 49197	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 ∈ ℝ → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1) = 0)
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1) = 0)
33	32	oveq2d 7379	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐴 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) = (𝐴 · 0))
34		recn 11126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
35	34	mul01d 11343	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = 0)
36	35	3ad2ant1 1139	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 · 0) = 0)
37	36	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐴 · 0) = 0)
38	33, 37	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐴 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) = 0)
39		ovexd 7398	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐶 / 𝐵) ∈ V)
40		fv2prop 49198	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐶 / 𝐵) ∈ V → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = (𝐶 / 𝐵))
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = (𝐶 / 𝐵))
42	41	oveq2d 7379	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐵 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2)) = (𝐵 · (𝐶 / 𝐵)))
43	7	recnd 11171	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
44	43	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
45	9	recnd 11171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
46	45	3ad2ant2 1140	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
47	46	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
48	44, 47, 13	divcan2d 11931	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐵 · (𝐶 / 𝐵)) = 𝐶)
49	42, 48	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐵 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2)) = 𝐶)
50	38, 49	oveq12d 7381	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((𝐴 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))) = (0 + 𝐶))
51	50	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → ((𝐴 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))) = (0 + 𝐶))
52	43	addlidd 11345	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 + 𝐶) = 𝐶)
53	52	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 + 𝐶) = 𝐶)
54	53	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → (0 + 𝐶) = 𝐶)
55	51, 54	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → ((𝐴 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))) = 𝐶)
56	55	eqeq1d 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → (((𝐴 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))) = 𝐶 ↔ 𝐶 = 𝐶))
57	41	eqeq1d 2742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = 𝑀 ↔ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀))
58	57	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → (({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = 𝑀 ↔ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀))
59	56, 58	bibi12d 346	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → ((((𝐴 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))) = 𝐶 ↔ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = 𝑀) ↔ (𝐶 = 𝐶 ↔ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀)))
60	29, 59	mtbird 326	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → ¬ (((𝐴 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))) = 𝐶 ↔ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = 𝑀))
61		fveq1 6833	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} → (𝑝‘1) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1))
62	61	oveq2d 7379	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} → (𝐴 · (𝑝‘1)) = (𝐴 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)))
63		fveq1 6833	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} → (𝑝‘2) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))
64	63	oveq2d 7379	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} → (𝐵 · (𝑝‘2)) = (𝐵 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2)))
65	62, 64	oveq12d 7381	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} → ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = ((𝐴 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))))
66	65	eqeq1d 2742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} → (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ ((𝐴 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))) = 𝐶))
67	63	eqeq1d 2742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} → ((𝑝‘2) = 𝑀 ↔ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = 𝑀))
68	66, 67	bibi12d 346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} → ((((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀) ↔ (((𝐴 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))) = 𝐶 ↔ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = 𝑀)))
69	68	notbid 319	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} → (¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀) ↔ ¬ (((𝐴 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))) = 𝐶 ↔ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = 𝑀)))
70	69	rspcev 3567	. . . . . . . . 9 ⊢ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} ∈ 𝑃 ∧ ¬ (((𝐴 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))) = 𝐶 ↔ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = 𝑀)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀))
71	19, 60, 70	syl2anc 590	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀))
72	71	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀)))
73		nne 2939	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) ↔ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))
74		1red 11143	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
75	7, 10, 12	redivcld 11981	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
76	74, 75	jca 516	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (1 ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ))
77	76	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (1 ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ))
78	16, 17	prelrrx2 49211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ) → {⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} ∈ 𝑃)
79	77, 78	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → {⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} ∈ 𝑃)
80	79	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → {⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} ∈ 𝑃)
81		eqneqall 2946	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ≠ 0 → ¬ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀))
82	81	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ≠ 0 → (𝐴 = 0 → ¬ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀))
83	82	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 = 0 → ¬ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀))
84		pm2.24 124	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐶 / 𝐵) = 𝑀 → (¬ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀 → 𝐴 = 0))
85	84	eqcoms 2748	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 = (𝐶 / 𝐵) → (¬ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀 → 𝐴 = 0))
86	85	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (¬ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀 → 𝐴 = 0))
87	83, 86	impbid 213	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 = 0 ↔ ¬ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀))
88		xor3 383	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ (𝐴 = 0 ↔ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀) ↔ (𝐴 = 0 ↔ ¬ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀))
89	87, 88	sylibr 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ¬ (𝐴 = 0 ↔ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀))
90	89	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → ¬ (𝐴 = 0 ↔ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀))
91		simprl1 1225	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
92	91	recnd 11171	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
93	8	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℝ)
94	93	recnd 11171	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
95	92, 94	addcomd 11346	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → (𝐴 + 𝐶) = (𝐶 + 𝐴))
96	95	eqeq1d 2742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → ((𝐴 + 𝐶) = 𝐶 ↔ (𝐶 + 𝐴) = 𝐶))
97		recn 11126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
98	34, 97	anim12ci 620	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
99	98	3adant2 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
100	99	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
101	100	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
102		addid0 11567	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐶 + 𝐴) = 𝐶 ↔ 𝐴 = 0))
103	101, 102	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → ((𝐶 + 𝐴) = 𝐶 ↔ 𝐴 = 0))
104	96, 103	bitrd 280	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → ((𝐴 + 𝐶) = 𝐶 ↔ 𝐴 = 0))
105	104	bibi1d 344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → (((𝐴 + 𝐶) = 𝐶 ↔ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀) ↔ (𝐴 = 0 ↔ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀)))
106	90, 105	mtbird 326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → ¬ ((𝐴 + 𝐶) = 𝐶 ↔ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀))
107		1ex 11138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 ∈ V
108	107	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → 1 ∈ V)
109		fv1prop 49197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1 ∈ V → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1) = 1)
110	108, 109	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1) = 1)
111	110	oveq2d 7379	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐴 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) = (𝐴 · 1))
112		ax-1rid 11106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
113	112	3ad2ant1 1139	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
114	113	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
115	111, 114	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐴 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) = 𝐴)
116		fv2prop 49198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐶 / 𝐵) ∈ V → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = (𝐶 / 𝐵))
117	39, 116	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = (𝐶 / 𝐵))
118	117	oveq2d 7379	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐵 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2)) = (𝐵 · (𝐶 / 𝐵)))
119	8	recnd 11171	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
120	119, 47, 13	divcan2d 11931	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐵 · (𝐶 / 𝐵)) = 𝐶)
121	118, 120	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐵 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2)) = 𝐶)
122	115, 121	oveq12d 7381	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((𝐴 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))) = (𝐴 + 𝐶))
123	122	eqeq1d 2742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (((𝐴 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))) = 𝐶 ↔ (𝐴 + 𝐶) = 𝐶))
124	117	eqeq1d 2742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = 𝑀 ↔ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀))
125	123, 124	bibi12d 346	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((((𝐴 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))) = 𝐶 ↔ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = 𝑀) ↔ ((𝐴 + 𝐶) = 𝐶 ↔ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀)))
126	125	notbid 319	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (¬ (((𝐴 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))) = 𝐶 ↔ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = 𝑀) ↔ ¬ ((𝐴 + 𝐶) = 𝐶 ↔ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀)))
127	126	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → (¬ (((𝐴 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))) = 𝐶 ↔ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = 𝑀) ↔ ¬ ((𝐴 + 𝐶) = 𝐶 ↔ (𝐶 / 𝐵) = 𝑀)))
128	106, 127	mpbird 258	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → ¬ (((𝐴 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))) = 𝐶 ↔ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = 𝑀))
129		fveq1 6833	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} → (𝑝‘1) = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1))
130	129	oveq2d 7379	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} → (𝐴 · (𝑝‘1)) = (𝐴 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)))
131		fveq1 6833	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} → (𝑝‘2) = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))
132	131	oveq2d 7379	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} → (𝐵 · (𝑝‘2)) = (𝐵 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2)))
133	130, 132	oveq12d 7381	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} → ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = ((𝐴 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))))
134	133	eqeq1d 2742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} → (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ ((𝐴 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))) = 𝐶))
135	131	eqeq1d 2742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} → ((𝑝‘2) = 𝑀 ↔ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = 𝑀))
136	134, 135	bibi12d 346	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} → ((((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀) ↔ (((𝐴 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))) = 𝐶 ↔ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = 𝑀)))
137	136	notbid 319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} → (¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀) ↔ ¬ (((𝐴 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))) = 𝐶 ↔ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = 𝑀)))
138	137	rspcev 3567	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩} ∈ 𝑃 ∧ ¬ (((𝐴 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)) + (𝐵 · ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2))) = 𝐶 ↔ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = 𝑀)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀))
139	80, 128, 138	syl2anc 590	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀))
140	139	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 = (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀)))
141	73, 140	sylanb 587	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀)))
142	72, 141	jaoi3 1066	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵) ∨ 𝐴 ≠ 0) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀)))
143	142	orcoms 878	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵)) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀)))
144	143	com12 32	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀)))
145		rexnal 3092	. . . 4 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ 𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀))
146	144, 145	imbitrdi 252	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝑀 ≠ (𝐶 / 𝐵)) → ¬ ∀𝑝 ∈ 𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀)))
147	5, 146	biimtrid 243	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵)) → ¬ ∀𝑝 ∈ 𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀)))
148	147	con4d 115	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (∀𝑝 ∈ 𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀) → (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 853   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ∀wral 3054  ∃wrex 3064  {crab 3392  Vcvv 3432  {cpr 4564  ⟨cop 4568  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ↑_m cmap 8770  ℂcc 11034  ℝcr 11035  0cc0 11036  1c1 11037   + caddc 11039   · cmul 11041   / cdiv 11805  2c2 12234  ℝ^crrx 25375  Line_Mcline 49225

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-2 12242

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